في الطوبولوجيا، تدعى المجموعة U بالمجموعة المفتوحة (Open set) إذا كان، ابتداءً من أي نقطة x في المجموعة U من الممكن التحرك في أي اتجاه بشكل بسيط دون الخروج خارج المجموعة.[1][2][3]
بشكل آخر، إن المسافة بين أي نقطة x في المجموعة U ومحيط المجموعة U تكون دائماً أكبر من الصفر.
وبصفة عامة في فضاء طوبولوجي (E,T) المجموعات المفتوحة أو المفتوحات اختصارا هي عناصر T. يشكل هذا المفهوم مفهوما هاما و أساسيا في الرياضيات.
تعريف
توجد عدة تعاريف للمفهوم، تختلف حسب نوع الفضاء. لكنها لا تتعارض مع تعريف عام:
حيث E مجموعة ما و T مجموعةٌ عناصرها هي مجوعات جزئية لِ E, إذا تحققت الخاصياتُ الثلاثة الآتية مجتمعةً:
- الفراغُ والشمولُ : المجموعة الفارغة Ø و E عضوان في T.
- الوَصْل: أيُ اتحادٍ لاعضاء من T ينتمي لِ T (إن كان نهائياً أو غير نهائي).
- البَيْن: تقاطع اي مجموعتين من T ينتمي هو ايضا لِ T (ليس ضروريا ان ينتمي تقاطع عدد لا نهائي من المجموعات من داخل T إلى TT).
و في هذه الحالة نسمي T طوبولوجيّةً الفضاء، والمجموعات الاعضاء فيها نسميهن المجموعات المفتوحة في الفضاء. مجموعةٌ التي مكَمّلتها مجموعة مفتوحة تُسمّى مجموعة مغلقة.
بالنسبة للفضائات المترية فنقول أن مجموعة هي مجموعة مفتوحة اٍذا كان بالنسبة لأي عنصر x من المجموعة، فاٍنه يوجد عدد حقيقي r موجب قطعا، حيت تكون الفلكة التي مركزها x وشعاعها r مضمونة في المجموعة.
أمثلة
في مجموعة الأعداد الحقيقية يتقاطع مفهوم المجموعة المفتوحة مع مجال مفتوح. فكل مجموعة مفتوحة هي اتحاد مجالات مفتوحة قابلة للعد متفارقة(منفصلة) فيما بينها مثنى مثنى.
انظر أيضاً
مراجع
- Ueno, Kenji et al. (2005). "The birth of manifolds". A Mathematical Gift: The Interplay Between Topology, Functions, Geometry, and Algebra. Vol. 3. American Mathematical Society. صفحة 38. . مؤرشف من الأصل في 11 سبتمبر 2017.
- Taylor, Joseph L. (2011). "Analytic functions". Complex Variables. American Mathematical Society. صفحة 29. . مؤرشف من الأصل في 8 يونيو 2016.
- Krantz, Steven G. (2009). "Fundamentals". Essentials of Topology With Applications. CRC Press. صفحات 3–4. . مؤرشف من الأصل في 1 أغسطس 2016.