متباينة فايتزينبوخ

حسب متراجحة فايتزينبوخ فإن مساحة هذا المثلث هي على الأكثر (a² + b² + c²) ⁄ 4√3

في الهندسة الرياضية، متراجحة فايتزينبوخ،(Weitzenböck's inequality)‏ المسماة على شرف رولاند فايتزينبوخ ، تنص على أنه في مثلث أطوال أضلاعه ${\displaystyle a}$، ${\displaystyle b}$، ${\displaystyle c}$، ومساحته ${\displaystyle \Delta }$، المتراجحة التالية محققة:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}\,\Delta .}$

تنتج حالة المساواة إذا وفقط إذا كان المثلث متساوي الأضلاع. متراجحة بيدو هي تعميم لمتراجحة فايتزينبوخ.

التأويل الهندسي والبرهان

مزيد براهين

برهان هذه المفاوتة طلب كسؤال في أولمبياد الرياضيات الدولي لسنة 1961. مع ذلك، فهو ليس صعبًا إذا ما استخدمنا له صيغة هيرون لمساحة مثلث:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &{}={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}\\&{}={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}.\end{aligned}}}$

الطريقة الأولى

يمكن إثبات أن مساحة مثلث نابوليون الداخلي، الموجبة، هي:

${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{24}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-4{\sqrt {3}}\Delta )}$

و إذًا فالتعبير داخل الأقواس أكبر من أو يساوي 0.

الطريقة الثانية

هذه الطريقة لاتفترض معرفة بالمتفاوتات باسثتناء علم أن المربعات موجبة.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}&(a^{2}-b^{2})^{2}+(b^{2}-c^{2})^{2}+(c^{2}-a^{2})^{2}\geq 0\\{}\iff &2(a^{4}+b^{4}+c^{4})-2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})\geq 0\\{}\iff &{\frac {4(a^{4}+b^{4}+c^{4})}{3}}\geq {\frac {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})}{3}}\\{}\iff &{\frac {(a^{4}+b^{4}+c^{4})+2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})}{3}}\geq 2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\{}\iff &{\frac {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}}\geq (4\Delta )^{2},\end{aligned}}}$

و ستظهر النتيجة تلقائيا عند أخذ الجذور الموجبة لكلا الطرفين. يمكن ملاحظة أيضا من المتراجحة الأولى أن حالة المساواة تتحقق فقط عندما ${\displaystyle a=b=c}$ والمثلث متساوي الأضلاع.

الطريقة الثالثة

هذا البرهان يفترض معرفة متراجحة المتوسطين الحسابي والهندسي.

${\displaystyle {\begin{aligned}&&(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}&\geq &&0\\\Rightarrow &&2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}&\geq &&2ab+2bc+2ac\\\iff &&3(a^{2}+b^{2}+c^{2})&\geq &&(a+b+c)^{2}\\\iff &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&{\sqrt {3(a+b+c)\left({\frac {a+b+c}{3}}\right)^{3}}}\\\Rightarrow &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&{\sqrt {3(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\\iff &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&4{\sqrt {3}}\Delta .\end{aligned}}}$

وبما أنه تم استعمال متراجحة المتوسطين الحسابي والهندسي، فإن حالة المساواة تتحقق عندما ${\displaystyle a=b=c}$ و المثلث متساوي الأضلاع.

الطريقة الرابعة

مراجع

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, (ردمك ), pp. 84-86
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Geometric Proofs of the Weitzenböck and Hadwiger-Finsler Inequalities. Mathematics Magazine, Vol. 81, No. 3 (Jun., 2008), pp. 216–219 (JSTOR)
• D. M. Batinetu-Giurgiu, Nicusor Minculete, Nevulai Stanciu: Some geometric inequalities of Ionescu-Weitzebböck type. International Journal of Geometry, Vol. 2 (2013), No. 1, April
• D. M. Batinetu-Giurgiu, Nevulai Stanciu: The inequality Ionescu - Weitzenböck. MateInfo.ro, April 2013, (online copy)
• دانييل بيدو: On Some Geometrical Inequalities. The Mathematical Gazette, Vol. 26, No. 272 (Dec., 1942), pp. 202-208 (JSTOR)
• رولاند فايتزينبوخ: Über eine Ungleichung in der Dreiecksgeometrie. Mathematische Zeitschrift, Volume 5, 1919, pp. 137-146 (online copy at Göttinger Digitalisierungszentrum)
• Dragutin Svrtan, Darko Veljan: Non-Euclidean Versions of Some Classical Triangle Inequalities. Forum Geometricorum, Volume 12, 2012, pp. 197–209 (online copy)
• Mihaly Bencze, Nicusor Minculete, Ovidiu T. Pop: New inequalities for the triangle. Octogon Mathematical Magazine, Vol. 17, No.1, April 2009, pp. 70-89 (online copy)

وصلات خارجية

• إيريك ويستاين، متراجحة فايتزينبوخ، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).

• "Weitzenböck's Inequality," an interactive demonstration by Jay Warendorff - Wolfram Demonstrations Project.

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة تحليل رياضي