مثلث متساوي الأضلاع

مثلث متساوي الأضلاع.

في الهندسة الرياضية، المثلث المتساوي الأضلاع (Equilateral triangle)‏ هو مثلث جميع أضلاعه متساوية الطول.^[1][2][3] وفي الهندسة الإقليدية تكون جميع زوايا المثلث المتساوي الأضلاع متساوية القياس وقياس كل منهما °60.

المثلث المتساوي الأضلاع هو مضلع منتظم له ثلاثة أضلاع وبالتالي من الممكن تسميته مثلث منتظم.

خصائص أساسية

• كل المثلثات المتساوية الأضلاع متشابهة.
• الارتفاع في المثلث المتساوي الأضلاع ينصف الضلع المتعلق به.
• المتوسط في المثلث المتساوي الأضلاع عمودي على الضلع الذي ينصفه.
• يحقق المثلث المتساوي الأضلاع مبرهنة فيفياني.
• AD قطعة مستقيمة في المثلث المتساوي الأضلاع AD :ABC ارتفاع ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ AD متوسط ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ AD منصف للزاوية A.
• P نقطة في المثلث المتساوي الأضلاع P :ABC مركز قائم ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ P نقطة وسطى ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ P مركز الدائرة الداخلية المماسة للمثلث ABC.

طول الارتفاع

إذا كان a طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع، فإن طول الارتفاع فيه يعطى بالقانون:

${\displaystyle h={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}}$

البرهان:

إذا كان ABC مثلثاً متساوي الأضلاع طول ضلعه a و AH ارتفاع فيه قدمه H فإن:

H منتصف BC ( من خواص المثلث المتساوي الأضلاع ABC ).

بتطبيق مبرهنة فيثاغورس على AHC

${\displaystyle a^{2}=AH^{2}+({\frac {a}{2}})^{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow AH^{2}={\frac {3{a}^{2}}{4}}}$

${\displaystyle \Rightarrow AH={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}}$

وهو المطلوب إثباته.

المساحة

إذا كان a طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع، فإن مساحته تعطى بالقانون:

${\displaystyle Area={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}}$

البرهان:

مساحة المثلث = ½ الارتفاع × القاعدة

مساحة المثلث = ½ ${\displaystyle {\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}}$ × ${\displaystyle a\,}$

${\displaystyle \Leftarrow }$ مساحة المثلث المتساوي الأضلاع = ${\displaystyle {\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}}$

وهو المطلوب إثباته.

مبرهنات مهمة

• تنص مبرهنة مورلي على أنه في أي مثلث، النقط الثلاث حيث يلتقي مثلِّثات الزوايا المتحادية تُكون مثلثا متساوي الأضلاع.
• مبرهنة نابليون
• مبرهنة فيفياني
• مبرهنة بومبي
• تنص صيغة لمتباينة المحيط الثابت تخص المثلثات، أن المثلث ذا المساحة القصوى عندما يكون المحيط ثابتا هو المثلث المتساوي الأضلاع.

خصائص أخرى

مثلث متساوي الأضلاع، أطوال أضلاعه متساوية (a=b=c)، وقياسات زواياه متساوية (${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =60^{\circ }}$) وارتفاعاته متساوية (h_a=h_b=h_c).

بفرض طول الضلع a، والارتفاع h، فإن:

• طول نصف قطر الدائرة المحيطة هو: ${\displaystyle R={\frac {a}{\sqrt {3}}}={\frac {2h}{3}}}$
• طول نصف قطر الدائرة الداخلية هو: ${\displaystyle r={\frac {a}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {R}{2}}={\frac {h}{3}}}$
• حسب مبرهنة أويلر، فإن الدائرة المحيطة والدائرة المحاطة بمثلث متساوي الساقين لهما مركز واحد.
• المثلث ذو المساحة القصوى المحاط بدائرة محددة هو مثلث متساوي الأضلاع، والمثلث ذو المساحة الصغرى المحيط بدائرة معلومة هو مثلث متساوي الأضلاع.
• نسبة مساحة الدائرة المحاطة بمثلث متساوي الأضلاع إلى مساحته هي: ${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$، وهذه النسبة أكبر ما تكون لمثلث متساوي الأضلاع من غيره.
• نسبة مساحة مثلث متساوي الأضلاع إلى مربع محيطه هي ${\displaystyle {\frac {1}{12{\sqrt {3}}}}}$، وهذه النسبة أكبر ما تكون لمثلث متساوي الأضلاع من غيره.

الإنشاء الهندسي

مثلث متساوي الأضلاع ينشئ بسهولة بواسطة الفرجار والمسطرة.

انظر أيضاً

• مثلث
• مبرهنة فيفياني
• مبرهنة فيثاغورس
• مثلثات قائمة خاصة
• قوانين مساحة المثلث

مراجع

وصلات خارجية

إيريك ويستاين، إنشاء المثلث المتساوي الأضلاع، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة هندسة رياضية