زمرة أبيلية

في الجبر التجريدي، زمرة أبيلية (Abelian group)‏، وتسمى أيضا زمرة تبادلية، هي زمرة حيث نتيجة تطبيق عملية الزمرة على عنصرين لا يتعلق بالترتيب الذي جاءا به هذان العنصران أثناء تطبيق العملية.^[1][2][3] وبتعبير آخر، العملية المعرفة للزمرة هي عملية تبادلية. سميت هذه الزمر هكذا نسبة إلى نيلس هنريك أبيل.

بُنين على مفهوم الزمر الأبيلية، بنى جبرية أساسية من قبيل الحقول والحلقات والفضاءات الاتجاهية والأجبار. نظرية الزمر الأبيلية هي عموما أبسط من نظرية الزمر غير الأبيلية. إضف إلى ذلك أن الزمر الأبيلية المنتهية مفهومة ومرتبة بشكل كلي.

تعريف

زمرة أبيلية هي مجموعة مزودة بعملية "." التي تجمع بين عنصرين اثنين a و b لتكوين عنصر ثالث يرمز إليه ب a.b.

يطلق اسم الزمرة الأبيلية على كل زمرة تبادلية أي أنها زمرة (*, G) تحقق شرط التبديلية.

الانغلاق : لكل عنصرين ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$ من ${\displaystyle A}$، نتيجة العملية ${\displaystyle a\cdot b}$ هي أيضا في ${\displaystyle A}$.

التجميعية

العنصر المحايد

العنصر المقابل

التبادلية

مهما كان a و b في A، فإن a * b = b * a

حقائق

الرموز المستعملة

جدول الضرب

أمثلة

• كل زمرة دائرية G هي زمرة أبيلية، لإنه إذا كان x و y عنصرين من G فإن xy = a^maⁿ = a^{m + n} = a^{n + m} = aⁿa^m = yx.

ملاحظات تاريخية

سميت الزمر الأبيلية هكذا نسبة لعالم الرياضيات النرويجي نيلس هنريك أبيل من طرف كامي جوردان, لأن أبيل وجد أن كون الزمر الممثلة للمعادلة، تبديلية يعني أن جذور هذه المعادلة قابلة للحلحلة بالجذور.

خصائص

زمر أبيلية منتهية

تشكيلات داخلية

زمر أبيلية غير منتهية

الزمرة الأبيلية غير المنتهية الأكثر بساطة هي الزمرة الدائرية غير المنتهية Z. انظر إلى زمرة قابلة للقسمة.

مقالات ذات صلة

• الزمرة الأبيلية الابتدائية

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة جبر