جداء

في الرياضيات، الجُدَاءُ (Product)‏ هو نتيجةُ عمليةِ ضربِ كميتينِ.^[1][2][3] الترتيب الذي تأتي فيه الأعداد الحقيقية أو العقدية في عملية الضرب ليس له تأثير على قيمة الجداء. هذه الخاصية تعني أن عملية الضرب هي عملية تبديلية.

جداء عددين

جداء عددين طبيعيين

وضع عدد من الكرات على شكل مستطيل عدد أسطره ${\displaystyle r}$ وعدد أعمدته ${\displaystyle s}$ يعطي :

${\displaystyle r\cdot s=\sum _{i=1}^{s}r=\sum _{j=1}^{r}s}$

كرة.

جداء عددين صحيحين

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c c|}\hline \cdot &-&+\\\hline -&+&-\\+&-&+\\\hline \end{array}}}$

وبتعبير آخر:

• جداء عددين سالبين يساوي عددا موجبا.
• جداء عدد سالب وعدد موجب يساوي عددا سالبا.
• جداء عدد موجب وعدد سالب يساوي عدد سالبا.
• جداء عددين موجبين يساوي عددا موجبا.

جداء كسرين

جداء كسرين هو كسر بسطه يساوي جداء بسط الكسرين ومقامه يساوي جداء مقام الكسرين، كما تبين ذلك الصيغة التالية:

${\displaystyle {\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}}}$

جداء عددين حقيقيين

جداء عددين عقديين

يحسب جداء عددين عقديين باستعمال قانون التوزيعية وبعلم كون ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$ كما تبين ذلك الصيغة التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b\,\mathrm {i} )\cdot (c+d\,\mathrm {i} )&=a\cdot c+a\cdot d\,\mathrm {i} +b\cdot c\,\mathrm {i} +b\cdot d\cdot \mathrm {i} ^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,\mathrm {i} \end{aligned}}}$

المعنى الهندسي لجداء عددين عقديين

يمكن أن تكتب الأعداد العقدية في النظام الإحداثي القطبي كما يلي:

${\displaystyle a+b\,\mathrm {i} =r\cdot (\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi ))=r\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }}$

وبالإضافة إلى ذلك،

${\displaystyle c+d\,\mathrm {i} =s\cdot (\cos(\psi )+\mathrm {i} \sin(\psi ))=s\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \psi }}$, ومن ذلك يحصل على ما يلي:

${\displaystyle (a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,\mathrm {i} =r\cdot s\cdot (\cos(\varphi +\psi )+\mathrm {i} \sin(\varphi +\psi ))=r\cdot s\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\varphi +\psi )}}$

المعنى الهندسي لجداء عددين عقديين هو جداء معياريهما وجمع عمدتيهما.

الجداءات في الجبر الخطي

الجداء القياسي

جداء قياسي هو تطبيق ثنائي الخطية:

${\displaystyle \cdot :V\times V\rightarrow \mathbb {R} }$

بالشروط التالية، ${\displaystyle v\cdot v>0}$ من أجل كل ${\displaystyle 0\not =v\in V}$.

من الجداء القياسي، يمكننا تحديد معيار بجعل ${\displaystyle \|v\|:={\sqrt {v\cdot v}}}$.

الجداء القياسي يمكن أيضا من تعريف الزاوية المحصورة بين متجهتين كما يلي:

${\displaystyle \cos \angle (v,w)={\frac {v\cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}}}$

في فضاء إقليدي بُعده ${\displaystyle n}$، الجداء القياسي الاعتيادي (يسمى ببساطة جداءا قياسيا) يعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\,\beta _{i}}$

الجداء الاتجاهي في الفضاء ثلاثي الأبعاد

الجداء الاتجاهي

جداء مصفوفتين

لتكن المصفوفتين

${\displaystyle A=(a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r}\in \mathbb {R} ^{s\times r}}$ و ${\displaystyle B=(b_{j,k})_{j=1\ldots r;k=1\ldots t}\in \mathbb {R} ^{r\times t}}$

جذاؤهما هو:

${\displaystyle B\cdot A=\left(\sum _{j=1}^{r}a_{i,j}\cdot b_{j,k}\right)_{i=1\ldots s;k=1\ldots t}\;\in \mathbb {R} ^{s\times t}}$

تركيب دالتين خطيتين ممثلا بجداء مصفوفتين

جداء متتالية

يرمز إلى الجداء الخاص بجداء متتالية بواسطة الحرف اليوناني الكبير بي ${\displaystyle \prod }$. جداء متتالية يتكون من رقم واحد هو فقط الرقم نفسه. يُعرف الجداء بلا عوامل على الإطلاق بالجداء الفارغ، ويساوي 1.

مثال: ${\displaystyle \prod _{i=1}^{N}u_{i}=u_{1}\times u_{2}\times \cdots \times u_{N}.}$

جداءات أخرى

هناك العديد من أنواع الجداءات الأخرى اللائي يدرسن في الرياضيات:

• جداء هادامار،
• جداء كرونكر.
• جداء الداخل
• جداء الخارج
• جداء عقدي، نظرية حول المنحنيات الإهليلجية.

مقالات ذات صلة

• بي (حرف).

مراجع

وصلات خارجية

• الجداء في موقع ماثوورلد

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات