قطع مخروطي

أنواع القطوع المخروطية:
1. قطع مكافئ
2. دائرة وقطع ناقص
3. قطع زائد

في الرياضيات وبالتحديد في الهندسة الوصفية، القطع المخروطي هو منحنى ناتج عن تقاطع مخروط ${\displaystyle K}$ بسطح لا يمر برأس ${\displaystyle K}$ وغير متماس له (التقاطع في هاتين الحالتين نقطة أو مستقيم).

دُرست القطع المخروطية منذ وقت طويل يعود إلى 200 قبل الميلاد عندما قام أبلونيوس البرغاوي بإجراء دراسة تبين خصائصها.

التعريف التحليلي

في التحليل الرياضي القطع المخروطي هو المحل الهندسي لنقطة تتحرك بحيث تكون العلاقةُ بينَ بعدها عن نقطةٍ ثابتةٍ وبعدها عن مستقيمٍ ثابتٍ نسبةً ثابتةً. تسمى هذه النسبة الاختلاف المركزي (Eccentricity)، كما تسمى النقطة الثابتة البؤرة (Focus)، أما المستقيم الثابت فيسمى الدليل (directrix).

${\displaystyle PS=e.PM}$

حيث:

- P هي نقطة (x,y) تقع على القطع.

- S البؤرة

- e معامل الاختلاف المركزي

- و m هي مسقط العمودي ل P على الدليل.

إذا كان الاختلاف المركزي مساويا للوحدة (عدد الواحد الصحيح) سُمِّيَ المنحنى قطعا مكافئا (Parabola)، وإذا كان الاختلاف المركزي أقل من الوحدة (الواحد الصحيح) سمي المنحنى قطعا ناقصا (Ellipse)، وإذا كان الاختلاف المركزي أكبر من الوحدة (الواحد) سمي المنحنى قطعا زائدا(Hyperbola).

وتسمى القطوع المكافئة والناقصة والزائدة بالقطوع المخروطية، لأنه يمكن أن تتولد نتيجة قطع السطح المخروطي بمستو في وضع معين.

أنواع القطوع المخروطية

لها ثلاثة أنواع هي القطع المكافئ (شلجم)، القطع الزائد (هذلول)، والقطع الناقص (إهليج). وقد تُعدُّ الدائرة نوعًا رابعًا (كما عدَّها أبولونيو) أو يمكن عدُّها نوعا من القطوع الناقصة. ويتشكل القطع الناقص والدائرة عندما يكون تقاطع المستوى والمخروط منحنى مغلق. وتتشكل الدائرة عندما يكون المستوى القاطع موازيًا لدائرة القاعدة المولدة للمخروط. بالنسبة لمخروط يميني (كما في الشكل المقابل في أعلى الصورة) يكون المستوى القاطع عموديًا على محور تماثل المخروط. إذا كان المستوى القاطع موازيا لخط واحد فقط من الخطوط المولدة للمخروط حينها يصبح القطع مفتوحًا وليس مغلقًا فيسمى قطعًا مكافئًا. وفي الحالة الأخيرة يتكون القطع الزائد وعندما يتقاطع المستوى مع نصفي المخروط الإثنين، مكونًا بذلك منحنيين منفصلين ومفتوحين، يتم في الغالب تجاهل أحدهما والعمل بالآخر.

حالات شاذة

توجد حالات شاذة تنتج عندما يمر المستوى القاطع برأس المخروط Apex. التقاطع في هذه الحالات قد يكون خطًا مستقيما (إذا كان المستوى مماسًا لسطح المخروط)؛ أو نقطة (إذا كانت الزاوية بين المستوى ومحور المخروط أكبر من المماس)؛ أو زوجا من الخطوط المتقاطعة (عندما تكون الزاوية أصغر).

عندما يصبح المخروط أسطوانة أي عندما يكون الرأس واقعا في منطقة اللانهاية تنتج قطوع أسطوانية. بالرغم من أن ذلك يتسبب غالبًا في قطع ناقص أو دائرة، إلا أن هناك حالة شاذة تنتج خطين متوازيين.

الاختلاف المركزي

انظر أيضاً: لا مركزية (رياضيات)

شروط التعريف الأربعة الواردة أعلاه يمكن جمعها في شرط واحد يعتمد على نقطة افتراضية F(البؤرة) ومستقيم L (الدليل) لا يمر بالنقطة Fوعدد حقيقي غير سالب e (هو معامل الاختلاف المركزي). القطع المخروطي المقابل يتكون من جميع النقاط التي تبعد عن F مسافةً تساوي e مرة بعدها عن L. إذا كانت e بين 0 و 1 نحصل على قطع ناقص، إذا كانت e=1 نتحصل على قطع مكافئ وإذا كانت أكبر من 1 نحصل على قطع زائد.

يوجد دليلان وبؤرتان لكل من القطع الزائد والناقص. المسافة من المركز إلى الدليل هي ${\displaystyle a/e}$، بينما ${\displaystyle a\ }$ هو المحور شبه الأكبر- semi-major axis - للقطع الناقص، أو المسافة من المركز إلى قمة القطع الزائد. المسافة من المركز للبؤرة هي ${\displaystyle ae\ }$.

في حالة الدائرة يكون معامل الاختلاف المركزي e= 0 ويمكن تخيل أن الدليل قد تم استبعاده لانهائيًا عن المركز. لكن من غير المفيد استخدام التعبير: إن الدائرة تتكون من كل النقاط التي التي تبعد مسافة e مرة بعدها عن L لأننا سنحصل على 0 مضروبة في مالانهاية.

لذلك فإن المميز الأساسي ما يخص القطع المخروطي هو مقياس يبين لأي مدى يبعد القطع عن أن يكون دائرة. لقيمة معطاة ${\displaystyle a\ }$، كلما اقتربت ${\displaystyle e\ }$ من 1 كلما نقص طول المحور شبه الأصغر semi-minor axis.

المعادلة الجبرية

يمكن تمثيل معادلة القطع المخروطي بأشكال مختلفة منها:

1. إذا كان الاختلاف المركزي يساوي ھ وكانت البؤرة عند نقطة الأصل (0،0) والدليل مستقيما عموديا على محور السينات يقطعه على بعد ف فإن معادلة القطع المخروطي تعطى بالمعادلة التالية:

(1 - ھ^2) س^2 + 2ھ^2 ف س + ص^2 = ھ^2 ف

1. معادلة من الدرجة الثانية في متغيرين س، ص ويمكن كتابة هذه المعادلة على الصورة التالية:

أ س^2 + 2ب س ص + جـ ص^2 + 2د س + 2ھ ص + و = 0

الإحداثيات الديكارتية

في النظام الإحداثي الديكارتي يكون منحنى دالة تربيعية في متغيرين دوما قطعا مخروطيا، وكل القطوع المخروطية تتكون بهذه الطريقة. معادلتها تكون في الصورة:

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$ حيث ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ ليسوا جميعًا أًصفارًا.

إذن:

• إذا كانت ${\displaystyle B^{2}-4AC<0}$، نحصل على معادلة قطع ناقص (مالم يكن المخروط منحلا، مثلًا ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+10=0}$)؛
  • إذا كان ${\displaystyle A=C}$ و${\displaystyle B=0}$ المعادلة تمثل دائرة؛
• إذا كان ${\displaystyle B^{2}-4AC=0}$، نحصل على معادلة قطع مكافئ.
• إذا كان ${\displaystyle B^{2}-4AC>0}$، نحصل على معادلة قطع زائد.
  • أيضاًإذا كان ${\displaystyle A+C=0}$ ،نحصل على معادلة قطع زائد مستطيل.

لاحظ أن A و B هي معاملات لا تمثل أي أطوال للمحاور الأكبر والأصغر كما سيتم تعريفها في القسم التالي

في تعبير المصفوفات تصبح المعادلات السابقة كالتالي:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+Dx+Ey+F=0.}$

أو

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&1\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}=0.}$

و

${\displaystyle B^{2}-4AC=-4\left|{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right|}$.

رغم تغيير الإحداثيات يمكن وضع هذه المعادلات في صورة قياسية:

• الدائرة: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}\,}$
• القطع الناقص: ${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1,\;{x^{2} \over b^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1}$
• القطع المكافئ:${\displaystyle y^{2}=4ax\,}$, ${\displaystyle x^{2}=4ay\,}$
• القطع الزائد:${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1,\;{x^{2} \over b^{2}}-{y^{2} \over a^{2}}=-1}$
• القطع الزائد المستطيل:${\displaystyle xy=c^{2}\,}$

مثل هذه الصيغ تكون متماثلة حول محور x، و فيما يخصُّ الدائرة و القطع الزائد والناقص حول محور y و القطع الزائد المستطيل هي حالة التماثل الوحيدة التي تكون حول ${\displaystyle y=x}$ و${\displaystyle y=-x}$. لذلك فان دالتها العكسية هي نفس الدالة الأصلية.

يمكن كتابة هذه الصيغ القياسية في صورة معادلات وسيطية (بارامترية):

• الدائرة: ${\displaystyle (a\cos \theta ,a\sin \theta )}$
• القطع الناقص: ${\displaystyle (a\cos \theta ,b\sin \theta )}$
• القطع المكافئ: ${\displaystyle (at^{2},2at)}$
• القطع الزائد: ${\displaystyle (a\sec \theta ,b\tan \theta )}$ أو ${\displaystyle (\pm a\cosh u,b\sinh u)}$
• القطع الزائد المستطيل:${\displaystyle \left(ct,{c \over t}\right)}$

الإحداثيات المتجانسة

في الإحداثيات المتجانسة، القطع المخروطي يمكن تمثيلها كالتالي:

${\displaystyle A_{1}x^{2}+A_{2}y^{2}+A_{3}z^{2}+2B_{1}xy+2B_{2}xz+2B_{3}yz=0.}$

أو بتعبير المصفوفات:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0.}$

المصفوفة ${\displaystyle M={\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}}$ تدعى "مصفوفة القطع المخروطي". ${\displaystyle \Delta =\det(M)=\det \left({\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}\right)}$ تدعى محددة القطع المخروطي. إذا كان Δ = 0 فإن القطع المخروطي يسمى "منحلًا Degenerate"، وهذا يعني أنه في الحقيقة عبارة عن اتحاد خطين مستقيمين. أي قطع مخروطي يتقاطع مع نفسه هو قطع منحلة ،ولكن ليس كل القطوع المنحلة تقاطع نفسها ،وفي هذه الحالة يكون القطع خطًا مستقيماً.

على سبيل المثال القطع المخروطي ${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0}$ يختزل اتحاد المستقيمين:

${\displaystyle \{x^{2}-y^{2}=0\}=\{(x+y)(x-y)=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x-y=0\}}$.

وبالمثل يختزل القطع المخروطي أحيانًا خطًا مفردا:

${\displaystyle \{x^{2}+2xy+y^{2}=0\}=\{(x+y)^{2}=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x+y=0\}=\{x+y=0\}}$.

${\displaystyle \delta =\det \left({\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}\\B_{1}&A_{2}\end{bmatrix}}\right)}$ يدعى مميز القطع المخروطي. إذا كان δ == 0 فالقطع المخروطي مكافئ، إذا كان δ<0 فهو زائد، واذا كان δ>0 فهو ناقص. إذا كان δ>0 و A₁ = A₂ فهي دائرة، أما إذا كان δ<0 و A₁ == -A₂ فهو قطع زائد مستطيل. يمكن اثبات أنه في مستوى الإسقاط المركب CP² قطعين مخروطيين بينهما 4 نقاط مشتركة (إذا أخذنا في الاعتبار التعددية Multiplicity)أي لا يوجد أكثر من 4 نقاط تقاطع و توجد دائمًا نقطة تقاطع واحدة (الاحتمالات: 4 نقاط تقاطع مختلفة، أو نقطتي تقاطع فرديتين ونقطة تقاطع مزدوج، أو نقطتي تقاطع مزدوج، أو نقطة تقاطع فردي ونقطة تقاطع بتعددية 3، أو نقطة تقاطع واحدة بتعددية 4). إذا وجدت نقطة تقاطع واحدة على الأقل ذات تعددية > 1 يقال أن القطعين المخروطيين متماسين. أما إذا كان هناك نقطة تقاطع واحدة ذات تعددية 4 يقال أن القطعين متلامسين osculating.

إضافة لما سبق فإن كل خط مستقيم يقاطع كل من القطعين المخروطيين مرتين. إذا كانت نقطة التقاطع مزدوجة عُدَّ الخط مماسًا ويسمى المماس. لأن كل مستقيم يقاطع القطع مرتين فإن كلا القطعين المخروطيين له نقطتين في مالانهاية (تقاطع النقاط مع خط المالانهاية) فإذا كانت النقطتان حقيقيتان فلابد أن يكون القطع زائدًا، وإذا كانتا تخيليتين فلابد أن يكون القطع ناقصًا، أما إذا كان للقطع نقطة واحدة مزدوجة في مالانهاية فهو مكافئ.

بيان لمخروطات أبولونيوس في ترجمة عربية يعود تاريخها إلى القرن التاسع الميلادي

تطبيقات

انظر إلى تطبيقات الدائرة والقطع الناقص والقطع المكافئ والقطع الزائد.

مقالات ذات صلة

• قطع مكافيء
• قطع ناقص
• قطع زائد

مصادر

• معجم الرياضيات - تأليف لجنة من الخبراء من وزارة التربية والتعليم - عمان - طبعة مكتبة لبنان - ساحة رياض الصلح/ بيروت - 1980م.

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة هندسة رياضية