في الرياضيات، عدد فيرما (Fermat number) هو عدد صحيح موجب يكتب على شكل:
حيث n هو عدد صحيح غير سالب. سمي كذلك نسبة إلى بيير دي فيرما لأنه هو أول من درس هذه الأعداد. ويمكن سرد أعداد فيرما التسعة الأولى كالتالي:
| F0 | = | 21 | + | 1 | = | 3 | |
| F1 | = | 22 | + | 1 | = | 5 | |
| F2 | = | 24 | + | 1 | = | 17 | |
| F3 | = | 28 | + | 1 | = | 257 | |
| F4 | = | 216 | + | 1 | = | 65,537 | |
| F5 | = | 232 | + | 1 | = | 4,294,967,297 | |
| = | 641 × 6,700,417 | ||||||
| F6 | = | 264 | + | 1 | = | 18,446,744,073,709,551,617 | |
| = | 274,177 × 67,280,421,310,721 | ||||||
| F7 | = | 2128 | + | 1 | = | 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457 | |
| = | 59,649,589,127,497,217 × 5,704,689,200,685,129,054,721 | ||||||
| F8 | = | 2256 | + | 1 | = | 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,937 | |
| = | 1,238,926,361,552,897 × 93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321 |
إذا كان العدد 2n + 1 عددا أوليا وكان n > 0 من الممكن برهان أن n هو من مضاعفات العدد 2.
لائحة أعداد فيرما الأولية المعروفة لا تحتوي على غير F0 وF1 وF2 وF3 وF4.
الخصائص الأساسية
هل أعداد فيرما أولية ؟
درست أعداد فيرما وأعداد فيرما الأولية من طرف عالم الرياضيات بيير دي فيرما، الذي حدس (ولكنه أعلن عدم إمكانه البرهان على ذلك) أن جميع أعداد فيرما هي أعداد أولية. بالفعل، فالأعداد F4,...,F0 هي أعداد أولية. ولكن هاته الحدسية دحضت من طرف ليونهارد أويلر عندما أثبت عام 1732 أن :
تعميل أعداد فيرما
الأعداد شبه الأولية وأعداد فيرما
مبرهنات أخرى حول أعداد فيرما
لأي عدد فيرما F_n وعدد صحيح موجب m>n العلاقة التالية تتحقق F_n=(F_m-1)^{2(m-n)}+1
علاقة أعداد فيرما بمتعددات الأضلع القابلة للإنشاء
- مقالة مفصلة: مضلع قابل للإنشاء
طور كارل فريدريش غاوس نظرية الدورات الغاوسية في كتابه استفسارات حسابية.
تطبيقات أعداد فيرما
توليد الأعداد شبه العشوائية
حقائق مهمة أخرى
أعداد فيرما المعممة
أعداد فيرما الأولية المعممة
مقالات ذات صلة
مراجع
- 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer, Springer, CMS Books 9, (This book contains an extensive list of references.)
- S. W. Golomb, On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities, Canad. J. Math. 15(1963), 475—478.
- Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), سبرنجر, 2004 ; sections A3,A12,B21.
- Florian Luca, The anti-social Fermat number, Amer. Math. Monthly 107(2000), 171—173.
- Michal Krizek, Florian Luca and Lawrence Somer(2002), On the convergence of series of reciprocals of primes related to the Fermat numbers, J. Number Theory 97(2002), 95—112.
- A. Grytczuk, F. Luca and M. Wojtowicz(2001), Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers, Southeast Asian Bull. Math. 25(2001), 111—115.