مدى خطي

في فرع الجبر الخطي من الرياضيات، المدى الخطي لمجموعة من المتجهات في فضاء متجهي هو تقاطع جميع الفضاءات المتجهة الجزئية المحتوية على هذه المجموعة.^[1] أي، هو فضاء جميع التركيبات الخطية لمجموعة المتجهات.

التعريف

إذا كان V فضاء متجهًا على حقل K، المدى لمجموعة S من المتجهات يعرّف بأنه التقاطع W لجميع الفضاءات المتجهة الجزئية التي تحتوي على S. في هذه الحالة نقول أن S مجموعة ممتدة في W. نستطيع أيضًا تعريف مدى S بأنه مجموعة جميع التركيبات الخطية المنتهية لعناصر S، والذي يتبع من التعريف السابق.

مدى (S) ={ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}v_{i}|\lambda _{i}\in K}$ }، حيث S={ ${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{k}}$ }

أمثلة

الفضاء المتجهي الحقيقي R³ لديه {(2,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} كمجموعة ممتدة. في هذه الحالة، هذه المجموعة تكوّن أيضًا قاعدة للفضاء.

مجموعة ممتدة أخرى للفضاء نفسه هي {(1,2,3), (0,1,2), (1,1/2,3-), (1,1,1)}، ولكن في هذه الحالة لا تكوّن قاعدة للفضاء لأنها ليست مستقلة خطيًا.

نظريات

• أي مجموعة S ممتدة في فضاء متجهي V يجب أن تحوي عدد عناصر على الأقل كعدد العناصر لأي مجموعة مستقلة خطيًا في V.
• ليكن V فضاء متجهًا منتهي الأبعاد. بالإمكان تقليص أي مجموعة تمتد في V إلى قاعدة في V عبر إزالة بعض المتجهات إن وجب. بالمثل، بالإمكان مدّ أي مجموعة مستقلة من المتجهات في V إلى قاعدة عبر إضافة بعض المتجهات إن وجب.

ْْ

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة جبر