مشتق جزئي

الاشتقاق الجزئي (Partial derivative )‏ في علم الرياضيات هو اشتقاق دالة رياضية مكونة من عدة متغيرات بحيث يكون ذلك الإشتقاق بالنسبة لأحد هذه المتغيرات مع معاملة باقي المتغيرات كثوابت ، والاشتقاق الجزئي ذو فائدة كبيرة في التحليل الشعاعي و الهندسة التفاضلية.

والاشتقاق الجزئي يستخدم عندما تكون الدالة ذات عدة متغيرات ، ويستخدم الرمز (∂) بدلا من الرمز (d)؛ لانه اشتقاق لدالة في عدة متغيرات.

وحيث أن المشتقة الجزئية الخاصة للدالة ذات المتغييرين (ƒ (x , y إذا تم اشتقاقها بالنسبة للمتغير (X) يمكن التعيبر عنها بالصيغة الرياضية :

${\displaystyle f_{x}^{\prime },\ f_{x},\ \partial _{x}f,\ D_{x}f,\ D_{1}f,\ {\frac {\partial }{\partial x}}f,{\text{ or }}{\frac {\partial f}{\partial x}}.}$

وبشكل عام، تكون الدالة المشتقة جزئياً تملك نفس الشكل العام الخاص بالدالة الأصلية ، ويمكن التعبير عن هذا رياضياً كالتالي.^[1] :

${\displaystyle f_{x}(x,y,...),\ {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y,...).}$

بالإضافة أنه يمكن استخدام الإشتقاق الجزئي' أيضاً للدالات ذات الثلاث متغيرات ( ƒ(x ,y ,z ، بحيث يكون للدالة ثلاث مشتقّات ، وكل مشتقّة بدلالة واحدة من الثلاث متغيرات ، ويكون التعويض في أي واحدةً فيهنَّ يعطي ميل خط المماس المار بالإتجاه الخاص بمحوره .

تعريف المشتقة لدالة ذات متغييرين

هناك تعريف عام للمشتقّة الأولى الخاصة بالدالة ذات المتغيرين ، وهو شبيه بالتعريف الخاص بالمشتقة للدالة ذات متغير واحدٍ فقط، ويمكن التعبير عنه بالصيغة الآتية:- [1]

المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f}$

المشتقات الجزئية من الرتبة الثانية

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}=f_{xy}=f_{yx}=\partial _{xy}f=\partial _{yx}f}$

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة تحليل رياضي