نظرية غالوا

إيفاريست غالوا(1811-1832)

في الرياضيات، وبالتحديد في الجبر التجريدي، نظرية غالوا (Galois theory)‏، المسماة هكذا نسبة لعالم الرياضيات الفرنسي إيفاريست غالوا، تعطى صلة بين نظرية الحقول من جهة، ونظرية الزمر من جهة ثانية.^[1][2][3] باستعمال نظرية غالوا، يمكن تبسيط مجموعة من المعضلات من نظرية الحقول إلى نظرية الزمر، التي تعتبر أكثر بساطة وأكثر فهما.

التطبيق على المعضلات الاعتيادية

ميلاد نظرية غالوا استمد أصلا من السؤال التالي، والذي تجيب عليه مبرهنة أبيل-روفيني.

لماذا ليس هناك صيغة لجذور المعادلات الحدودية من الدرجة الخامسة فما فوق، بدلالة معاملات هاته الحدوديات، باستعمال العمليات الجبرية الاعتيادية (الجمع والطرح والضرب والقسمة) وبتطبيق الجذور (أي الجذر المربع والجذر المكعب وما إلى ذلك).

ليس فقط نظرية غالوا تعطي جوابا جميلا لهذا السؤال، بل تفسر أيضا لماذا يمكن حلحلة المعادلات من الدرجة الرابعة فما أدنى بالطريقة المذكورة أعلاه، ولماذا هذه الحلول تأخذ الشكل الذي تأخذه. بالإضافة إلى ذلك، تعطي نظرية غالوا الوسائل الواضحة اللائي يمكنن من القول أن معادلة ما بشكل معين من درجة عالية يمكن أن تحلحل بالطريقة الموصوفة أعلاه.

كما تعطي نظرية غالوا نظرة واضحة حول المسائل المتعلقة معضلات إنشاءات الفرجار والمسطرة. إنها تحدد بشكل أنيق النسب بين أطوال القطع اللائي يمكن رسمهن باستعمال هذه الطريقة. وبذلك، يمكن الإجابة بشكل سهل عن بعض المعضلات الكلاسيكية في الهندسة الرياضية كما يلي:

أي مضلع منتظم هو مضلع قابل للإنشاء ؟

لماذا يستحيل تثليث الزاوية (قسمة الزاوية إلى ثلاث زوايا متساوية)، باستعمال الفرجار والمسطرة ؟

التاريخ

انظر أيضا : جبر تجريدي#بداية نظرية الزمر.

تنبثق نظرية غالوا من دراسة الدوال التماثلية.

مثل المقال الذي كتبه عالم الرياضيات الفرنسي الإيطالي جوزيف لويس لاغرانج عام 1770، والذي يحمل عنوان تخمينات حول الحلحلة الجبرية للمعادلات خطوة إضافية.

مقاربة الى نظرية غالوا من خلال زمر التبديلات

المثال الأول : المعادلات التربيعية

لتكن المعادلة التربيعية التالية:

${\displaystyle x^{2}-4x+1=0.}$

باستعمال صيغة حلحلة المعادلات التربيعية، يحصل على ما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=2+{\sqrt {3}},\\B&=2-{\sqrt {3}}.\end{aligned}}}$

الجذران A و B يحققان المعادلتين التاليتين

${\displaystyle A+B=4}$

و

${\displaystyle AB=1}$

انظر إلى متعددة حدود تماثلية وإلى زمرة دائرية وإلى تبديل دائري وإلى تطبيقات زمر محافظات على الشكل

النهج المعاصر من خلال نظرية الحقول

معضلة غالوا العكسية

مراجع

وصلات خارجية

• http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/galois.html
• http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1422
• http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات