متوسط حسابي هندسي

في الرياضيات، يعرف المتوسط الحسابي الهندسي (Arithmetic–geometric mean)‏ لعددين حقيقيين موجبين x و y على النحو التالي:

نسمي x و y :a₀ و g₀:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=x,\\g_{0}&=y.\end{aligned}}}$

ثم نقم بتعريف التسلسلين المترابطين (a_n) و (g_n) كـ:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n+1}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}+g_{n}),\\g_{n+1}&={\sqrt {a_{n}g_{n}}}\,,\end{aligned}}}$

حيث يأخذ الجذر التربيعي القيمة الرئيسية (قيمة موجبة). يتقارب هتان المتتاليتان إلى نفس العدد، المتوسط الحسابي الهندسي لـ x و y ؛ يُشار إليه بـ M(x, y)، أو أحيانًا بـ agm(x, y).

يستخدم الوسط الهندسي الحسابي في الخوارزميات السريعة للدوال الأسية والمثلثية، وكذلك بعض الثوابت الرياضية، بالأخص حساب الثابت π.

الأمثلة

لإيجاد المتوسط الحسابي والهندسي لـ a₀ = 24 و g₀ = 6 ، نكرر ما يلي:

${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}a_{1}&=&{\tfrac {1}{2}}(24+6)&=&15\\g_{1}&=&{\sqrt {24\cdot 6}}&=&12\\a_{2}&=&{\tfrac {1}{2}}(15+12)&=&13.5\\g_{2}&=&{\sqrt {15\cdot 12}}&=&13.416\ 407\ 8649\dots \\&&\vdots &&\end{array}}}$

تعطي التكرارات الخمس الأولى القيم التالية:

يتضاعف عدد الأرقام a_n و g_n المتفقة (تحتها خط) تقريبًا مع كل تكرار. المتوسط الحسابي و الهندسي لـ 24 و 6 هو الحد المشترك لهتين المتتاليتين، وهو تقريبا:

13.4581714817256154207668131569743992430538388544.^[1]

نبذة تاريخية

ظهرت الخوارزمية الأولى القائمة على هذا الزوج من المتتاليات في أعمال لاغرانج. تم تحليل خصائصه من قبل غاوس.

خصائص

المتوسط الهندسي لعددين موجبين لا يكون أكبر من المتوسط الحسابي.  ونتيجة لذلك ، بالنسبة إلى n > 0، (g_n) هي متتالية متزايدة، (a_n) هي متتالية متناقصة، و g_n ≤ M(x, y) ≤ a_n. هذه هي متباينة قطعية إذا كان x ≠ y.

وبالتالي فإن M(x, y) هو عدد محصور بين المتوسط الهندسي والمتوسط الحسابي لـ x و y؛ وهي أيضًا محصورة بين x وy.

إذا كان r ≥ 0، فإن M(rx,ry) = r M(x,y).

هناك الشكل التكاملي لـ M(x,y):

${\displaystyle {\begin{aligned}M(x,y)&={\frac {\pi }{2}}\div \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}\end{aligned}}}$

حيث K(k) هو التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الأول:

${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}}$

في الواقع، بما أن العملية الحسابية الهندسية تتقارب بسرعة كبيرة، فإنها توفر طريقة فعالة لحساب التكامل الإهليلجي من خلال هذه الصيغة.

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة تحليل رياضي