رباعي توافقي

في الهندسة الإقليدية، الرباعي التوافقي (Harmonic quadrilateral)‏ هو مضلعٌ رباعيٌّ تُوجدُ دائرةٌ تمرُّ بجميعِ رؤوسهِ بحيث جداء كل طولَيْ ضلعَيْه المتقابلين متساوٍ.^[1]

الخواص

إذا كانَ ${\displaystyle ABCD}$ رباعياً توافقياً، و${\displaystyle M}$ نقطة منتصف ضلعه القطري ${\displaystyle AC}$، فإنَّ:

• المماسات لدائرته المحيطة في النقاط ${\displaystyle A,C}$ والخط المستقيم ${\displaystyle BD}$ إما أن يلتقوا أو يتوازوا.
• الزوايا ${\displaystyle \angle BMC,\angle DMC}$ متطابقة.
• منصفات الزوايا ${\displaystyle \angle B,\angle D}$ تتلاقى على ${\displaystyle AC}$.
• يُسمّى الضلع القطري ${\displaystyle BD}$ من الرباعي: مستوسط نازلٌ من الزوايا ${\displaystyle B,D}$ في المثلثات ${\displaystyle \triangle ABC,\triangle ADC}$.

النسب التبادلية

النسبة التبادلية (Cross-ratio)‏ هي نسبةٌ مُرتبطةٌ بأربعِ نقاطٍ مُتسامتة. إذا كانت النقاط ${\displaystyle A,B,C,D}$ على استقامةٍ واحدةٍ، فإنَّ نسبتهم التبادلية تُعرّف كالآتي:^[2]

تُعرّفُ النقطة ${\displaystyle D}$ على أنّها المرافق التوافقي للنقطة ${\displaystyle C}$ بالنسبة لـ${\displaystyle A}$ و${\displaystyle B}$. إذا كانت النسبة التوافقية للنقاط الأربع تساوي ${\displaystyle -1}$. وتُسمَّى حينئذٍ نسبةً توافقية. ونتيجةً لذلك، فإنَّ النسبة التبادلية بالإمكان اعتبارها على أنها مدى بُعدِ الأربع نقاط عن النسبة التوافقية.^[2] النسبة التبادلية مُعرّفة منذ القِدَم، حيث يرجّح أن إقليدس هو أوّل من ذكرها، كما استعملها ببس الرومي الذي لاحظ خاصيّة ثباتها تحت التحويلات الخطية. فالنسبة التبادلية لأيِّ قطعةٍ مُستقيمةٍ تقطع 4 مستقيمات متلاقية هي ثابتة. بشكلٍ مُكافئ، يُعرّفُ ذلكَ في الهندسة الإسقاطية على أنَّ النسبة التبادلية ثابتةٌ تحت أي تحويلٍ خطيٍ كسريٍ.^[2] في تعريفِ أبولونيوس للدائرة، تُسمَّى الخطوط ${\displaystyle {\overleftrightarrow {PA}},{\overleftrightarrow {PB}},{\overleftrightarrow {PC}},{\overleftrightarrow {PD}}}$ «حُزمة توافقية» وهي كل مجموعة خطوط متلاقية نسبتها توافقية (أي: نسبتها التبادلية تساوي ${\displaystyle -1}$). إنَّ تقاطعَ حُزمةٍ توافقيةٍ مع الدائرة يُنتجُ رباعياً توافقياً.^[3]

انظر أيضاً

• هندسة إسقاطية.
• نسبة تبادلية.
• رباعي دائري.
• نقاط مشتركة بدائرة.

مراجع

وصلات خارجية

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة هندسة رياضية
• موسوعة رياضيات