حلقة (رياضيات)

في الجبر التجريدي، الحلقة (Ring)‏، ${\displaystyle R\!}$ والتي يرمز لها أحيانا ${\displaystyle \{R,+,\times \}}$ هي مجموعة من العناصر مزودة بعمليتين ثنائيتين هما الجمع ${\displaystyle +\!}$ والجداء ${\displaystyle \times }$⁽¹⁾ بحيث تحقق البديهيات التالية:

1. ${\displaystyle \{R,+\}\!}$ زمرة أبيلية حيث العنصر الحيادي ${\displaystyle e=0\!}$ والمتمم ${\displaystyle {\acute {a}}=-a}$
2. مغلقة بالنسبة للجداء: ${\displaystyle \forall a,b\in R:ab\in R}$
3. تجميعية بالنسبة للجداء: ${\displaystyle a(bc)=(ab)c\ \forall a,b,c\in R}$
4. قانونا التوزيع: ${\displaystyle a(b+c)=ab+ac\ \forall a,b,c\in R}$ و${\displaystyle (a+b)c=ac+bc\ \forall a,b,c\in R}$

تُدعى الحلقة بالتبديلية إن حققت الشرط الإضافي التالي:

5. تبديلية بالنسبة للجداء: ${\displaystyle ab=ba\ \forall a,b\in R}$

يجب أن ننتبه أن هاتين العمليتين رغم أنهما تشابهان الجمع والجداء المألوفين في مجموعات الأعداد إلا أنهما غير متماثلتين فهما جمع وجداء مجازي وليس الجمع والجداء المتعارف عليهما.

تعريف وتوضيح

المثال الأول: الأعداد الصحيحة

المثال الأكثر شيوعا حول الحلقات هو مجموعة الأعداد الصحيحة, والمتمثلة في الأعداد التالية :

${\displaystyle ...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}$

التاريخ

ريتشارد ديدكايند, واحد من مؤسسي نظرية الحلقات.

مقالات ذات صلة

هامش

1 لا يستعمل عادة رمز الجداء ${\displaystyle \times }$ ويستعاض عنه بالرمز ${\displaystyle \cdot }$ (مثلا ${\displaystyle a\cdot b}$) أو لا يستعمل أي رمز (مثلا ${\displaystyle ab\!}$)

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة جبر