مبرهنة رول

تمثيل بياني للنظرية

في التفاضل والتكامل، تنص مبرهنة رول على أن كل دالة قيمها عبارة عن أعداد حقيقية وقابلة للاشتقاق، والتي تتساوى قيمتها عند نقطتين اثنتين مختلفتين، فإن لهذه الدالة نقطة ما بينهما، حيث تكون قيمة اشتقاق الدالة مساوية للصفر.^[1][2][3]

إذا كانت ${\displaystyle f\;}$ دالة تحقق الشروط الآتية لعددين حقيقيين a وb بحيث ${\displaystyle a<b\;}$

• الدالة متصلة في المجال المغلق
• الدالة قابلة للاشتقاق في المجال المفتوح ${\displaystyle (a,b)}$
• ${\displaystyle f(a)=f(b)}$

فإنه يوجد عنصر c حقيقي ضمن ${\displaystyle (a,b)}$ بحيث ${\displaystyle f'(c)=0\;}$.

الصيغة الرسمية للمبرهنة

تكتب مبرهنة رول على الشكل التالي:

التاريخ

أول برهان رسمي معروف لهذه المبرهنة يعود إلى ميشيل رول. كان ذلك في عام 1691

أمثلة

المثال الأول

نصف دائرة شعاعها يساوي r.

ليكن r عددا موجبا ولتكن الدالة التالية:

${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}},\quad x\in [-r,r].}$

المثال الثاني

الرسم البياني لدالة القيمة المطلقة.

${\displaystyle f(x)=|x|,\qquad x\in [-1,1].}$

تعميمات

برهان الصيغة المعممة

تعميم لدرجات اشتقاق أعلى

برهان

وجود القيمة r يعني أن هناك قيمة قصوى أو دنيا. نفترض f موجبة في (أ، ب).

في هذه الحالة يكون للدالة f على الأقل قيمة قصوية.

إذا افترضنا أنه لا توجد القيمة r، وf(a) = 0 وf موجبة. فهذا يعني أن الدالة f متزايدة أي أن f(b)#0 وهذا يتناقض مع f(b)=0.

تعميمات لحقول أخرى

انظر أيضاً

• استيفاء خطي
• مبرهنة القيمة الوسطى

مراجع

• نظرية رول [1]

وصلات خارجية

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة تحليل رياضي