ارتفاع (مثلث)

AN ارتفاع و BC قاعدة الارتفاع و النقطة N قدم الارتفاع

في الهندسة الرياضية، الارتفاع في المثلث هو الخط العمودي النازل من إحدى زوايا المثلث إلى الضلع المقابل لهذه الزاوية أو امتداد هذا الضلع.^[1][2][3]

و يعرف هذا الضلع المقابل لهذه الزاوية بـقاعدة الارتفاع، بينما تسمى نقطة التقاطع بين الارتفاع و قاعدته بـقدم الارتفاع.

حالات الارتفاع

للارتفاع في المثلث ثلاث حالات إما أن يسقط داخل المثلث أو يكون ضلعاً فيه أو أن يسقط خارجه على امتداد قاعدة الارتفاع.

${\displaystyle h_{1},h_{2},h_{3}}$ ارتفاعات في المثلثات ${\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1},A_{2}B_{2}C_{2},A_{3}B_{3}C_{3}}$ على الترتيب

خصائص الارتفاع

AD ارتفاع في مثلث متطابق الضلعيين، DC=DB

${\displaystyle AN=b.\sin {C}=c.\sin {B}}$

• تعطى مساحة المثلث بالقانون:

المساحة = ½ الارتفاع × قاعدة الارتفاع.

• إذا كان الارتفاع ضلعاً في مثلث ما فإن هذا المثلث قائم الزاوية في قدم الارتفاع.
• في أي مثلث ثلاثة ارتفاعات تتقاطع في نقطة واحدة تعرف بـملتقى الارتفاعات ( تستخدم مبرهنة سيفا لاثبات ما سبق).
• الارتفاع الساقط على قاعدة المثلث المتساوي الساقين ينصفها عند قدم الارتفاع (من تطابق المثلثين ADC و ADB ).
• في أي مثلث ABC، زواياه A,B,C و أطوال أضلاعه a,b,c يعطى طول الارتفاع الساقط على BC بالقانون:

${\displaystyle h=b.\sin {C}=c.\sin {B}}$

حساب طول الارتفاع

في المثلث القائم

الصيغة الأولى

إذا كان الارتفاع h يقسم الوتر في المثلث ABC القائم في C إلى p و g فإن طول الارتفاع يعطى بالقانون:

${\displaystyle h^{2}=pg}$

البرهان: إذا كان المثلث ABC قائم في C و CH ارتفاع قدمه H فإن المثلثان HBC و HCA متشابهان و من التشابه ينتج:

${\displaystyle {\frac {CH}{HB}}={\frac {HA}{CH}}}$

h ارتفاع في مثلث قائم الزاوية

${\displaystyle \Rightarrow CH^{2}=HB.HA}$

و هو المطلوب.

الصيغة الثانية

إذا كانت a,b,c أطوال أضلاع المثلث ABC القائم في C فإن الارتفاع الساقط على AB يعطى بالقانون:

${\displaystyle h={\frac {ab}{c}}}$

البرهان:

إذا كان المثلث ABC قائم في C و CH ارتفاع قدمه H فإن:

AC ارتفاع ${\displaystyle \Leftarrow }$ مساحة المثلث = ½ BC × AC

كذلك CH ارتفاع ${\displaystyle \Leftarrow }$ مساحة المثلث = ½ AB × CH

${\displaystyle \Rightarrow AC.BC=AB.CH\Rightarrow CH={\frac {AC.BC}{AB}}}$

و هو المطلوب.

في المثلث المتساوي الأضلاع

إذا كان a طول ضلع المثلث المتطابق الأضلاع فإن طول الارتفاع فيه يعطى بالقانون:

${\displaystyle h={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}}$

البرهان:

ِِإذا كان ABC مثلث متطابق الأضلاع طول ضلعه a و AH ارتفاع فيه قدمه H فإن:

H منتصف BC ( من خواص الارتفاع السابق ذكرها ).

بتطبيق مبرهنة فيثاغورس على AHC

${\displaystyle a^{2}=AH^{2}+({\frac {a}{2}})^{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow AH^{2}={\frac {3{a}^{2}}{4}}}$

${\displaystyle \Rightarrow AH={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}}$

و هو المطلوب.

ملتقى الارتفاعات

ملتقى الارتفاعات

حالات ملتقى الارتفاعات

ملتقى الارتفاعات (orthocentre), أو "المركز القائم" لمثلث هو نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث.

تتقاطع الارتفاعات في مثلث في نقطة واحدة ولذلك يكفي لإيجاد نقطة ملتقى الارتفاعت رسم ارتفاعين فقط في أي مثلث.

كما هو الحال في الارتفاعات فإن لملتقى الارتفاعات ثلاث حالات إما أن تكون داخل المثلث أو تكون رأساً في المثلث أو تكون خارجة عن المثلث.

مقطع قائم في هرم ثلاثي يظهر بأن نقطة التقاء ارتفاعات المثلث abc المشكل للمقطع تمر بالعمود ED من رأس الهرم المقطوع على الوجه المقابل له.

في الهندسة الفراغية، عندما يمثل المثلث مقطع قائم لهرم ثلاثي، فإن ملتقى ارتفاعات هذا المثلث يقع على المستقيم العمود من رأس الهرم المقطوع على الوجه المقابل له.

اقرأ أيضاً

• مثلث
• متوسط المثلث
• مبرهنة فيثاغورس
• نقاط هامة للمثلث
• قوانين مساحة المثلث

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة هندسة رياضية