Force relative de deux joueurs

Le classement Elo est basé sur la notion de force relative de deux joueurs ou de deux équipes. Soit ${\displaystyle q}$ la probabilité de gagner d’un joueur A contre un joueur B :

${\displaystyle q=P(A/B)\;}$

Le rapport entre la probabilité de gagner du joueur A et la probabilité de perdre de ce même joueur A (cette dernière étant aussi la probabilité de gagner de son adversaire B) exprime la force relative de A contre B.

${\displaystyle f_{A/B}(q)={\frac {q}{1-q}}}$

Littéralement, si la force relative du joueur A par rapport au joueur B vaut ${\displaystyle f(q)}$, A a statistiquement ${\displaystyle f(q)}$ fois plus de chances de gagner que de perdre face à B. La force relative entre deux joueurs peut être déterminée précisément si ceux-ci ont disputé entre eux un nombre significatif de parties.

Exemple

Du point de vue du joueur A : Si ${\displaystyle q=0{,}6}$ (c'est-à-dire 60 % de chance que A batte B), alors ${\displaystyle f(0{,}6)={\frac {0{,}6}{1-0{,}6}}=1{,}5}$ et A est une fois et demie plus fort que B.

Du point de vue du joueur B, ${\displaystyle q=0{,}4}$ donc ${\displaystyle f(0{,}4)={\frac {0{,}4}{1-0{,}4}}={\frac {2}{3}}}$ et B est 0,667 fois "plus" fort que A. Dans ce cas 0,667 est inférieur à 1, cela signifie donc que B est moins fort que A.

Probabilité de gain

Connaissant la probabilité ${\displaystyle q}$ de gain d’un joueur A contre un joueur B ainsi que la probabilité ${\displaystyle r}$ de gain du joueur B contre un joueur C, quelle est la probabilité ${\displaystyle p}$ de gain du joueur A contre le joueur C ?

On note :

${\displaystyle q=P(A/B)\;}$ la probabilité de gain de A contre B

${\displaystyle r=P(B/C)\;}$ la probabilité de gain de B contre C

${\displaystyle p=P(A/C)\;}$ la probabilité de gain de A contre C

Une hypothèse supplémentaire est faite: la force de A contre C est égale au produit des forces intermédiaires, celle de A contre B par celle de B contre C :

${\displaystyle f(p)=f(q)\times f(r)}$

D'après le paragraphe précédent, la force de A contre C est telle que ${\displaystyle f(p)={\frac {p}{1-p}}}$, dont on déduit la probabilité de gain de A contre C:

${\displaystyle p={\frac {f(p)}{1+f(p)}}}$

Exemple

• Si ${\displaystyle q=0{,}75}$ alors ${\displaystyle f(q)=3}$ et A est trois fois plus fort que B.
• Si ${\displaystyle r=0{,}667}$ alors ${\displaystyle f(r)=2}$ et B est deux fois plus fort que C.
• Par conséquent ${\displaystyle f(p)=3\times 2=6}$ et A est six fois plus fort que C.
• La probabilité de gain de A contre C vaut donc ${\displaystyle p={\frac {6}{1+6}}={\frac {6}{7}}}$, soit 85,7 % de chances que A batte C.

Recherche d'un classement

L’idée du classement Elo est de convertir à l’aide d’une fonction, la probabilité de gain d’un joueur contre un autre en une valeur qui représente l'écart de niveau entre les deux joueurs. Grâce à cette valeur (classement Elo) il devient possible de classer l'ensemble des joueurs, y compris ceux qui ne se sont pas rencontrés.

Relation entre force relative des joueurs et différence de points Elo

Pour obtenir un classement Elo nous cherchons une fonction ${\displaystyle D(p)}$ telle que la différence de points Elo entre les joueurs A et C soit égale à la somme des différences de points Elo entre A et B d’une part et entre B et C d’autre part, ce qui n’est pas le cas avec le produit des forces.

Nous devons remplacer ${\displaystyle f(p)=f(q)\times f(r)}$ par :

${\displaystyle D(p)=D(q)+D(r)}$

Posons ${\displaystyle D(p)=L[f(p)]}$ où ${\displaystyle L}$ est la fonction que l'on cherche.

${\displaystyle D(p)=D(q)+D(r)\ \Leftrightarrow \ L[f(p)]=L[f(q)]+L[f(r)]}$

Or : ${\displaystyle f(p)=f(q)\times f(r)}$, donc ${\displaystyle L[f(q)\times f(r)]=L[f(q)]+L[f(r)]}$.

Cette transformation par la fonction ${\displaystyle L}$ d’un produit en somme est la définition d'une fonction logarithme.

On choisit le logarithme décimal, noté ${\displaystyle \log }$, et pour étendre la plage des valeurs on introduit le facteur multiplicatif 400.

D(p)

D'où la formule de Elo :

${\displaystyle D(p)=400\log \left[f(p)\right]}$

Exemple

Avec ${\displaystyle q=0,75}$ et ${\displaystyle r=0,667}$, les forces sont ${\displaystyle f(q)=3}$, ${\displaystyle f(r)=2}$, et ${\displaystyle f(p)=6}$.

${\displaystyle D(q)=400\log(3)=190,85}$, ${\displaystyle D(r)=400\log(2)=120,41}$,

${\displaystyle D(p)=190,85+120,41=311,26}$.

On vérifie que l'on a bien ${\displaystyle D(p)=400\log(6)=311,26}$

p(D)

Relation entre différence de points Elo et probabilité de gain

La fonction réciproque ${\displaystyle p(D)}$ donne la probabilité de gain en fonction de la différence de points Elo ${\displaystyle D}$ :

${\displaystyle p(D)={\frac {1}{1+10^{\frac {-D}{400}}}}}$

Application pratique

Aux échecs, la fonction ${\displaystyle p(D)}$ est utilisée pour calculer le nouvel Elo ${\displaystyle E_{n+1}}$ en fonction de l'ancien ${\displaystyle E_{n}}$ :

${\displaystyle E_{n+1}=E_{n}+K[W-p(D)]}$

${\displaystyle p(D)}$ est le résultat attendu (fonction de la différence ${\displaystyle D}$ de Elo avec l'adversaire), donné par la formule ci-dessus.

${\displaystyle W}$ est le résultat de la partie : 1 pour une victoire, 0,5 pour un nul et 0 pour une défaite.

${\displaystyle W-p(D)}$ est l’écart entre le résultat de la partie et le résultat attendu. Si le résultat de la partie est égal au résultat attendu, ${\displaystyle W=p(D)}$, le classement Elo ne change pas.

Le coefficient ${\displaystyle K}$ est appelé coefficient de développement. Il vaut 40 pour les 30 premières parties, 20 tant que le joueur est en dessous de 2 400 points Elo, 10 s'il est au-dessus.

Exemple

Un joueur classé 1800 Elo joue contre un joueur classé 2 005 Elo, soit une différence ${\displaystyle D=1\,800-2\,005=-205}$. Il a une probabilité de gain ${\displaystyle p(D)=0,235}$, tandis que son adversaire a une probabilité de gain complémentaire ${\displaystyle p(-D)=0,765}$.

• En faisant match nul (${\displaystyle W=0,5}$), avec ${\displaystyle K=20}$ nous avons le nouveau classement pour le joueur classé 1 800 Elo :

${\displaystyle E_{n+1}=1\,800+20\times (0,5-0,235)=1\,800+5=1\,805}$

Le joueur classé 2 005 Elo perdra de son côté 5 points, le calcul étant parfaitement symétrique, en effet pour lui nous avons :

${\displaystyle E_{n+1}=2\,005+20\times (0,5-0,765)=2\,005-5=2\,000}$

• Si au contraire le joueur classé 1 800 Elo gagne (W=1 pour lui, et W=0 pour son adversaire) cela donne un nouveau classement pour le joueur classé 1 800 Elo :

${\displaystyle E_{n+1}=1\,800+20\times (1-0,235)=1\,800+15=1\,815}$

Le joueur classé 2 005 Elo perdra de son côté 15 points :

${\displaystyle E_{n+1}=2\,005+20\times (0-0,765)=2\,005-15=1\,990}$

En pratique la FIDE limite ces calculs en plafonnant ${\displaystyle D}$ à 400 points. S’il y a plus de 400 points d’écart, donc plus de 91 % de chances de gain théoriques^[4], la différence est ramenée à 400 points.

Le coefficient K

Nombre de GMI par tranche de 10 points Elo (juillet 2009).

Du coefficient de développement K dépend la volatilité du classement. Plus K est élevé, plus les changements dans le classement seront importants, cela permet aux nouveaux joueurs entrants dans le classement de progresser rapidement vers leur niveau réel. Les joueurs anciens dans le classement ont un facteur K moins élevé et les joueurs qui ont atteint un classement Elo supérieur à 2 400 points ont leur facteur K au minimum, même si leur classement redescend en dessous de 2 400 points^[5]. Ce coefficient est de 40 points pour les nouveaux joueurs jusqu'à leur trentième partie, puis 20 tant que leur classement reste inférieur à 2 400 points, et enfin 10 pour les joueurs ayant atteint 2 400 points Elo^[6]. À noter que K vaut 40 pour tout joueur jusqu’à son 18^e anniversaire, tant que son classement reste en dessous de 2 300 points.

À l’initialisation du processus en 1970, il fut décidé que tous les grands maîtres internationaux du monde avaient un classement de 2 500 points Elo. C’est à partir de cette base initiale de joueurs que le classement fut progressivement calculé pour tous les autres joueurs.

On peut parler d'une « inflation » du Classement Elo si au fil des années le nombre de très forts joueurs progresse plus vite que celui des autres catégories de joueurs (Jean-François Hunon a écrit^[7] : « Si vous êtes fort joueur, le système vous donne trop de points si vous faites un bon tournoi et ne vous en enlève pas assez si vous faites un mauvais tournoi. Si vous êtes faible (!) joueur, le système ne vous donne pas assez de points si vous faites un bon tournoi et vous en enlève trop si vous faites un mauvais tournoi. »). Cependant, la moyenne du classement Elo des Grands Maîtres Internationaux n'a que très peu varié depuis 1970 et s'établit toujours à 20 points près autour de 2 500 points Elo, ce qui semble invalider les « théories de l'inflation » du classement Elo. La raison toute simple est que le titre de grand maître est attribué en fonction du classement Elo. En effet, pour devenir grand maître, il faut (à quelques cas particuliers près, comme les championnats nationaux qui peuvent être pris en compte pour l'attribution des normes) : 1) trois normes qui sont des performances supérieures à 2 600 points Elo dans des tournois internationaux dans lesquels le joueur aura rencontré au moins trois grands maîtres ; 2) un classement Elo d'au moins 2 500 points^[8].

Calcul du classement par la Fédération internationale des échecs (FIDE)

Premier classement d'un joueur.

Extrait de la table FIDE

${\displaystyle p}$	${\displaystyle D(p)}$
1,00	+ 800
0,99	+ 677
0,9	+ 366
0,8	+ 240
0,7	+ 149
0,6	+ 72
0,5	0
0,4	− 72
0,3	− 149
0,2	− 240
0,1	− 366
0,01	− 677
0,00	− 800

On veut déterminer le premier classement (classement initial), R_n, du joueur (R pour rating (classement), n pour nouvel Elo).

Classement R_u dans une compétition

On calcule d'abord le classement R_u (u pour unknown (inconnu)) d'un joueur dans une compétition où il rencontre au moins trois joueurs classés FIDE. Pour cela :

• on détermine le classement moyen de l'opposition (les joueurs classés) lors du tournoi, R_c (c pour compétition). Dans un système suisse, c'est simplement la moyenne des classements des adversaires déjà classés FIDE. Dans le cas d'un tournoi toutes rondes, la formule du calcul de R_c est donnée sur le site de la FIDE^[9] ;
• on calcule le pourcentage de gain contre ces adversaires (la performance du joueur), ${\displaystyle p}$, c’est-à-dire la somme des points obtenus divisée par le nombre de parties ;
• on détermine ${\displaystyle D(p)}$ en fonction de la table FIDE^[9] dont un extrait est donné à droite (les valeurs de 800 et - 800 pour p=1 ou 0 sont arbitraires).

Pour obtenir le classement, R_u, du joueur pour la compétition :

• si ${\displaystyle p=0,5}$ (le joueur marque 50 % des points), alors R_u = R_c
• si ${\displaystyle p<0,5}$ (le joueur marque moins de 50 % des points), alors R_u = R_c + ${\displaystyle D(p)}$ pour un système suisse (pour un tournoi toutes rondes, la formule est donnée sur le site de la FIDE^[9]).
• si ${\displaystyle p>0,5}$ (le joueur marque plus de 50 % des points), alors R_u = R_c + 20 points par demi-point marqué au-dessus de 50 % des points, c'est-à-dire R_u = R_c + 20 x (Nombre de victoires − Nombre de défaites).

Exemple

Un joueur joue 10 parties, il réalise 2 nulles, 3 victoires et 5 défaites, soit ${\displaystyle 2\times 0,5+3\times 1+5\times 0=4}$ points. Son pourcentage de gains sur ces 10 parties vaut ${\displaystyle p=4/10=0,4}$, et ${\displaystyle D(p)=-72}$. Nous avons alors R_u = R_c${\displaystyle -72}$.

Un joueur joue 10 parties, il réalise 2 nulles, 5 victoires et 3 défaites, soit ${\displaystyle 2\times 0,5+5\times 1+3\times 0=6}$ points. Son pourcentage de gains sur ces 10 parties vaut ${\displaystyle p=6/10=0,6}$. Dans ce cas, R_u = R_c${\displaystyle +20\times (5-3)}$=R_c${\displaystyle +40}$

Premier classement publié R_n

Dès que 5 parties sont jouées contre des joueurs classés, le premier classement publié, R_n, est égal à la moyenne pondérée des R_u de chaque tournoi, arrondie à l’entier le plus proche, si toutefois celle-ci dépasse 1000 (seuil plancher au 1^er juillet 2012). Depuis le 1^er juillet 2014, il suffit de faire au moins une partie nulle (1/2 point) sur un minimum de 5 parties jouées contre des joueurs classés et avoir un classement R_n supérieur à 1000^[10].

Exemple

Un joueur joue un total de vingt parties lors de trois tournois contre des joueurs classés :

• lors du premier tournoi il réalise un R_u= 2 280 sur 5 parties ;
• lors du deuxième, R_u= 2 400 sur 10 parties ;
• lors du troisième, R_u= 2 000 sur 5 parties.

Son premier classement publié sera :

• Rn = (2 280 × 5 + 2 400 × 10 + 2 000 × 5) / 20 = 2 270.

Joueurs ayant déjà un classement

Pour chaque partie jouée contre un joueur classé FIDE (dans un système suisse, on ne tient pas compte des résultats contre les joueurs non classés) :

• on détermine la différence D de classement (au début du tournoi) entre le joueur adverse et le sien (ramenée à 400 si elle dépasse 400 depuis le 1^er juillet 2009 - au lieu de 350 avant cette date) ;
• on détermine ${\displaystyle p(D)}$ à l’aide de la table FIDE ou grâce à la formule ${\displaystyle p(D)={\frac {1}{1+10^{\frac {-D}{400}}}}}$ ;
• on détermine un coefficient ${\displaystyle K}$ qui vaudra :
  • ${\displaystyle K=40}$ jusqu’à la 30^e partie du joueur, sinon,
  • ${\displaystyle K=20}$ pour un classement Elo en dessous de 2 400 Elo, sinon,
  • ${\displaystyle K=10}$ pour un classement Elo au-dessus de 2 400.

Soit ${\displaystyle W}$ le résultat (c'est-à-dire le score) contre l’adversaire classé ${\displaystyle \left(W=1,{\tfrac {1}{2}},0\right)}$, le nouveau classement sera :

${\displaystyle E_{n+1}=E_{n}+K\times (W-p(D))}$

(où ${\displaystyle E_{n}}$ est le classement avant de rencontrer le joueur classé)

Dans un tournoi toutes rondes, on tient compte des joueurs non classés seulement après qu'ils ont joué contre tous les joueurs classés. Pour chacun de ces joueurs non classés, on calcule un classement estimé, Ru (la procédure en plusieurs étapes est décrite sur le site de la FIDE^[11]), puis on utilise Ru pour calculer la différence D (que l'on plafonne à 400) entre le joueur classé et le joueur non classé.

Depuis juillet 2012, le classement FIDE est mis à jour tous les mois, et publié tous les 1^er du mois. Si un joueur a joué moins de quatre parties classées sur une période d’un an, il est considéré comme inactif. Si le classement passe en dessous du seuil FIDE (1 000), le joueur est retiré de la liste et à nouveau considéré comme non classé.

Exemple

Si un joueur classé 2 600 gagne contre un joueur classé 2 700 ${\displaystyle (D=2600-2700=-100\$ ;\ p(D)=0,36\ ;\ K=10\ ;\ W=1)} , son nouveau classement sera : ${\displaystyle 2600+10(1-0,36)=2606,4}$. Pour la publication, on arrondira à l’entier le plus proche (2 606).

Parties non jouées

Qu’elles se produisent à cause d’un forfait ou pour toute autre raison, elles ne sont pas comptabilisées. Toute partie où les deux joueurs ont fait au moins un coup seront prises en compte pour le classement^[12].

Autres classements

Les fédérations nationales utilisent souvent un système légèrement différent de celui de la Fédération internationale des échecs (FIDE).

Il existe souvent deux classements distincts : l’un au niveau international, géré par la FIDE, et dit « Classement FIDE » ou « Classement international », et un au niveau national, géré en France par la FFE, par la FQE au Québec, par la FCE (en) au Canada et par la FSE en Suisse, dit « Elo national ». Un joueur peut disposer à la fois d’un classement international et d’un ou plusieurs classements nationaux qui évoluent indépendamment.

Jusqu’en 1993, le seuil minimal du classement FIDE était fixé à 2 200^[13], soit le niveau d’un candidat maître, les amateurs ne disposaient que du classement national. Il a été abaissé progressivement jusqu’à atteindre 1 000 depuis le 1^er juillet 2012 ce qui est le niveau d’un débutant en tout début d'apprentissage, soit in fine la totalité des joueurs.

Depuis le 1^er juillet 2009, la différence maximale entre deux classements pour le calcul des points gagnés ou perdus après chaque partie a été ramenée à 400 points au lieu de 350 précédemment.

Classement en parties rapides et en blitz

En juillet 2012, la FIDE inaugure deux nouveaux classements, ceux de parties rapides et de blitz. Ils ne sont néanmoins pas encore établis pour les cent premiers mondiaux dont beaucoup ont peu joué à ces cadences^[14].

Autre nouveauté de juillet 2012, le classement officiel qui était établi tous les trois mois et qui depuis septembre 2009 était devenu bimestriel, devient mensuel^[15].

De 1970 à janvier 2006

Il faut noter que Bobby Fischer a cessé de participer aux compétitions après août 1972 (jusqu'en 1992) mais est resté numéro un jusqu'en 1975. De même, Garry Kasparov s'est retiré du circuit professionnel en avril 2005 (après le tournoi de Linares) et a conservé son classement Elo pendant un an (jusqu'en janvier 2006).

En janvier et juillet 1994, Kasparov fut exclu de la liste publiée par la Fédération internationale des échecs. Il fut réintégré dans la liste parue en janvier 1995.

En janvier 1996, Kramnik fut classé numéro un devant Kasparov grâce à un nombre de parties disputées plus élevé.

Numéros un mondiaux de 1970 à 2005

Période	Numéro un mondial	Elo max	Date(s) du meilleur Elo
janvier 1970 – janvier 1975	Bobby Fischer	2 785	(juillet 1972)
janvier 1976 – juillet 1983	Anatoli Karpov	2 725	(janvier 1978 et janvier 1980)
janvier 1984 – janvier 1985	Garry Kasparov	2 715	(juillet 1984 et janvier 1985)
juillet 1985	Anatoli Karpov	2 720	(juillet 1985)
janvier 1986 – juillet 1995	/ Garry Kasparov	2 815	(juillet 1993)
janvier 1996	Garry Kasparov Vladimir Kramnik	2 775	(janvier 1996)
juillet 1996 – janvier 2006	Garry Kasparov	2 851	(juillet 1999 et janvier 2000)

Depuis avril 2006

En avril 2006, Kasparov était inactif depuis un an. Il fut retiré du classement FIDE.

En janvier 2008, Kramnik fut classé numéro un devant Anand grâce à un nombre de parties disputées plus élevé.

Numéros un mondiaux depuis 2006

Période	Numéro un mondial	Elo max	Date(s) du meilleur Elo
avril 2006 – janvier 2007	Veselin Topalov	2 813	(juillet et octobre 2006)
avril 2007 – octobre 2007	Viswanathan Anand	2 801	(octobre 2007)
janvier 2008	Viswanathan Anand Vladimir Kramnik	2 799	(janvier 2008)
avril 2008 – juillet 2008	Viswanathan Anand	2 803	(avril 2008)
octobre 2008 – novembre 2009	Veselin Topalov	2 813	(juillet et septembre 2009)
janvier 2010 – septembre 2010	Magnus Carlsen	2 826	(juillet et septembre 2010)
novembre 2010	Viswanathan Anand	2 804	(novembre 2010)
janvier 2011	Magnus Carlsen	2 814	(janvier 2011)
mars 2011 – mai 2011	Viswanathan Anand	2 817	(mars et mai 2011)
depuis juillet 2011	Magnus Carlsen	2 882	(mai 2014 et août 2019)

Le classement Elo maximum indiqué est celui de la période considérée (ce qui ne correspond pas toujours au meilleur classement Elo du joueur).

Bibliographie

• Rémi Coulom, « Jeux et sports : le problème des classements », Pour la science, n^o 393,‎ juillet 2010, p. 20-27 (ISSN 0153-4092, lire en ligne ).
• (en) Arpad Elo, The Rating of Chessplayers, Past and Present, New York, Arco Pub., 1978, 206 p. (ISBN 0-668-04721-6 et 9780668047210, OCLC 4504131).

Articles connexes

• Catégorie d'un tournoi
• Classement ECF
• Classement mondial de football Elo
• Classement mondial féminin de la FIFA
• Classement Glicko
• Fédération internationale des échecs
• Classement mondial de la FIDE
• Universal Rating System

Liens externes

• (en) FIDE, recherche avancée
• (en) Chessgraphs.com - Compare chess players' rating histories with FIDE data back to 1970
• (en) Classement mixte des joueurs à plus de 2700 Elo, calculé selon les règles de la FIDE et actualisé partie par partie.
• (ru) Classement des 30 meilleures joueuses mondiales selon les règles de la FIDE et établi quotidiennement.