Propriétés des opérateurs

Les opérateurs sont concernés par plusieurs propriétés communes :

• associativité : ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ , qui est parfois écrit pour cette raison : ${\displaystyle a+b+c}$ et ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$, qui est parfois écrit pour cette raison : ${\displaystyle a\cdot b\cdot c}$ ;
• commutativité : ${\displaystyle a+b=b+a}$ et ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ ;
• distributivité^[1] : ${\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}$ et ${\displaystyle a+(b\cdot c)=(a+b)\cdot (a+c)}$ ;
• idempotence : ${\displaystyle a+a=a}$ et ${\displaystyle a\cdot a=a}$ .

Par ailleurs, chaque opérateur possède un élément neutre et un élément absorbant :

• ${\displaystyle a+0=0+a=a}$ ;
• ${\displaystyle a+1=1+a=1}$ ;
• ${\displaystyle a\cdot 1=1\cdot a=a}$ ;
• ${\displaystyle a\cdot 0=0\cdot a=0}$ ;

Des simplifications sont possibles comme :

• ${\displaystyle a+a\cdot b=a}$ ;
• ${\displaystyle a\cdot (a+b)=a}$ ;
• ${\displaystyle a+{\overline {a}}\cdot b=a+b}$ ;
• ${\displaystyle a\cdot ({\overline {a}}+b)=a\cdot b}$.

le théorème du consensus s'applique aux opérateurs de l'algèbre de Boole :

• ${\displaystyle a\cdot b+{\overline {a}}\cdot c=a\cdot b+{\overline {a}}\cdot c+b\cdot c}$.

Enfin, ils suivent le principe de complémentarité :

• involution : ${\displaystyle a={\overline {\overline {a}}}}$ (ex. : la proposition "La lumière est allumée" équivaut à "la lumière n'est pas non allumée" ou, dit autrement, "la lumière n'est pas éteinte").
• tiers exclu : ${\displaystyle a+{\overline {a}}=1}$ (la proposition "lumière allumée" OU "lumière non allumée" est toujours VRAI.).
• contradiction ou antilogie : ${\displaystyle a\cdot {\overline {a}}=0}$ (la proposition "lumière allumée" ET "lumière non allumée" est toujours FAUX.).

Structure

On retrouve alors toutes les propriétés qui confèrent à B une structure d'algèbre de Boole.

Priorité

Pour alléger les écritures, il est d'usage que les opérations booléennes soient soumises aux mêmes règles de priorité que les opérations arithmétiques usuelles : la fonction ET (multiplication logique) est ainsi prioritaire par rapport à la fonction OU (somme logique). Ainsi :

${\displaystyle 1+b\cdot 0=1+0=1}$

Il reste possible de placer des parenthèses dans les calculs pour changer l'ordre de priorité des opérations.

Lois de De Morgan

Première loi de De Morgan (négation de la disjonction) s'exprime par l'égalité suivante ${\displaystyle {\overline {a+b}}={\overline {a}}\cdot {\overline {b}}}$ Table de vérité/Table de fonctionnement a b ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle {\overline {a+b}}}$ ${\displaystyle {\overline {a}}}$ ${\displaystyle {\overline {b}}}$ ${\displaystyle {\overline {a}}\cdot {\overline {b}}}$ 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 Dans les deux cas, l'expression ne sera VRAIE que si a et b sont fausses.

Deuxième loi de De Morgan (négation de la conjonction) ${\displaystyle {\overline {a\cdot b}}={\overline {a}}+{\overline {b}}}$ Table de vérité/Table de fonctionnement a b ${\displaystyle a\cdot b}$ ${\displaystyle {\overline {a\cdot b}}}$ ${\displaystyle {\overline {a}}}$ ${\displaystyle {\overline {b}}}$ ${\displaystyle {\overline {a}}+{\overline {b}}}$ 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 Dans les deux cas, l'expression ne sera FAUSSE que si a et b sont vraies.

Disjonction exclusive

Table de vérité de XOR
a	b	a ${\displaystyle \oplus }$ b
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Le OU étudié jusqu'à présent doit se comprendre de la manière suivante : « l'un ou l'autre ou les deux ». Il est également appelé « OU inclusif ». Le OU exclusif (ou XOR pour ' eXclusive OR') s'entend comme : « l'un ou l'autre, mais pas les deux ».

a XOR b

${\displaystyle a\ \operatorname {XOR} \ b=a\oplus b=(a+b).{\overline {(a\cdot b)}}=a{\bar {b}}+{\bar {a}}b}$

On peut également le définir avec un modulo sur une somme ordinaire :

${\displaystyle a\ \operatorname {XOR} \ b=(a+b)\ {\bmod {\ }}2}$

Le « ou exclusif » est parfois noté par le signe arithmétique ${\displaystyle \neq }$ (différent de). Fonctionnellement, on utilise aussi un + entouré :${\displaystyle a\oplus b}$.

Propriété - Toute table de vérité, toute fonction logique, peut se décrire à l'aide de la constante 1 et des deux opérations : disjonction exclusive et conjonction, car :${\displaystyle {\bar {a}}=a\oplus \ 1}$, et ${\displaystyle a+b=a\oplus \ b\oplus \ a\cdot b}$

Équivalence

Table de vérité de EQV
a	b	a ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ b
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

L'équivalence (notée EQV ou XNOR) est vraie si les deux entrées ont la même valeur et fausse sinon. C'est la négation du « ou exclusif ».

L'équivalence peut s'écrire

${\displaystyle a\ \operatorname {EQV} \ b=a\odot b={\overline {a\oplus b}}={\overline {a{\overline {b}}+{\overline {a}}b}}=(ab)+({\overline {a}}\cdot {\overline {b}})}$

L'équivalence est souvent notée par le signe ${\displaystyle \Leftrightarrow }$. Elle peut aussi être notée « == » dans certains langages (C++, PHP…) et « ⊙ » en électronique.

Implication

Table de vérité de IMP
a	b	a ${\displaystyle \Rightarrow }$ b
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

L'implication (notée IMP) s'écrit de la manière suivante

${\displaystyle a\ \operatorname {IMP} \ b={\overline {a}}+b}$

Cette opération n'est pas commutative. a est une condition suffisante pour b, qui, elle, est une condition nécessaire pour a.

Mais

${\displaystyle a\ \operatorname {IMP} \ b={\overline {b}}\ \operatorname {IMP} \ {\overline {a}}}$

Inhibition

Table de vérité de INH
a	b	${\displaystyle a.{\overline {b}}}$
0	0	0
0	1	0
1	0	1
1	1	0

L'inhibition (notée INH) se compose comme suit

${\displaystyle a\ \operatorname {INH} \ b=a.{\overline {b}}}$

Si a est VRAI, l'expression vaut VRAI, SAUF si b est VRAI.

Cette opération n'est pas commutative.

Fonction logique à trois variables

L'égalité Décrocher = (Sonnerie ET Décision de répondre) OU Décision d'appeler traduit la situation pratique suivante : On décroche un téléphone quand on décide d'appeler quelqu'un ou quand le téléphone sonne et qu'on décide de répondre.

Elle est constituée de trois variables :

• a = « Sonnerie » ;
• b = « Décision de répondre » ;
• c = « Décision d'appeler ».

la variable d = « Décrocher » est fonction logique des 3 précédentes et peut s'écrire ${\displaystyle d{=}a\cdot b+c}$

La table de vérité de cette fonction d est alors la suivante (à droite) :

La table indique une situation absurde : quand on décide d'appeler quelqu'un et que le téléphone sonne sans qu'on ait envie de répondre, on décrocherait quand même. Une modification de la table comme ci-contre corrigerait cette absurdité. Cette table correspond à une fonction logique Décrocher d2 ou d2 qu'il est possible de déterminer et simplifier en ${\displaystyle d2={\bar {a}}\cdot c+a\cdot b}$.

Fonction logique à quatre variables

Un bon élève s'interroge s'il est sage de sortir un soir. Il doit décider en fonction de quatre variables :

• a = il a assez d'argent ;
• b = il a fini ses devoirs ;
• c = le transport en commun est en grève ;
• d = l'automobile de son père est disponible.

Cet élève pourra sortir si :

• il a assez d'argent, a = vrai ;
• il a fini ses devoirs, donc b = vrai ;
• le transport en commun n'est pas en grève, donc c = faux ;
• ou si l'automobile de son père est disponible, donc d = vrai.

L'expression logique de sortir en fonction de l'état des variables a, b, c et d peut donc s'écrire ainsi :Sortir =${\displaystyle a\cdot b\cdot ({\bar {c}}+d)}$