مساحة

ثلاثة أشكال هندسية معهودة.

المساحة هي قياس لمنطقة محصورة في نطاق معين على سطح، وأبسط شكل لها هي المنطقة المحصورة بين أربع خطوط بنفس الطول، اثنان منها متوازيان، والآخران متعامدان مع الأولى، أي على شكل مربع. ومن هذا الشكل يتم اشتقاق كل أشكال المساحة الأخرى، وعندما يكون طول هذه الخطوط وحدة قياس طول واحدة، فإن المساحة المحصورة بينها تعتبر وحدة قياس مساحة واحدة، وبالتالي فإذا كان هناك مربع، طول ضلعه متر واحد، فإن مساحته تساوي مترا مربعا واحدا.

يمكن حساب المساحة بعدد مربعات وحدة المساحة الجزئية والكاملة. في النظام الدولي للوحدات الوحدة القياسية للمساحة هو المتر المربع (كما هو مكتوب m²)، وهو مساحة مربع طول ضلعه متر واحد. شكل ذو مساحة ثلاثة متر مربع لديه نفس المساحة لثلاثة من هذه المربعات ذات المتر الواحد طولا. وهناك العديد من الصيغ المعروفة للمساحات لأشكال بسيطة مثل المثلثات والمستطيلات والدوائر. باستخدام هذه الصيغ، يمكن حساب مساحة أي مضلع من خلال تقسيم المضلع إلى مثلثات أو الدوائر للحصول على الأشكال المنحنية مع الحدود، وعادة ما يتطلب حساب التفاضل والتكامل لحساب المجال. في الواقع، كانت مشكلة تحديد مجال الأرقام دافعا كبيرا للتطور التاريخي في حساب التفاضل والتكامل. إذا أخذنا شكلا صلبا مثل كرة، مخروط أو اسطوانة، تسمى مساحة سطح حدود هذا الشكل بمساحة السطح.^[1] حسبت^[2] معادلات مساحات السطح للأشكال البسيطة من قبل الإغريق، ولكن حساب المساحة السطحية للشكل هي الأكثر تعقيدا وعادة ما يتطلب حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات.

معادلات لقياس المساحة

مساحة الدائرة ذات الشعاع r.

• مساحة المستطيل = الطول × العرض

مسلمة مساحة المستطيل والتي تنص على أن مساحة المستطيل تساوى طوله×عرضه وهذا شيء بديهى يمكن إدراكه بدون البرهنة عليه وذلك بملاحظة أنه عند فرض مستطيل عرضه الوحدة (لكى يكون عرضه غير مؤثر في المساحة بحيث يكون الطول وحده هو الذي يتحكم في قيمة المساحة) وطوله عدد معين من الوحدات نلاحظ أن عدد الوحدات المربعة والتي تشكل مساحة المستطيل يساوى عدد الوحدات الطولية التي تشكل طول المستطيل وبزيادة عدد وحدات الطول نلاحظ أن مساحة المستطيل تزداد بنفس المقدار ومن ذلك يتضح أن مساحة المستطيل تساوى طوله×عرضه.

• مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع: وتكتب بالإنجليزية على الصورة ${\displaystyle A=b.h/2}$ حيث: b هي طول القاعدة، و h هي طول الارتفاع.
• مساحة الدائرة ${\displaystyle A=\pi r^{2}\,}$ حيث: r هي نصف قطر الدائرة.
• مساحة سطح الكرة ${\displaystyle A=4\pi r^{2}\,}$ حيث: r هي نصف قطر الكرة.
• مساحة الشكل البيضاوي (أو الأهليجي): باي(${\displaystyle {\pi }}$) × نق المحور الأكبر × نق المحور الأصغر
• يمكن قياس مساحة الأشكال المعقدة والمساحات المحصورة بين الدوال باستخدام علم التفاضل والتكامل
• مساحة المربع = طول الضلع تربيع (ل²) أو A = L²

وحدات قياس المساحة

• سنتيمتر مربع اختصاره: سم²
• المتر مربع اختصاره: م² ، وهي وحدة مشتقة من المتر (وحدة قياس دولية)
• هكتار يساوي 10000 متر مربع
• كيلومتر مربع اختصاره: كم² يساوي 1000000 (مليون) متر مربع
• قدم مربع ويساوي 0.09290304 متر مربع
• ياردة مربعة وتساوي 9 أقدام مربعة أي 0.83612736 متر مربع
• ميل مربع ويساوي 2.5899881103 كيلومتر مربع
• الفدان ويساوي 4200.83 متر مربع، وينقسم إلى 24 قيراط وكل قيراط ينقسم إلى 24 سهم حيث مساحة القيراط 175.09 متر مربع ومساحة السهم 7.29 متر مربع.

والفدان أكبر قليلا من الإيكر الأنجلو أمريكي.

• الإيكر (Acre) يساوي 4046.8564224 متر مربع.
• قصبة (وحدة تستخدم في البلاد العربية) تعادل 30,25 ياردة مربعة.

مساحة بعض الأشكال الهندسية

يعطي هذا الجدول معادلات المساحة لبعض الأشكال في الهندسة المستوية:

الشكل	صفـاته	المساحة ${\displaystyle A}$
المربع	طول الضلع ${\displaystyle a}$	${\displaystyle A=a^{2}}$
المستطيل	الطول والعرض ${\displaystyle a,\,b}$	${\displaystyle A=a\cdot b}$
المثلث (انظر أيضا: مساحة المثلث)	القاعدة ${\displaystyle b}$ ، الارتفاع ${\displaystyle h}$ ، عمودي على${\displaystyle b}$	${\displaystyle A={\frac {b\cdot h}{2}}}$
شبه منحرف	الضلعان المتوازيان ${\displaystyle a,\,c}$ ، الارتفاع ${\displaystyle h}$، عمودي على${\displaystyle a}$ و${\displaystyle c}$	${\displaystyle A={\frac {a+c}{2}}\cdot h}$
المعين	المحورين ${\displaystyle d_{1}}$ و${\displaystyle d_{2}}$	${\displaystyle A={\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{2}}}$
متوازي الأضلاع	طول الضلع ${\displaystyle a}$ ، الارتفاع ${\displaystyle h_{a}}$ ، عمودي على ${\displaystyle a}$	${\displaystyle A=a\cdot h_{a}}$
دائرة	نصف القطر ${\displaystyle r}$	${\displaystyle A=\pi r^{2}}$
قطع ناقص	المحور الطويل ${\displaystyle 2a}$ والمحور القصير ${\displaystyle 2b}$	${\displaystyle A=\pi ab}$
مسدس منتظم	طول الضلع ${\displaystyle a}$	${\displaystyle A={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}}$

من أجل تعيين مساحة متعدد الأضلاع فيمكن تقسيمه إلى مثلثات، ثم جمعها بعد حساب مساحاتها. وإذا كانت الإحداثيات ${\displaystyle (x_{i},y_{i}),i=1\dots n}$ لعدد ${\displaystyle n}$ من الأركان لمتعدد الأضلاع معروفة، فيمكن حساب المساحة بواسطة معادلة جاوس لشبه المنحرف:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})}$

حيث:

${\displaystyle x_{n+j}=x_{j}}$

و ${\displaystyle y_{n+j}=y_{j}}$

الأشكال أخرى يمكن تقريبها لمضلع متعدد الأضلاع وتكملة حسابها بالتقريب.

حساب مساحة اسطح بعض الأجسام

هرم رباعي السطوح

مخروط

الشكل	صفاتـه	مساحة السطح ${\displaystyle A}$
مكعب	طول الضلع ${\displaystyle a}$	${\displaystyle A=6a^{2}}$
متوازي المستطيلات	الطول، والعرض، والارتفاع ${\displaystyle a,\,b,\,c}$	${\displaystyle A=2(ab+ac+bc)}$
رباعي السطوح	طول الضلع ${\displaystyle a}$	${\displaystyle A={\sqrt {3}}\,a^{2}}$
الكرة (انظر أيضا: مساحة سطح الكرة)	نصف القطر ${\displaystyle r}$	${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$
أسطوانة	نصف قطر القاعدة ${\displaystyle r}$ ، الارتفاع ${\displaystyle h}$	${\displaystyle A=2\pi r(r+h)}$
مخروط	نصف قطر القاعدة ${\displaystyle r}$ ، الارتفاع ${\displaystyle h}$	${\displaystyle A=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})}$
طارة (رياضيات)	نصف قطر الطارة ${\displaystyle R}$, نصف قطر المقطع ${\displaystyle r}$	${\displaystyle A=4\pi ^{2}\cdot R\cdot r}$

حساب التكامل

تعيين المساحة تحت منحنى بين النقطتين a وb بالتقريب عن طريق تقسيمها إلى مستطيلات ضيقة. وهذه هي فكرة حساب التكامل.

يستعمل حساب التكامل بغرض تعيين المساحة تحت منحنى في منحنى بياني. وتنبع تلك الفكرة من امكانية تقسيم المساحة المحصورة بين المنحنى البياني والمحور الأفقي ${\displaystyle x}$ إلى مجموعة من المستطيلات الضيقة، وينبع معنى حساب التكامل من جعل عرض المستطيلات المختارة يقترب من الصفر (عندما تقترب dx من الصفر).

مقالات ذات صلة

• تكامل
• محيط (هندسة رياضية)
• حجم

مراجع

1. د.إبراهيم زيادى 1993 مبادئ علم المساحة، دار المعرفة الجامعية، الإسكندرية
2. د. محمد فريد يوسف، اساسيات المساحة الطبوغرافية، دار الراتب الجامعية
3. د. يوسف صيام، اصول المساحة، الأردن - عمان 1993

وصلات خارجية

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة هندسة رياضية