عدد ميرسين الأولي

في الرياضيات، عدد ميرسين (Mersenne number)‏ هو عدد صحيح موجب أصغر من قوة العدد اثنين بواحد:

${\displaystyle M_{p}=2^{p}-1.\,}$

سميت هاته الأعداد هكذا نسبة لمارين ميرسين وهو راهب فرنسي بدأ دراستها في بداية القرن السابع عشر. بعض التعريفات لأعداد ميرسين تشترط في الأس p أن يكون أوليا، بما أنه إذا كان p عددا مؤلفا فإن العدد ${\displaystyle 2^{p}-1.\,}$ يكون مؤلفا أيضا.

من المعلوم أنه إذا كان ${\displaystyle 2^{p}-1}$ عددا أوليا فإن p هو عدد أولي أيضا. بحلول السابع من يناير 2016، اكتشف تسعة وأربعون عددا أوليا لميرسين فقط. أكبر عدد أولي معروف (ويساوي ${\displaystyle 2^{82,589,933}-1}$) هو عدد أولي لميرسين. كل أعداد ميرسين الأولية المكتشفة بعد 1997، اكتشفت بفضل مشروع البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت.

حول أعداد ميرسين الأولية

البحث عن أعداد ميرسين الأولية

مبرهنات حول أعداد ميرسين

التاريخ

اعتقد عدد من الرياضيين السابقين أن العدد من الصورة ${\displaystyle 2^{n}-1}$ يكون أوليا كلما كان n عددا أوليا، و لكن في 1536 أثبت ريجيوس ( Regius ) أن العدد : 2047 = 23.89 = ${\displaystyle 2^{11}-1}$ ليس أوليا حيث أنه حاصل ضرب 23 و89، و في عام 1603 تحقق كاتالدي أن العددين ${\displaystyle 2^{17}-1}$ و ${\displaystyle 2^{19}-1}$ أوليان ، و استنتج كاتالدي و بشكل خاطئ أن العدد ${\displaystyle 2^{n}-1}$ يكون أوليا لكل : n = 23,29,31,37 ، حيث أثبت فيرما في 1645 أن كاتالدي كان خاطئا بالنسبة للعددين n = 23,37 ، و أثبت أويلر في 1738 أن كاتالدي كان أيضا خاطئا بالنسبة للعدد n = 29 ، و في وقت لاحق أثبت أويلر أن كاتالدي كان مصيبا بالنسبة للعدد n = 31.

بمجيء الفرنسي مارين ميرسين (1588-1648)، حيث وضع في مقدمة أحد كتبه أن العدد ${\displaystyle 2^{n}-1}$ يكون أوليا عندما : n = 2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257 ، و أنه مركب لكل الأعداد n <257 الصحيحة، و رغم أن هذا التخمين من ميرسين كان خاطئا إلا أن اسمه ظل ملتصقا بهذه الأعداد حيث سميت باسمه.

كان واضحا أنه ليس بإمكان ميرسين التحقق من كل هذه الأعداد (n <257) لصعوبة ذلك في عصر ميرسين. كذلك لم يكن بمقدور معاصريه التحقق من موضوعته، فبقيت كذلك إلى مائة سنة و ذلك عندما تحقق أويلر في 1750 من أن العدد التالي في قائمة ميرسين هو ${\displaystyle 2^{31}-1}$ ، و بعد قرن آخر و في 1876 بين إدوارد لوكاس أن العدد ${\displaystyle 2^{127}-1}$ أولي، و بعد سبع سنوات أثبت عالم الرياضيات الروسي بيرفوشين أن العدد ${\displaystyle 2^{61}-1}$ أولي و هذا لم يذكره ميرسين ، كذلك أثبت باورس (Powers ) في بداية القرن العشرين أن ميرسين أغفل أيضا العددين الأوليين ${\displaystyle 2^{89}-1}$ و ${\displaystyle 2^{107}-1}$ و بنهاية عام 1947 كانت سلسلة ميرسين للأعداد (n<258 ) قد اكتملت بشكلها الصحيح و هي :

(n = 2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127 ) ، أما بالنسبة لبقية أعداد ميرسين فقد تم اكتشافها مع ظهور الحاسب الحالي.

لائحة أعداد ميرسين الأولية المعروفة

تعميل أعداد ميرسين

الأعداد المثالية

تكمن أهمية أعداد ميرسين الأولية في ارتباطها بالأعداد المثالية. في القرن الرابع قبل الميلاد، برهن اقليدس على أنه إذا كان M_p عددا أوليا لميرسن، فإن

${\displaystyle 2^{p-1}\cdot (2^{p}-1)=M_{p}(M_{p}+1)/2\ }$

هو عدد مثالي زوجي. في القرن العاشر، يبدو أن ابن الهيثم كان أول من حاول تصنيف الأعداد المثالية الزوجية على شكل (${\displaystyle 2^{k-1}(2^{k}-1}$ حيث ${\displaystyle (2^{k}-1)}$ هو عدد أولي. في القرن الثامن عشر، برهن ليونهارد أويلر على عكس هاته المبرهنة والذي ينص على أن كل عدد مثالي زوجي له هذا الشكل.

تعميم

أعداد ميرسين في الطبيعة وغيرها

في معضلة برج هانوا الرياضية: حلحلة المعضلة حيث عدد الأقراص هو p تتطلب على الأقل M_p خطوة.

مقالات ذات صلة

مراجع

وصلات خارجية

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة نظرية الأعداد
• موسوعة رياضيات