تركيبات

التركيبات أو التوافقيات (Combinatorics)‏ هي أحد فروع الرياضيات التي تدرس البُنى المتقطعة المنتهية والقابلة للعد.^[1][2][3] تتضمن التركيبات عدّ العناصر في المجموعات، مع تحديد ما إذا كانت تتوافق مع المعايير المطلوبة، وكذلك دراسة بناء وتحليل الكائنات التي تحقق هذه المعايير (كما في التصميم التوافقي ونظرية الماترويد)، يهتم هذا العلم أيضاً بإيجاد الكائنات الأكبر أو الأصغر أو الأفضل (فيما يعرف بالتوافقيات الحجمية والتوافقيات التحسينية). ودراسة الهيكل التركيبي الظاهر في محتوى جبري، أو تطبيق تقنيات الجبر لحل مسائل التركيبات (التركيبات الجبرية).

التاريخ

An example of change ringing (with six bells), one of the earliest nontrivial results in Graph Theory

ظهرت مفاهيم التوافقيات الابتدائية منذ القدم. في القرن السادس قبل الميلاد صرح ساسروتا سامهيتا طبيب هندي قديم، أنه بالإمكان صناعة 63 مذاقا مختلفا انطلاقا من ست توابل مختلفة.

انظر أعداد شرودر.

مقاربات التوافقيات وفروعها

التوافقيات التعدادية

خمسة أشجار ثنائية على ثلاثة رؤوس, مثال على أعداد كاتالان.

انظر إلى عدد فيبوناتشي.

نظرية التجزآت

في نظرية الأعداد وفي التوافقيات، تجزئة عدد طبيعي هي طريقة لكتابة هذا العدد على شكل مجموع أعداد طبيعية. مجموعان يختلفان فقط في ترتيب حدودهما، يعتبران نفس المجموع. على سبيل المثال، يكتب 4 على شكل خمسة مجاميع مختلفة وهي:

4,     3 + 1,     2 + 2,     2 + 1 + 1,     1 + 1 + 1 + 1.

نظرية المخططات

نظرية المخططات هي نظرية في الرياضيات وعلوم الحاسب، تدرس خواص المخططات حيث يتم تمثيل مجموعة كائنات تدعى رؤوسا، ترتبط ببعضها بأضلاع و تدعى أحيانا أقواسا، يمكن أن تكون موجهة أي مزودة باتجاه (تستخدم الاسهم بدل الأضلاع) أو بدون اتجاه (أضلاع فقط). التمثيل لهذا المخطط يكون على الورق بمجموعة نقاط تمثل الرؤوس متصلة بخطوط هي حروف (أضلاع أو أسهم) المخطط.

تُمكن الاستعانة بالمخططات من حلحلة الكثير من المشاكل العملية، فمثلا بنية موسوعة ويكيبيديا يمكن تمثيلها بمخطط رؤوسه هي أسماء المقالات ونقوم برسم خط موجه بين مقالتين من أ إلى ب إذا كانت المقالة أ تحوي رابطا إلى المقالة ب. تطبيقات هذه النظرية واسعة جدا ولحل مشاكلها يستخدم الحاسوب بشكل واسع. لذلك تهتم علوم الحاسوب بتصميم خوارزميات لنظرية المخططات حيث يمكن معالجة أي مخطط لتمييز خصائصه واستخلاص المعلومات منه.

مخطط بيترسن.

تعتبر المخططات كائنات أساسية في دراسة التوافقيات .

الهندسة المنتهية

الهندسة المنتهية هي أي نظام هندسي رياضي يحوي عددا منتهيا (محددا) من النقاط. على سبيل المثال، الهندسة الإقليدية هي هندسة غير منتهية، حيث أن المستقيم الإقليدي يحتوي عددا لا نهائيا من النقاط. من الممكن للهندسة المنتهية أن تمتلك عددا منتهيا من الأبعاد.

نظرية الترتيب

نظرية الترتيب هي فرع من الرياضيات يهتم بدراسة الأنواع المختلفة من العلاقات الثنائية التي تعطي انطباعا حسّياً عن فكرة ترتيبها موفرة بنية يمكن القول من خلالها متى يكون الشيء "أقل من" أو "يسبق" الآخر.

تدرس نظرية الترتيب مختلف أنواع العلاقات الثنائية بين العناصر الرياضية المختلفة التي ترمز ترتيب هذه العناصر.

مخطط هاس of the مجموعة المجموعات الجزئية of {x,y,z} ordered by inclusion.

التوافقيات الاحتمالية

سَير مع تجنب النقط اللائي سِير عليهن من قبل في شبكة من النقط على شكل مربع.

مبادئ العد الأساسية

مبدأ الضرب

إذا كان لدينا مجموعتان مختلفتان وعدد الإمكانيات للاختيار من المجموعة الأولى هو N وعدد الإمكانيات للاختيار من المجموعة الثانية هو M، فإن عدد الإمكانيات للاختيار من المجموعة الأولى و المجموعة الثانية هو ${\displaystyle M*N}$.

مثال: لدى منال 5 تنانير و 7 قمصان. في كل مرة تخرج فيها من البيت ترتدي قميصا وتنورة. كم إمكانية مختلفة توجد لمنال لاختيار قميص و تنورة؟. الإجابة: حسب قانون الضرب ${\displaystyle 5*7=35}$ إمكانية مختلفة.

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة خوارزميات
• موسوعة رياضيات متقطعة