لغز الأربع أربعات

لغز الأربع أربعات هو لغز رياضي والهدف منه هو التعبير عن عدد ما باستخدام أربع أربعات فقط.

وذلك بأستخدام الرموز الرياضياتيه المتعارفه مثل الجمع والطرح والضرب و المضروب(عاملي) و جذور الاعداد و اللوغاريتم و دالة غاما و رفع الاعداد الي اسس

(رياضيات) بشكل عام

امثلة:

• 0 = 4 ÷ 4 × 4 − 4 = 44 − 44
• 1 = 4 ÷ 4 + 4 − 4 = 44 ÷ 44
• 2 = 4 −(4 + 4)÷ 4 = (44 + 4) ÷ 4!
• 3 = (4 × 4 − 4)÷ 4 = (4 + 4 + 4) ÷ 4
• 4 = 4 + 4 ×(4 − 4) = −44 + 4! + 4!
• 5 = (4 × 4 + 4)÷ 4 = (44 − 4!) ÷ 4
• 6 = (4 + 4)÷ 4 + 4 = 4.4 + 4 ×.4
• 7 = 4 + 4 − 4 ÷ 4 = 44 ÷ 4 − 4
• 8 = 4 ÷ 4 × 4 + 4 = 4.4 − .4 + 4
• 9 = 4 ÷ 4 + 4 + 4 = 44 ÷ 4 − √4
• 10 = 4 ÷√4 + 4 ×√4 = (44 − 4) ÷ 4
• 11 = (4!×√4 - 4)÷ 4 = √4 × (4! - √4) ÷ 4
• 12 = 4 ×(4 − 4 ÷ 4) = (44 + 4) ÷ 4
• 13 = (4!×√4 + 4)÷ 4 = (4 − .4) ÷ .4 + 4
• 14 = 4 × 4 - 4 ÷√4 = 4 × (√4 + √4) - √4
• 15 = 4 × 4 − 4 ÷ 4 = 44 ÷ 4 + 4
• 16 = 4 × 4 + 4 − 4 = (44 − 4) ×.4
• 17 = 4 × 4 + 4 ÷ 4 = (44 + 4!)÷ 4
• 18 = 4 × 4 + 4 −√4 = (44 ÷ √4) − 4
• 19 = 4!−(4 + 4 ÷ 4) = (4 + 4 − .4) ÷ .4
• 20 = 4 ×(4 + 4 ÷ 4) = (44 − 4) ÷ √4
• 21 = 4!- 4 + 4 ÷ 4 = (44 − √4) ÷ √4
• 22 = 4!÷ 4 + 4 × 4 = 44 ÷ (4 − √4)
• 23 = 4!+ 4 ÷ 4 −√4 = (44 + √4) ÷ √4
• 24 = 4!+ 4 ×(4 − 4) = (44 + 4) ÷ √4

25 = 4!- 4 ÷ 4 +√4 = (4 + 4 + √4) ÷ .4

الصيغة العامه

اعطي الكاتب Paul Bourke صيغه عامه للتعبير عن اي عدد باستخدام ثلاث اربعات فقط

${\displaystyle n=-\surd 4\times \ln(\ln(\underbrace {\surd \surd \surd ....\surd 4} _{n})/ln(4))/ln(4)}$

حيث n العدد المراد التعبير عنه وفي نفس الوقت عدد الجذور الماخوذة.^[1]

البرهان

نفرض انه يمكن التعبير عن العدد (n) بالصيغة

${\displaystyle 2^{n}=m}$

وبأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين${\displaystyle \longleftarrow }$${\displaystyle n\times ln(2)=ln(m)}$ثم نقوم بالتعويض عن (m)

${\displaystyle \therefore n={\frac {ln(2^{n})}{ln(2)}}}$

وبضرب الطرف الأيمن في ${\displaystyle ({\frac {-2}{-2}})}$

${\displaystyle \therefore n={\frac {-2\times ln(2^{n})}{-2\times ln(2)}}}$ وبأستخدام خواص اللوغاريتمات

${\displaystyle n={\frac {-{\sqrt {4}}\times ln({\frac {1}{2^{n}}})}{ln(4)}}(1)}$ سوف نقوم بالتعبير عن البسط بصيغه رياضيه اخري للوصول الي الصيغة النهائيه الخاليه من اي عدد عدا الاربعه

نفرض ان ${\displaystyle 4^{\frac {1}{2^{n}}}=Z}$ وبأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين واستخدام خواص اللوغاريتمات تصبح الصيغة بالشكل

${\displaystyle {\frac {1}{2^{n}}}={\frac {ln(4^{\frac {1}{2^{n}}})}{ln(4)}}}$وبالتعويض في المعادلة (1)

${\displaystyle \because \underbrace {\sqrt {\sqrt {\sqrt {...{\sqrt {4}}}}}} _{n}={\Biggl (}{\frac {1}{4^{\frac {1}{2^{n}}}}}{\Biggr )}}$

الصيغة النهائيه بعد التعويض ${\displaystyle n={\frac {-{\sqrt {4}}\times ln{\Biggl (}ln{\Biggl (}\underbrace {\sqrt {\sqrt {\sqrt {...{\sqrt {4}}}}}} _{n}{\Biggr )}/ln(4){\Biggr )}}{ln(4)}}}$

صيغه اخري بأستخدام العدد 2

${\displaystyle n={\frac {ln{\Biggl (}ln{\Biggl (}\underbrace {\sqrt {\sqrt {\sqrt {...{\sqrt {2}}}}}} _{n}{\Biggr )}/ln(2){\Biggr )}}{-ln(2)}}}$

البرهان

نفرض انه يمكن التعبير عن العدد (n) بالصيغة

${\displaystyle 2^{n}=m}$

وبأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين ${\displaystyle \longleftarrow }$${\displaystyle n\times ln(2)=ln(m)}$

${\displaystyle \therefore n={\frac {ln(m)}{ln(2)}}}$

وبالتعويض عن (m )ب ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle \longleftarrow }$${\displaystyle n={\frac {ln(2^{n})}{ln(2)}}}$

بضرب الطرف الأيمن في (${\displaystyle {\frac {-1}{-1}}}$) إذا تصبح الصيغة

${\displaystyle n={\frac {-ln(2^{n})}{-ln(2)}}}$ ,

ومن خواص اللوغاريتمات (${\displaystyle -ln(A)=ln(1/A)}$)

${\displaystyle \therefore n={\frac {ln({\frac {1}{2^{n}}})}{-ln(2)}}\rightarrow (1)}$

ثم نقوم بعمل تعبير رياضي مساعد للتعبير عن البسط في المعادلة (1)

نفرض ان ${\displaystyle 2^{\frac {1}{2^{n}}}=Z}$ ثم نقوم بأخذ اللوغاريتم الطبيعي الطرفين ${\displaystyle \longleftarrow }$${\displaystyle {\frac {1}{2^{n}}}\times ln(2)=ln(Z)}$

${\displaystyle {\frac {1}{2^{n}}}={\frac {ln(2^{\frac {1}{2^{n}}})}{ln(2)}}}$حيث قمنا بالتعويض عن (${\displaystyle Z}$)

بالتعويض في المعادلة (1)

${\displaystyle n={\frac {ln{\Biggl (}ln(2^{\frac {1}{2^{n}}})/ln(2){\Biggr )}}{-ln(2)}}}$

${\displaystyle \because \underbrace {\sqrt {\sqrt {\sqrt {...{\sqrt {2}}}}}} _{n}=2^{\frac {1}{2^{n}}}}$ إذا بالتعويض في المعادلة اعلاه نحصل علي الصيغة النهائيه

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة نظرية الأعداد
• موسوعة رياضيات