الرئيسيةعريقبحث

دالة الكثافة الاحتمالية

صفحة توضيح

☰ جدول المحتويات


في نظرية الاحتمالات، دالة الكثافة الاحتمالية (د.[1]ك.ا) (probability density function)‏ أو (pdf) هي الدالة الممثلة لأي توزيع احتمالي عن طريق التكامل. وتكون دالة الكثافة الاحتمالية موجبة دائمًا، كما يكون تكاملها من ∞- إلى ∞+ مساويًا لواحد:

يمكن وصف دالة الكثافة الاحتمالية بأنها تقويم لاستمرارية منسّج الذي يمثل التكرارات النسبية ضمن مجالات النتائج البيانية.

توزيعات مستمرة بمتغير واحد

تكون للمتغير العشوائي دالة كثافة احتمالية ، حيث قيم هذه الدالة غير سالبة وهي قابلة للتكامل حسب ليبيغ، إذا ما تحقّق :

أي أنّ الاحتمال بأن يتخذ المتغير قيمًا في الفترة مساوية لتكامل دالة الكثافة الاحتمالية في نفس الفترة. من هنا، فإذا كانت هي دالة التوزيع التراكمي للمتغير ، يتحقق:

وكذلك، فإنّ:

من هنا، فإذا كان لدينا توزريعًا احتماليًا له كثافة ، عندئذ يكون الاحتمال للحصول على قيم في المجال اللامتناهي هو .

دوال كثافة احتمالية مهمة

  • التوزيع المنتظم هو أحد أكثر التوزيعات أهمية واستعمالاً. في صيغته المستمرة نقول أنّ للمتغيّر العشوائي X توزيعًا منتظمًا في الفترة إذا كان احتمال حصول X على قيمة ما في فترة جزئية محتواة في الفترة مساويًا لاحتمال حصوله على قيمة ما في فترة جزئية أخرى محتواة في الفترة ، بشرط أن تكون الفترتان بنفس الطول. هذا يقضي بأن يكون لـX نفس الكثافة الاحتمالية على طول الفترة ، أي:
هذا في حالة كون المتغيّر عشوائي تابعا لتوزيع طبيعي معياري، أي أنّه ذو قيمة متوقّعة مساوية لصفر، وتباين مساوٍ لواحد. أمّا إذا كانت القيمة المتوقعة مساوية لـ- والتباين مساويًا لـ- تكتب دالة الكثافة الاحتمالية كالتالي:

استعمالات

أي أنّ القيمة المتوقعة لمتغيّر عشوائي هي عبارة عن مركز ثقل دالة الكثافة الاحتمالية خاصته.

مقالات ذات صلة

مراجع

موسوعات ذات صلة :