دالة مسافة متجهة

في الرياضيات وبعضِ تطبيقاتها، دالة المسافة المتجهة أو دالة المسافة المؤشرة (Signed distance function)‏({{{1}}})‏ لمجموعةٍ في الفضاء المتري هي دالة تُحدد المسافة من نقطة معطاة مع إشارة تُحدّدُ اعتماداً على ما إذا كانت النقطة تقع ضمن هذه المجموعة أو لا.^[1] الدالة تُخرِجُ إشارةً موجبة إذا وقعت النقطة داخلها ثم تقل مع اقترابها لخارج المجموعة إلى أن تنعدم عند وقوعها عليها، وتكون سالبةً إذا وقعت خارجها.^[2] إلا أنَّ هذا التعريف قد يُعكَس أحياناً بناءً على صيغ البراهين الرياضية؛ أي يكون السالب داخلَ المجموعة والموجب خارجها.^[3]

قرص (بالرمادي) مع دالته المتجهة. مستوى ${\displaystyle xy}$ مُوضّح بالأزرق.

التعريف

إذا كانت ${\displaystyle \Omega }$ مجموعةً جزئيةً من الفضاء المتري، و${\displaystyle x}$ نقطةً ما في الفضاء، فإنَّ المسافة المتجهة ${\displaystyle f}$ تُعرَّفُ كالآتي:^[1]

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}d(x,\partial \Omega )&{\mbox{ if }}x\in \Omega \\-d(x,\partial \Omega )&{\mbox{ if }}x\in \Omega ^{c}\end{cases}}}$

حيث أنَّ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ترمز إلى حدود المجموعة الجزيئية من ${\displaystyle \Omega }$ لكل ${\displaystyle x\in X}$:

${\displaystyle d(x,\partial \Omega ):=\inf _{y\in \partial \Omega }d(x,y)}$

انظر أيضاً

• دالة مسافة.
• مسافة إقليدية.
• تواز (هندسة)
• مسافة شبشفية.

مراجع

وصلات خارجية

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة هندسة رياضية
• موسوعة رياضيات