في الرياضيات، في مجال الطوبولوجيا، يقال أن الفضاء الطوبولوجي عبارة عن فضاء بوابة إذا كانت كل مجموعة جزئية مفتوحة أو مغلقة.[1] وهذا المصطلح مشتق من الأداة التذكيرية التقديمية المرتبطة بالطوبولوجيا والتي تشير إلى أن "المجموعة الجزئية ليست مثل الباب: حيث يمكن فتحها وغلقها أو فتحها وغلقها في نفس الوقت أو عدم فتحها أو غلقها في نفس الوقت".
وإليكم بعض الحقائق البسيطة حول فضاءات البوابات:
- تحتوي بوابة فضاء هاوسدورف على الأقل على نقطة تجميع واحدة.
- في فضاء بوابة هاوسدورف، إذا لم تكن "x" نقطة تجميع، فإن "{x}" تكون مفتوحة.
لإثبات التأكيد الثاني، لنفترض أن X هي فضاء بوابة هاوسدورف، وأن x ≠ y هي نقاط مميزة. وحيث أن X عبارة عن هاوسدورف، فإنه توجد مجاورات مفتوحة هي U وV لـ x وy على التوالي، بحيث يكون U∩V=∅. لنفترض أن y هي نقطة تجميع. تكون قيمة U\{x}∪{y} مغلقة، حيث أنها إن كانت مفتوحة، فإننا يمكن أن نقول إن قيمة {y}=(U\{x}∪{y})∩V مفتوحة، مما يتعارض مع كون y نقطة تجميع. وبالتالي فإننا نستنتج أنه طالما أن U\{x}∪{y} قيمة مغلقة، تكون X\(U\{x}∪{y}) قيمة مفتوحة، وبالتالي تكون قيمة {x}=U∩[X\(U\{x}∪{y})] مفتوحة، مما يعني أن x ليست نقطة تجميع.
ملاحظات
- Kelley, ch.2, Exercise C, p. 76.
المراجع
- Kelley, John L. (1991). General Topology. Springer. .