قاعدة (جبر خطي)

نفس المتجه يمكن أن يعبر عنه في قاعدتين مختلفتين اثنتين (باللونين البنفسجي والأحمر).

في الجبر الخطي، قاعدةٌ (Basis)‏ هي مجموعة من المتجهات المستقلة خطيا، والتي بواسطة تركيبة خطية، يمكن لها أن تعبر عن أي متجه منتم إلى فضاء متجهي معين.^[1]

لتكن V قاعدة ما لفضاء متجهي ما. جميع عناصر V يُمكن أن يعبر عنها بشكل وحيد بواسطة تأليفة خطية لمتجهات القاعدة. الأعداد المستعملة خلال هذه التأليفة الخطية تسمى إحداثيات المتجهة.

تعريف

القاعدة B لفضاء متجهي V على حقل F هو مجموعة جزئية مستقلة خطيًا من V تغطي المدى الخطي لـV.

بشكل أدق، افترض أن {B = {v1, …, vn، هي مجموعة جزئية منتهية من الفضاء المتجهي V على الحقل F (مثل الأعداد الحقيقية R أو المركبة C). حينها، نقول أن B قاعدة لـV إذا حققت الشروط التالية:

• خاصية الاستقلال الخطي،

لكل a₁،...،a_n ∈ F، إذا كان a₁v₁ + … + a_nv_n = 0، فإنه يجب أن يكون a₁ = … = a_n = 0

• خاصية تغطية المدى،

لكل x في V من الممكن اختيار a₁, …, a_n ∈ F بحيث x = a₁v₁ + … + a_nv_n.

تسمى الأعداد a_i إحداثيات المتجه x بالنسبة للقاعدة B، وبسبب الخاصية الأولى فإنهم محددون بشكل فريد.

إذا كانت قاعدة الفضاء المتجهي منتهية، نقول أن الفضاء منتهي الأبعاد.

خصائص

• لكل فضاء متجهي قاعدة. يتطلب الإثبات بديهية الاختيار. جميع القواعد لفضاء متجهي لديها نفس عدد العناصر، ويسمى هذا العدد بعد الفضاء المتجهي. تعرف هذه النتيجة بمبرهنة البعد.
• للعديد من الفضاءات المتجهة قواعد أساسية، مثل:
  • في Rⁿ ، لدينا أن {e₁, ..., e_n} تكوّن قاعدة أساسية، حيث e_i هو العامود الi من مصفوفة الوحدة.
  • في P₂، حيث P₂ هي مجموعة جميع الحدوديات من الدرجة الثانية على الأكثر، تكوّن {1, x, x²} قاعدة أساسية.
  • في M₂₂ ، لدينا أن {M_1,1, M_1,2, M_2,1, M_2,2} تكوّن قاعدة، حيث M₂₂ هي مجموعة جميع المصفوفات 2×2 . و M_m,n هي المصفوفة 2×2 بـ1 في الموضع m,n وأصفار في كل موضع آخر.

أمثلة

برهان وجود القاعدة

مراجع

وصلات خارجية

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة جبر