معضلة بازل

مسألة بازل أو معضلة بازل هي مسألة في التحليل الرياضي ذات صلة بنظرية الأعداد، والتي طرحها بترو منجولي عام 1644 وحلها ليونارد أويلر في 1734،^[1] وقد عُرِض الحل في 5 ديسمبر 1735 في أكاديمية سانت بطرسبرغ للعلوم.^[2] صمدَت المسألة ضد هجمات علماء الرياضيات البارزين في ذلك العصر، إلا أن حل أويلر جلب له شهرة فورية عندما كان في الثامنة والعشرين من عمره. قام أويلر بتعميم طريقة حله، وقد أخذ برنارد ريمان أفكاره لاحقًا بسنوات في بحثه المنصف عام 1859 بعنوان حول عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما، والذي حدد فيه دالة زيتا وأثبت خصائصها الأساسية. سميت المسألة بـبازل، مسقط رأس أويلر وعائلة برنولي الذين هاجموا المسألة بلا جدوى.

تطالب مسألة بازل بحاصل الجمع الدقيق لمقلوبات مربعات الأعداد الطبيعية، أي حاصل جمع المتسلسلة اللا نهائية:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }$ .

حاصل الجمع التقريبي لهذه المسألة هو 1.644934،^[3] ولكن المطلوب إيجاد حاصل الجمع الدقيق للمتسلسلة بصورة مبسطة (مثل الكسور)، مع البرهان، وهو الذي أوجده أويلر π²/6، وأعلن عن اكتشافه للحل في عام 1735، استندَت حُجج وبراهين أويلر على التلاعبات الرياضية التي لم تكن مُبررة في ذلك الوقت، على الرغم من أنه ثبت في وقت لاحق بصحتها، إلا وأنه حتى عام 1741 لم يكن قادرًا على تقديم دليل صارم لها.

نهج أويلر

اشتقاق أويلر إلى π²/6 كان مبنيًّا على الدراسة الدقيقة لسلوك كثيرات الحدود المنتهية وافتراض أن خصائصها تنطبق على المتسلسلات اللا نهائية. وبالطبع، تطلب منطق أويلر في الحل تبريرًا (بعد 100 عام، أثبت كارل ويرستراس أن تمثيل أويلر لدالة الجيب كمتسلسلة لا نهائية كان صحيحًا، من خلال نظرية ويرستراس في التحليل إلى عوامل)، ولكن حتى من دون مبرر، بسبب الوصول للقيمة الصحيحة، والتي تم التأكد منها من خلال جمع حدود منتهية من المتسلسلة. هذا التوافق بين نتيجة أويلر وحاصل جمع تلك الحدود أعطى أويلر ثقة كافية لإعلان نتائجه للمجتمع الرياضي. لمتابعة برهان أويلر، نقوم أولًا باستحضار متسلسلة تايلور لدالة الجيب

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$

قسّم الطرفين على x

${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots }$

باستخدام نظرية ويرستراس في التحليل إلى عوامل، سنرى أن الجانب الأيسر هو حاصل ضرب العوامل الخطية بحلولها، كما نفعل لكثيرات الحدود المنتهية (والذي افترضه أويلر كمساعد لتوسيع درجة كثيرة الحدود اللا نهائية من حيث حلولها، ولكنه بشكل عام ليس دائمًا صحيحًا لكل ${\displaystyle P(x)}$) ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin x}{x}}&=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots \\&=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots \end{aligned}}}$

لو ضربنا كل حدود x² وجمعناهم في جهة (يمكن فعل ذلك، حسب متطابقات نيوتن) سنرى بالاستقراء بأن معامل x² لـsin x/x هو: ^[5]

${\displaystyle -\left({\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{4\pi ^{2}}}+{\frac {1}{9\pi ^{2}}}+\cdots \right)=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$

ولكن من متسلسلة الجيب الأصلية sin x/x معامل x² هو −1/3! = −1/6، وعليه فيجب أن يكون هذان المعاملان متساويين، وهكذا:

${\displaystyle -{\frac {1}{6}}=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$

والآن بضرب كِلا الطرفين بـ−π² سنحصل على ناتج هذه المسألة

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$

طريقة حساب ${\displaystyle \zeta (2)}$ مُفصّلة بطريقة مميزة في كتاب جاما هافل (Havil's Gamma)‏ والذي يُورد الكثير من تفاصيل دالة زيتا، والمتسلسلات المتعلقة باللوغارتمات، والتكامل، بالإضافة للمنظور التاريخي المرتبط بثابت أويلر جاما.^[6]

تعميم طريقة أويلر باستخدام كثيرات الحدود الابتدائية المتماثلة

عواقب برهان أويلر

دالة زيتا لريمان

دالة زيتا لريمان ζ(s) هي واحدة من أهم الدوال في الرياضيات نظرا لعلاقتها بتوزيع الأعداد الأولية.

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$

${\displaystyle \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1.644934.}$

يمكن البرهان على تقارب هذه المتسلسلة من خلال ما يلي

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{2}}}&<1+\sum _{n=2}^{N}{\frac {1}{n(n-1)}}\\&=1+\sum _{n=2}^{N}\left({\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right)\\&=1+1-{\frac {1}{N}}\;{\stackrel {N\to \infty }{\longrightarrow }}\;2.\end{aligned}}}$

دليل قاطع باستخدام متسلسلة فورييه

دليل قاطع آخر باستخدام متطابقة برسفال

التعميمات وعلاقات التكرار

برهان كوشي

تاريخ البرهان

البرهان

متطابقات أخرى

التمثيل بالمتسلسلات

التمثيل بالتكامل

الكسور المستمرة

طالِع أيضًا

• دالة زيتا لريمان
• ثابتة أبيري

مراجع

• Weil, André (1983), Number Theory: An Approach Through History, Springer-Verlag,   .
• Dunham, William (1999), Euler: The Master of Us All, جمعية الرياضيات الأمريكية,   .
• Derbyshire, John (2003), , Joseph Henry Press,   .
• Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (1998), Proofs from THE BOOK, Berlin, New York: سبرنجر
• Edwards, Harold M. (2001), Riemann's Zeta Function, Dover,   .

الملاحظات

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة تحليل رياضي
• موسوعة نظرية الأعداد