متجه وحدة

في الرياضيات يعرف متجه الوحدة (Unit vector)‏ في الفضاء الشعاعي المنظم على أنه متجه (أحياناً متجه بعدي) له طول 1 (وحدة طولية).^[1][2] يرمز إلى متجه الوحدة عادة باستخدام حرف بالحالة الصغيرة مع إشارة الزاوية (رمز رياضي) فوقه مثل القبعة. مثال: ${\displaystyle {\hat {\imath }}}$. لأي متجه في الفراغ له متجه واحدة يوازيه وله نفس جهة، بدايته(المبدأ)و طوله يساوي وحدة طول واحدة.

الجداء الداخلي لمتجهي وحدة في الفضاء الإقليدي هو بشكل بسيط جيب تمام الزاوية الحاصلة بينهما. نستنتج هذا باستبدال قيم المتجهات بـ 1 في علاقة الجداء الداخلي الاتجاهي. ويعرف أيضا بأنه متجه له نفس اتجاه المتجه الاصلي وطوله يساوي الوحدة.

نظام الإحداثيات الديكارتية

في نظام الإحداثيات الديكارتية الثلاثي الأبعاد، يشار إلى متجه الوحدة على المحاور الثلاثة X, Y, Z باسم النواظم. وتعطى كما يلي:

${\displaystyle \mathbf {\hat {\boldsymbol {\imath }}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\jmath }}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {\boldsymbol {k}}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

في الإحداثيات الإسطوانية

متجهات الوحدة المخصصة للإحداثيات الإسطوانية هي: ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {s}}}}$ وهي المسافة من محور التناظر، ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$ وهي الزاوية مقاسة بعكس عقارب الساعة من محور x الموجب، و${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {z}}}}$.

يتم التحويل بين أسس الإحداثيات الإسطوانية المذكورة آنفاً وأسس الإحداثيات الديكارتية ${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}}$ كما يلي:

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {s}}}}$ = ${\displaystyle \cos \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}+\sin \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$ = ${\displaystyle -\sin \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}+\cos \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {z}}}={\boldsymbol {\hat {z}}}.}$

الإحداثيات الكروية

متجهات الوحدة في نظام الإحداثيات الكروية هي ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}}}$ المسافة القطرية من مركز الكرة، ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$ الزاوية في المستوي x-y بعكس عقارب الساعة من المحور x، و ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$ الزاوية من محور z الموجب. العلاقة بين هذه المتجهات مع الإحداثيات الديكارتية هي كالتالي:

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}}=\sin \theta \cos \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}+\sin \theta \sin \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}+\cos \theta {\boldsymbol {\hat {z}}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}+\cos \theta \sin \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}-\sin \theta {\boldsymbol {\hat {z}}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\phi }}}=-\sin \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}+\cos \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}}$

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة الفيزياء