معادلة جبرية

في الرياضيات، المعادلة الجبرية (Algebraic equation)‏ أو معادلة متعددة الحدود (Polynomial equation)‏ أو المعادلة الحدودية هي مساواة بين مقدارين جبريين يحوي أحدهما أو كلاهما متغيرا أو أكثر حيث القيمة العددية للمقدار الأول لا تساوي القيمة العددية للمقدار الثاني إلا مع قيم خاصة للمتغيرات.^[1][2][3] على سبيل المثال، معادلة حدودية أحادية المتغير، هي معادلة تأخذ الشكل التالي:

${\displaystyle \qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0}$

حيث ${\displaystyle {\mathcal {}}a_{i}}$ هن معاملات المعادلة. الهدف هو إيجاد جميع قيم المجهول ${\displaystyle {\mathcal {}}x}$.

يقال عن متعددة للحدود أنها من الدرجة الأولى إذا كانت أعلى قوة ل ${\displaystyle {\mathcal {}}x}$ تظهر في المعادلة هي واحد، وأنها من الدرجة الثانية إذا كانت أعلى قوة ل ${\displaystyle {\mathcal {}}x}$ هي اثنين وهكذا دواليك. إذن، يقال عن متعددة للحدود أنها من الدرجة ${\displaystyle {\mathcal {}}n}$ إذا كانت أعلى قوة ل ${\displaystyle {\mathcal {}}x}$ هي ${\displaystyle {\mathcal {}}n}$. تنص المبرهنة الأساسية في الجبر على أن لكل معادلة حدودية من الدرجة ${\displaystyle {\mathcal {}}n}$ يوجد عدد ${\displaystyle {\mathcal {}}n}$ من الحلول (ذلك إذا احتُسبت الحلول المكررة أي التي يجب أن تعد مرتين). أضف إلى ذلك أن لكل معادلة حدودية ذات معاملات تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية حلولٌ مركبة مترافقة مع بعضها البعض مثنى مثنى. أي أنه يكون دائما هناك حل في شكل ${\displaystyle {\mathcal {}}a+ib}$ وحل آخر في شكل ${\displaystyle {\mathcal {}}a-ib}$. أما إذا كانت المعاملات عقدية فإن ذلك لا يبقى صحيحا.

مثال

${\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{5}}={\frac {x^{3}}{7}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {2}{9}}}$

المبرهنة الأساسية في الجبر

إذا اعتبرنا المعادلة التالية:
${\displaystyle {\mathcal {}}x^{2}+2x+1=0}$
فإن الحل هو ${\displaystyle {\mathcal {}}(-1)}$ ولكن يتم اعتبار هذا الحل مكررا مرتين لأننا يمكن أن نكتب المعادلة بالشكل التالي:
${\displaystyle {\mathcal {}}x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}=(x+1)(x+1)=0}$
و لذلك نرى أنه لتكون المعادلة صحيحة يجب أن يكون القوس الأول يساوي صفرا أو الثاني يساوي صفرا وفي كل مرة يعينا ذلك حلا أي أن الحل ${\displaystyle {\mathcal {}}(-1)}$ مكرر مرتين. كذلك إذا اعتبرنا
${\displaystyle {\mathcal {}}(x-1)^{n}=0}$
فإن الحل هو ${\displaystyle {\mathcal {}}1}$ ولكنه مكرر ${\displaystyle {\mathcal {}}n}$ مرة إلخ.... بهذه الطريقة تتم حساب عدد الحلول. وعلى أساس ذلك يكون كما هو مذكور أعلاه لكل معادلة حدودية من الدرجة ${\displaystyle {\mathcal {}}n}$ عدد ${\displaystyle {\mathcal {}}n}$ من الحلول

طرق حل معادلات كثيرة الحدود

المعادلة من الدرجة الأولى

حل المعادلة: ${\displaystyle ax+b\,=0}$ هو ${\displaystyle x={\frac {-b}{a}}}$ حيث ${\displaystyle a\neq 0\,}$

ونستطيع حل معادلات الدرجة الأولى بكل سهولة فمثلا: 2x+5=10

لحلها نقوم أولا بالتخلص من الحد الثابت وذلك بإضافته معكوسه الجمعي إلى الطرفين، فيصبح

2x+5-5=10-5 أي 2x=5

بعدها نضرب الطرفين في المعكوس الضربي لمعامل x (أو ببساطة قسمة كلا الطرفين على العدد الموجود أمام x وهو (2)) وبهذا نحصل على x=2.5

المعادلة من الدرجة الثانية

لحل المعادلة: ${\displaystyle {\mathcal {}}ax^{2}+bx+c\,=0}$, نحسب المميز ${\displaystyle {\mathcal {}}\Delta }$ المعرف ب: ${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\,}$, ويكون للمعادلة حلان هما:

• ${\displaystyle x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}$
• ${\displaystyle x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}$.

المعادلة من الدرجة الثالثة

القانون العام للجذور

تعطى الصيغة العامة لجذور معادلة الدرجة الثالثة ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,}$ بدلالة معاملاتها ${\displaystyle a,b,c,d\,}$ كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=&-{\frac {b}{3a}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\x_{2}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\x_{3}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\end{aligned}}}$

طريقة كاردان

طريقة كاردان هي طريقة تمكن من حل جميع المعادلات من الدرجة الثالثة.

هذه الطريقة تكمن من استعمال صيغ كاردان المعطاة بدلالة ${\displaystyle {\mathcal {}}p}$ و${\displaystyle {\mathcal {}}q}$ حلول المعادلة: ${\displaystyle {\mathcal {}}x^{3}+px+q=0~}$. وهي تمكن من البرهنة على أن المعادلات من الدرجة 3 يمكن حلها جبريا.

صيغ كاردان

بالنسبة للمعادلة: ${\displaystyle {\mathcal {}}x^{3}+px+q=0\,}$ نحسب ${\displaystyle \Delta =4p^{3}+27q^{2}\,}$, ثم ندرس إشارته.

Δ موجب

نضع

• ${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{\frac {-27q+3{\sqrt {3}}{\sqrt {\Delta }}}{2}}}}$
• ${\displaystyle v={\sqrt[{3}]{\frac {-27q-3{\sqrt {3}}{\sqrt {\Delta }}}{2}}}}$

الحل الوحيد الحقيقي هو ${\displaystyle x_{1}={\frac {1}{3}}(u+v)}$.

و حلان عقديان مترافقان:

• ${\displaystyle x_{2}={\frac {1}{3}}(ju+{\bar {j}}v)}$
• ${\displaystyle x_{3}={\frac {1}{3}}({\bar {j}}u+jv)}$

حيث ${\displaystyle j=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}=e^{i{\frac {2\pi }{3}}}}$

Δ سالب

يوجد عدد عقدي u الذي هو جذر مكعب ل ${\displaystyle {\frac {-27q+3i{\sqrt {3}}{\sqrt {-\Delta }}}{2}}}$.

المعادلة تقبل ثلاث حلول حقيقية:

• ${\displaystyle x_{1}={\frac {1}{3}}(u+{\bar {u}})}$
• ${\displaystyle x_{2}={\frac {1}{3}}(ju+{\bar {j}}{\bar {u}})}$
• ${\displaystyle x_{3}={\frac {1}{3}}(j^{2}u+{\bar {j^{2}}}{\bar {u}})}$

تفسير الطريقة

الصيغة المختصرة

نعتبر الصيغة العامة للمعادلة: ${\displaystyle \qquad a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}$,

نضع:
${\displaystyle x=z-{\frac {a_{2}}{3a_{3}}}}$
لنحصل على الصيغة:
${\displaystyle \qquad z^{3}+pz+q=0}$
نضع الآن:
${\displaystyle \qquad z=u+v}$ الآن نحصل على مجهولين بدل مجهول واحد، لكن نضع شرطا يمكن من التبسيط:
${\displaystyle \qquad (u+v)^{3}+p(u+v)+q=0}$ تتحول هذه المعادلة إلى الشكل:
${\displaystyle \qquad u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0}$ شرط التبسيط يكون إذن:
${\displaystyle \qquad 3uv+p=0}$ الذي يعطي من جهة:
${\displaystyle \qquad u^{3}+v^{3}+q=0}$ و من جهة أخرى:
${\displaystyle \qquad uv=-{\frac {p}{3}}}$ و عند رفع العددين إلى القوة 3, نحصل على:
${\displaystyle \qquad u^{3}v^{3}=-{\frac {p^{3}}{27}}}$ و نحصل أخيرا على نظمة معادلتين لمجهولين ${\displaystyle {\mathcal {}}u^{3}}$ و${\displaystyle {\mathcal {}}v^{3}}$ الآتية :
${\displaystyle \qquad u^{3}+v^{3}=-q}$
${\displaystyle \qquad u^{3}v^{3}=-{\frac {p^{3}}{27}}}$
${\displaystyle {\mathcal {}}u^{3}}$ و${\displaystyle {\mathcal {}}v^{3}}$ هما إذن عددين نعرف جمعهما وجذاءهما. هذين العددين هما جذرا المعادلة من الدرجة الثانية:
${\displaystyle X^{2}+qX-{\frac {p^{3}}{27}}=0}$

المعادلة من الدرجة الرابعة

طريقة فيراري

نعتبر الصيغة العامة للمعادلة من الدرجة الرابعة: ${\displaystyle \qquad a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}$

نقسم على ${\displaystyle a_{4}\,}$ ونضع

${\displaystyle \qquad x=z-{\frac {a_{3}}{4a_{4}}}}$

لنصل إلى معادلة على صيغة :

${\displaystyle \qquad z^{4}+pz^{2}+qz+r=0}$

معادلة تكتب:

${\displaystyle \qquad z^{4}+r=-pz^{2}-qz}$

نضيف

${\displaystyle \qquad 2z^{2}{\sqrt {r}}}$

لطرفي المتساوية. فنحصل على:

${\displaystyle \qquad z^{4}+2z^{2}{\sqrt {r}}+r=2z^{2}{\sqrt {r}}-pz^{2}-qz}$

نلاحظ أن الطرف الأول يكتب على صيغة مربع:

${\displaystyle \qquad (z^{2}+{\sqrt {r}})^{2}=2z^{2}{\sqrt {r}}-pz^{2}-qz}$

من هاته النتيجة الأخيرة، نقوم بالنشر :

${\displaystyle \qquad (z^{2}+{\sqrt {r}}+y)^{2}=(z^{2}+{\sqrt {r}})^{2}+2y(z^{2}+{\sqrt {r}})+y^{2}}$

${\displaystyle \qquad (z^{2}+{\sqrt {r}}+y)^{2}=2z^{2}{\sqrt {r}}-pz^{2}-qz+2y(z^{2}+{\sqrt {r}})+y^{2}}$

${\displaystyle \qquad (z^{2}+{\sqrt {r}}+y)^{2}=(2{\sqrt {r}}-p+2y)z^{2}-qz+2y{\sqrt {r}}+y^{2}}$ (*)

الهدف هو تحديد y بحيث يكتب الطرف الثاني أيضا على صيغة مربع.

الطرف الثاني معادلة من الدرجة الثانية ${\displaystyle {\mathcal {}}z}$. يكتب على شكل مربع. إذا كان المميز منعدما يعني:

${\displaystyle \qquad q^{2}-4(2{\sqrt {r}}-p+2y)(2y{\sqrt {r}}+y^{2})=0}$

الشيء الذي يعطي، عن طريق النشر والتجميع معادلة من الدرجة الثالثة ${\displaystyle {\mathcal {}}y}$ الآتية :

${\displaystyle \qquad 8y^{3}+4(6{\sqrt {r}}-p)y^{2}+8(2r-p{\sqrt {r}})y-q^{2}=0}$

نستطيع حل هذه المعادلة باستعمال الطريقة الخاصة بمعادلات الدرجة الثالثة لإيجاد ${\displaystyle {\mathcal {}}y_{0}}$.

المعادلة من الدرجة الخامسة فما فوق

انظر إلى دالة خماسية وإلى مبرهنة آبل

طرق رقمية لحل معادلات كثيرة الحدود

• طريقة نيوتن في حل المعادلات

انظر أيضاً

• كثيرة الحدود
• دالة كثيرة الحدود
• نظرية غالوا
• دالة جبرية
• عدد جبري
• هندسة جبرية

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة جبر