فترة (رياضيات)

إضافة x + a على خط الأعداد. كل الأرقام أكبر من x وأقل من x + a تقع في تلك الفترة المفتوحة.

في الرياضيات ، الفترة (الحقيقية)، أو المجال، هي مجموعة من الأرقام الحقيقية بحيث أن أي رقم يقع بين رقمين في المجموعة هو أيضا عنصر في تلك المجموعة. على سبيل المثال، مجموعة الأرقام x التي تحقق أن 0 ≤ x ≤ 1 هي فترة تحتوي كلا من 0 و1 ، وكذلك جميع الأرقام بينهما. أمثلة أخرى للفترات هي مجموعة الأرقام الحقيقية ${\displaystyle \mathbb {R} }$، كذلك مجموعة الأرقام الحقيقية السالبة، والمجموعة الفارغة.

تلعب الفترات دورًا مهمًا في نظرية التكامل، لأنها أبسط مجموعة يسهل تعريف "حجمها" أو "قياسها" أو "طولها". يمكن بعد ذلك توسيع مفهوم القياس ليشمل مجموعات أكثر تعقيدًا من الأعداد الحقيقية، مما يؤدي إلى قياس بوريل وفي نهاية المطاف إلى مقياس ليبيج.

يتم تعريف الفترات على مجموعة اختيارية مرتبة ترتيبا كليا ، مثل الأعداد الصحيحة أو الأرقام الكسرية. يتم مراعاة تدوين الفترات الصحيحة في القسم الخاص أدناه.

المصطلحات

• الفترة المفتوحة لا تشمل نقاط النهاية، ويشار إليها بأقواس مدورة "(". على سبيل المثال: (0,1) تعني أكبر من 0 وأقل من 1.
• الفترة المغلقة هو فترة تتضمن جميع نقاطها المحددة، ويُشار إليه بأقواس مربعة "]". على سبيل المثال: [0,1] تعني أكبر من أو تساوي 0 وأقل من أو تساوي 1.
• تتضمن الفترة نصف المفتوحة واحدة فقط من نقاط النهاية الخاصة بها، ويتم الإشارة إليها عن طريق خلط الرموز للفترة المفتوحة والمغلقة. فمثلا: الفترة (0,1] تعني أكبر من 0 وأقل من أو تساوي 1 ، بينما الفترة [0,1) تعني أكبر من أو تساوي 0 وأقل من 1.
• الفترة المتحولة (degenerate interval) هي أي مجموعة تتكون من رقم حقيقي واحد. ويضع بعض المؤلفين المجموعة الفارغة في هذا التعريف. وتُسمى الفترة التي ليست فارغة وليست متحولة بالفترة غير المعتلة (proper)، وتحتوي على عدد غير محدود من العناصر.
• يُقال إن الفترة مُحدودة من اليسار (left-bounded) أو مُحدودة من اليمين (right-bounded) إذا كان هناك عدد حقيقي أصغر من أو أكبر من جميع عناصرها على التوالي.
• يقال إن الفترة محدودة (bounded) إذا كانت محدودة يسارًا ويمينًا؛ ويقال أنها غير محدودة إذا كانت خلاف ذلك. يقال إن الفترة المحدودة بنهاية واحدة تكون نصف محدودة. المجموعة الفارغة هي فترة محدودة، ومجموعة كل الأرقام الحقيقية هي الفترة الوحيدة غير المحدودة من كلا الطرفين. تُعرف الفترة المحدودة أيضًا بفترات محددة.

الفترات المحدودة هي مجموعات محدودة، بمعنى أن قطرها (الذي يساوي الفرق المطلق بين نقاط النهاية) محدود. يمكن أن يسمى القطر طول أو عرض أو قياس أو مدى أو حجم الفترة. يُعرَّف حجم الفترة غير المحدودة بأنه +∞ ، ويمكن تعريف حجم الفترة الفارغة على أنه 0.

الوسط (النقطة الوسطى) للفترة المحدودة التي نقاط نهايتها هما a وb هو (a + b)/2 ، ونصف القطر هو نصف القيمة المطلقة للفرق بين a وb أي 2/| a - b |. هذه المفاهيم غير مُعَرَّفة للفترة الفارغة أو الفترة غير المحدودة.

يقال إن الفترة مفتوحة لليسار إذا وفقط إذا كانت لا تحتوي على حد أدنى (عنصر أصغر من جميع عناصرها الأخرى)؛ بينما يقال أنها مفتوحة لليمين إذا كانت لا تحتوي على حد أقصى (عنصر أكبر من جميع عناصرها الأخرى)؛ وتُسمى مفتوحة إذا كان ليس لديها حد أدنى ولا حد أقصى. الفترة [0,1) = {x | 0 ≤ x < 1} ، على سبيل المثال، تكون مغلقة من اليسار ومفتوحة لليمين. المجموعة الفارغة ومجموعة كل الأرقام الحقيقة هي فترات مفتوحة، في حين أن مجموعة الأرقام الحقيقة غير السالبة هي فترة مفتوحة لليمين وليس لليسار. تتطابق الفترات المفتوحة مع المجموعات المفتوحة على خط الأعداد الحقيقية في طوبولوجيتها القياسية.

يقال إن الفترة مغلقة من اليسار إذا كانت تحتوي على عنصر هو الحد الأدنى لها، وتكون مغلقة من اليمين إذا كانت تحتوي الحد الأقصى، وتسمى مغلقة إذا كانت تحتوي على كليهما. يتم عادةً توسيع هذه التعريفات لتشمل المجموعة الفارغة والفترات غير المحدودة (يسارًا أو يمينًا)، ولذلك تتطابق الفترات المغلقة مع المجموعات المغلقة في تلك الهيكلية.

الجزء الداخلي (interior) من الفترة I هو أكبر فترة مفتوحة موجودة في I ؛ وهو أيضًا مجموعة كل نقاط I التي ليست نقاط النهاية لـ I. إغلاق (closure) الفترة I هو أصغر فترة مغلقة تحتوي على I ؛ أو هو أيضا مجموعة I بالإضافة إلى نقاط النهاية.

بالنسبة إلى أي مجموعة X من الأرقام الحقيقية، تكون الفترة المحيطة (interval enclosure) أو (interval span) لـ X هي الفترة الوحيدة التي تحتوي على X ولا تحتوي بشكل صحيح على أي فترة أخرى تحتوي أيضًا على X.

ملاحظة على المصطلحات المتعارضة

تم استخدام مصطلحات مقطع (segment) وفترة (interval) في الأوراق العلمية المنشورة بطريقتين متناقضتين بشكل أساسي، مما أدى إلى غموض عند استخدام هذه المصطلحات. موسوعة الرياضيات^[1] تُعَرِّف الفترة (بدون توضيح) لاستبعاد كلا النهايتين (أي فترة مفتوحة) والمقطع ليشمل كلا النهايتين (أي فترة مغلقة)، في حين أن مبادئ رودين للتحليل الرياضي^[2] تُسمي المجموعات على الشكل [ أ ، ب ] فترات، والمجموعات على الشكل (أ ، ب) مقاطع. عادة ما تظهر هذه المصطلحات في الكتابات القديمة؛ بينما النصوص الحديثة فتستخدم مصطلح الفترة (مع بيان كونها مفتوحة أو مغلقة أو نصف مفتوحة) ، بغض النظر عما إذا كانت نقاط النهاية مدرجة أم لا.

رموز الفترات

غالبًا ما يتم الإشارة إلى الفترة للأرقام بين a وb ، بما في ذلك a وb ، بالرمز [a, b] (أي فترة مغلقة). يطلق على الرقمين a وb نقاط النهاية للفترة. في البلدان التي تُكتب فيها الأرقام بفاصلة عشرية، يمكن استخدام فاصلة منقوطة كفاصل، لتجنب اللبس.

احتواء أو استبعاد نقاط النهاية

للإشارة إلى أن إحدى نقاط النهاية لا تنتمي للمجموعة، يمكن استبدال القوس المربع "[" المقابل لها إما بأقواس مدورة "(" أو عكس القوس المربع. تم وصف كلا الترميزين في المعيار الدولي ISO 31-11. وهكذا، في تدوين باني مجموعة،

${\displaystyle {\begin{aligned}{\color {RedOrange}(}a,b{\color {RedOrange})}={\mathopen {\color {RedOrange}]}}a,b{\mathclose {\color {RedOrange}[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a{\color {RedOrange}<}x{\color {RedOrange}<}b\},\\{}{\color {OliveGreen}[}a,b{\color {RedOrange})}={\mathopen {\color {OliveGreen}[}}a,b{\mathclose {\color {RedOrange}[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a{\color {OliveGreen}\leq }x{\color {RedOrange}<}b\},\\{}{\color {RedOrange}(}a,b{\color {OliveGreen}]}={\mathopen {\color {RedOrange}]}}a,b{\mathclose {\color {OliveGreen}]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a{\color {RedOrange}<}x{\color {OliveGreen}\leq }b\},\\{}{\color {OliveGreen}[}a,b{\color {OliveGreen}]}={\mathopen {\color {OliveGreen}[}}a,b{\mathclose {\color {OliveGreen}]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a{\color {OliveGreen}\leq }x{\color {OliveGreen}\leq }b\}.\end{aligned}}}$

لاحظ أن (a, a) ، [a, a) ، و(a, a] كلها تمثل مجموعة فارغة ، بينما [a, a] تشير إلى المجموعة {a}. وإذا كانت a > b ، عادةً ما تؤخذ الرموز الأربعة لتمثيل المجموعة الفارغة.

قد يتداخل كلا الترميزين مع الاستخدامات الأخرى للأقواس المربعة والأقواس المدورة في الرياضيات. على سبيل المثال، يستخدم الترميز (a, b) غالبًا للدلالة على زوج مرتب في نظرية المجموعة، وإحداثيات نقطة أو متجه في الهندسة التحليلية والجبر الخطي ، أو (في بعض الأحيان) عدد معقد في الجبر. هذا هو السبب في أن بورباكي قدم الترميز ]a, b[ للإشارة إلى الفترة المفتوحة.^[3] يستخدم الترميز [a, b] أيضًا في بعض الأحيان للأزواج المرتبة، خاصةً في علوم الكمبيوتر.

يستخدم بعض المؤلفين ]a, b[ للدلالة على المكمل (complement) للفترة  (a, b) ؛ وهي كل مجموعة من الأرقام الحقيقية التي إما أن تكون "أقل من أو تساوي a" أو "أكبر من أو يساوي b".

نقاط النهاية غير المحددة

في بعض السياقات، يمكن تعريف الفترة على أنها مجموعة فرعية من الأعداد الحقيقية الممتدة، وهي مجموعة من جميع الأرقام الحقيقية موسعة مع −∞ و+∞.

في هذا التفسير، تكون الرموز [−∞, b] و(−∞, b] و[a, +∞] و[a, +∞) كلها ذات معنى ومتميزة. على وجه الخصوص (−∞, +∞) تشير إلى مجموعة من جميع الأرقام الحقيقية العادية، في حين أن [−∞, +∞] تشير إلى الأرقام الحقيقية الممتدة.

حتى في سياق الأرقام الحقيقية العادية، يمكن للمرء استخدام نقطة النهاية غير المحدودة (infinite) للإشارة إلى عدم وجود أي حدود في هذا الاتجاه. على سبيل المثال، (0, +∞) هي مجموعة من الأرقام الحقيقية الموجبة تُكتب أيضًا ℝ ⁺. يؤثر السياق على بعض التعاريف والمصطلحات المذكورة أعلاه. على سبيل المثال، الفترة (−∞, +∞)   هي مجموعة الأرقام الحقيقية.

فترات الأعداد الصحيحة

يتم أحيانًا استخدام الترميز [a .. b] عندما يكون a وb عددًا صحيحًا ، أو {a .. b} ، أو مجرد a .. b للإشارة إلى الفترة التي تحتوي كل الأعداد الصحيحة بين a وb ، بما في ذلك الاثنين. يستخدم هذا الترميز في بعض لغات البرمجة ؛ في لغة الباسكال، على سبيل المثال، يتم استخدامه لتحديد لتعريف مدى، يتم استخدامه في أغلب الأحيان لتحديد الحدود الدنيا والعليا لمؤشرات صالحة لمصفوفة.

دائمًا ما تحتوي فترات الأعداد الصحيحة على نقطة نهاية منخفضة أو علوية محددة (finite). لذلك، يمكن الإشارة بوضوح إلى استبعاد نقاط النهاية عن طريق كتابة a .. b − 1 أو a + 1 .. b أو a + 1 .. b − 1. نادراً ما تستخدم ترميزات القوس البديل مثل [a .. b) أو [a .. b[ للفترات الصحيحة.

تصنيف الفترات

يمكن تصنيف فترات الأرقام الحقيقية في أحد عشر نوعًا مختلفًا مدرجًا أدناه، حيث a وb أرقام حقيقية، و${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle a<b}$

فارغة: ${\displaystyle [b,a]=(b,a)=[b,a)=(b,a]=(a,a)=[a,a)=(a,a]=\{\}=\emptyset }$

متحولة: ${\displaystyle [a,a]=\{a\}}$

محدودة:

مفتوحة: ${\displaystyle (a,b)=\{x\mid a<x<b\}}$

مغلقة: ${\displaystyle [a,b]=\{x\mid a\leq x\leq b\}}$

مغلقة من اليسار، مفتوحة من اليمين: ${\displaystyle [a,b)=\{x\mid a\leq x<b\}}$

مفتوحة من اليسار، مغلقة من اليمين: ${\displaystyle (a,b]=\{x\mid a<x\leq b\}}$

محدودة من اليسار وغير محدودة من اليمين:

مفتوحة من اليسار: ${\displaystyle (a,+\infty )=\{x\mid x>a\}}$

مغلقة من اليسار: ${\displaystyle [a,+\infty )=\{x\mid x\geq a\}}$

غير محدودة من اليسار ومحدودة من اليمين:

مفتوحة من اليمين: ${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\mid x<b\}}$

مغلقة من اليمين: ${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\mid x\leq b\}}$

غير محدودة من كلا الطرفين (مفتوح ومغلق في وقت واحد): ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )=\mathbb {R} }$:

خصائص الفترات

الفترات هي بالضبط مجموعات فرعية متصلة من${\displaystyle \mathbb {R} }$. ويترتب على ذلك أن صورة الفترة بواسطة أي دالة مستمرة هي أيضًا فترة. هذه أحد صيغ نظرية القيمة المتوسطة.

فترات Dyadic

التعميمات

فترات متعددة الأبعاد

فترات معقدة

الجبر الطوبولوجي

مقالات ذات صلة

• عدم المساواة
• الرسم البياني الفاصل
• الفاصل الفاصل العنصر
• الفاصل الزمني (إحصائيات)

المراجع

• T. Sunaga ، "نظرية الجبر الفاصل وتطبيقه على التحليل العددي" ، في: مذكرات جمعية أبحاث الهندسة التطبيقية (RAAG) ، Ggujutsu Bunken Fukuy-kai. طوكيو، اليابان، 1958 ، المجلد. 2 ، ص.   29-46 (547-564) ؛ أعيد طبعه في مجلة اليابان حول الرياضيات الصناعية والتطبيقية، 2009 ، المجلد. 26 ، رقم 2-3 ، ص.   126-143.

روابط خارجية

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة تحليل رياضي