Définition par la fonction de densité

Fonction de densité de la loi normale centrée réduite (dite courbe de Gauss ou courbe en cloche).

La loi normale centrée réduite est la loi de probabilité absolument continue dont la densité de probabilité est donnée par la fonction ${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}} définie par^[16] : ${\displaystyle \varphi (t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\operatorname {e} ^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}$, pour tout ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$. Cette loi est dite centrée puisque son moment d'ordre 1 (espérance) vaut 0 et réduite puisque son moment d'ordre 2 (variance) vaut 1, tout comme son écart type. Le graphe de la densité φ est appelé fonction gaussienne, courbe de Gauss ou courbe en cloche. Cette loi est notée grâce à la première lettre de « normal », une variable aléatoire X qui suit la loi normale centrée réduite est notée : ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$.

Quelques remarques et propriétés immédiates (voir également les propriétés ci-dessous) :

• le calcul de l'intégrale de Gauss permet de démontrer que la fonction φ est une densité de probabilité par la formule : ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {exp} \left(-{\frac {t^{2}}{2}}\right)\,\mathrm {d} t={\sqrt {2\pi }}}$ ;
• la densité φ est continue, uniformément bornée et paire^[17] ;
• cette parité fait que l'espérance et les moments d'ordres impairs sont nuls ;
• les moments d'ordres pairs sont donnés par ${\displaystyle m_{2k}=(2k-1)\cdots 3\cdot 1={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}}$^[18](en particulier, Var(X) = m₂ = 1), d'après la relation de récurrence m_2k = (2k–1)m_2k–2 pour k ≥ 1, qui provient de l'intégration par parties suivante :${\displaystyle m_{2k}=\int _{-\infty }^{+\infty }t^{2k-1}t\varphi (t)\,\mathrm {d} t=-\int _{-\infty }^{+\infty }t^{2k-1}\varphi '(t)\,\mathrm {d} t=(2k-1)\int _{-\infty }^{+\infty }t^{2k-2}\varphi (t)\,\mathrm {d} t}$.
• le maximum de la fonction φ est atteint en la moyenne 0 et vaut^[17] ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ ;
• la fonction vérifie : ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\varphi (x)=\lim _{x\to -\infty }\varphi (x)=0}$ ;
• la densité φ est infiniment dérivable ; un raisonnement par récurrence permet d'obtenir la formule^[19] : ${\displaystyle \varphi ^{(n)}(x)=(-1)^{n}H_{n}(x)\varphi (x)}$ où H_n est le n-ième polynôme d'Hermite ;
• la densité possède^{[a 3]} deux points d'inflexion en 1 et en –1. Ce sont les points en lesquels la dérivée seconde φ'' s'annule et change de signe. Les deux points se situent approximativement aux trois cinquièmes de la hauteur totale.

Définition par la fonction de répartition

Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

Historiquement, une loi normale est apparue comme la loi limite dans le théorème central limite à l'aide de sa fonction de répartition. Il est alors utile de définir la loi par cette fonction. La loi normale est la loi de probabilité dont la fonction de répartition est donnée par la fonction ${\displaystyle \Phi$ :\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}} définie par^[18] : ${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\operatorname {e} ^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\,\mathrm {d} t}$, pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$. Elle donne la probabilité qu'une variable aléatoire de loi normale appartienne à un intervalle ${\displaystyle [a,b]}$ : ${\displaystyle \mathbb {P} (X\in [a,b])=\Phi (b)-\Phi (a)}$ (pour plus de détails de calcul, voir la section Tables numériques et calculs).

Quelques remarques et propriétés immédiates :

• il n'existe pas d'expression analytique de la fonction de répartition Φ, c'est-à-dire qu'elle ne s'exprime pas à partir de fonctions usuelles mais devient elle-même une fonction usuelle^[20] ;
• elle s'exprime en fonction de la fonction d'erreur grâce aux deux formules équivalentes suivantes^{[a 4]} :
  1. ${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}$,
  2. ${\displaystyle \operatorname {erf} (x)=2\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)-1}$ ;
• elle est dérivable une infinité de fois et vérifie Φ'(x) = φ(x). L'écriture équivalente dΦ(x) = φ(x)dx permet de définir l'intégrale de Lebesgue-Stieltjes par rapport à la loi normale ;
• elle est absolument continue et strictement croissante, c'est donc une bijection^{[a 5]} de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dans ]0 ; 1[. Sa réciproque Φ⁻¹ existe et s'appelle la fonction probit. Cette fonction est utilisée pour le modèle probit^[21] ;
• par parité de la loi, Φ(–x) = 1 – Φ(x) et ainsi Φ(0) = 1/2. Ceci montre^{[a 5]} que la médiane de la loi normale centrée réduite est 0 ;
• par définition de la fonction de répartition, ${\displaystyle \Phi (x)=\mathbb {P} (X\leq x)}$ lorsque la variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite, ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$. Pour obtenir les valeurs de cette probabilité, il faut approcher cette fonction par d'autres fonctions usuelles et il existe des tables de valeurs (voir la section Table de la loi normale ci-dessous).

Définition par la fonction caractéristique

Fonction caractéristique et fonction génératrice des moments de la loi normale centrée réduite.

La caractérisation d'une loi normale par sa fonction caractéristique présente un intérêt pour démontrer certaines propriétés, comme la stabilité par addition ou le théorème central limite. Cette fonction caractéristique ${\displaystyle \phi$ :\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}} , qui se calcule à partir de la densité de probabilité^[18],[22] et caractérise la loi, est donnée par : ${\displaystyle \phi (t)={\rm {e}}^{-{\frac {t^{2}}{2}}},\,\forall t\in \mathbb {R} }$. Cette fonction caractéristique est égale, à une constante multiplicative près, à la densité de probabilité de la loi : on dit que la fonction caractéristique d'une gaussienne est gaussienne^{[a 3]}.

Si une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite de fonction caractéristique ϕ définie ci-dessus, alors^[23] la transformation linéaire Y = aX+b admet pour fonction caractéristique : ${\displaystyle \phi _{Y}(t)={\rm {e}}^{{\rm {i}}bt}\phi (at)}$. C'est donc une variable aléatoire de loi normale de moyenne b et de variance a².

Définition par la fonction génératrice des moments

Une autre manière de définir une loi normale est par l'utilisation de sa fonction génératrice des moments ${\displaystyle M:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;t\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }m_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\mathbb {E} \left(\operatorname {e} ^{tX}\right)}$. Cette fonction, qui se calcule à partir de la fonction de densité^{[b 1]} et caractérise la loi, est donnée par^[24] : ${\displaystyle M(t)={\rm {e}}^{\frac {t^{2}}{2}}}$, pour tout ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$. On retrouve ainsi les valeurs des moments m_n (voir supra).

Définition

Plus généralement que la loi normale centrée réduite, une loi normale (non centrée et non réduite) est une loi de probabilité absolument continue dont l'un des quatre points suivants est vérifié :

• la densité de probabilité ${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}} est donnée par^[16] :${\displaystyle \varphi (t)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\operatorname {e} ^{-{\frac {1}{2}}{\frac {(t-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}}}$, pour tout ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ;
• la fonction de répartition ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$ est donnée par :${\displaystyle F(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}{\frac {(t-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}}\,\mathrm {d} t}$, pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ;
• la fonction caractéristique ${\displaystyle \phi$ :\mathbb {R} \to \mathbb {C} } est donnée par^[25] :${\displaystyle \phi (t)={\rm {e}}^{\mu {\rm {i}}t-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}$, pour tout ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ;
• la fonction génératrice des moments ${\displaystyle M:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$ est donnée par^{[26],[27],[b 2]} :${\displaystyle M(t)={\rm {e}}^{\mu t+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}$, pour tout ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$,où ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} _{+}^{\star }}$.

Pour le cas où σ = 0, c'est une forme dégénérée de la loi normale, parfois appelée loi normale impropre^[25]. C'est alors la mesure de Dirac au point μ qui n'est pas absolument continue.

La valeur μ est la moyenne de la loi et σ est l'écart type alors que σ² en est la variance. Cette loi est notée grâce à la première lettre de « normal ». Une variable aléatoire X qui suit une loi normale est notée de deux manières différentes suivant les auteurs^[28],[15] :${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ){\text{ ou }}X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}).}$ La deuxième notation a l'intérêt de pouvoir noter la stabilité par addition de manière simple^{[a 5]} ; elle sera utilisée dans cet article.

Remarques et propriétés immédiates

• Si la variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$, alors la variable aléatoire σX + μ suit la loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ de moyenne μ et de variance σ². Réciproquement, si Y suit la loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$, alors Y – μ/σ suit la loi normale centrée réduite^[1]. Dit autrement, toute loi normale peut s'obtenir par translation (shifting en anglais) et par dilatation (scaling en anglais) de la loi centrée réduite.Cette première propriété permet d'obtenir la formule très utile^[29] :${\displaystyle \mathbb {P} (Y\leq x)=\mathbb {P} \left({\frac {Y-\mu }{\sigma }}\leq {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)=\mathbb {P} \left(X\leq {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$.Il est alors possible de déduire les propriétés d'une loi normale à partir de celles de la loi normale centrée réduite, et vice versa. La variable Y – μ/σ est parfois^[30] appelée la « standardisation » de Y ou « variable Y centrée réduite ».
• Plus généralement, si ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ alors ${\displaystyle aX+b\sim {\mathcal {N}}(a\mu +b,a^{2}\sigma ^{2})}$ (on peut le lire sur les fonctions génératrices des moments^[31], ou sur les densités).
• La densité f est symétrique par rapport à μ^[17].
• Le maximum de la fonction f est atteint en μ et vaut^[17] ${\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}}$.
• La décroissance de la densité à droite et à gauche de μ est surexponentielle^[17].
• Puisqu'une loi normale est une loi de probabilité absolument continue, l'événement [X = x] est négligeable, c'est-à-dire que presque sûrement une variable aléatoire de loi normale X n'est jamais égale à une valeur fixée x. Ceci se traduit mathématiquement par : ${\displaystyle \mathbb {P} (X=x)=0}$.
• La largeur à mi-hauteur permet de donner une valeur d'amplitude de la loi. C'est la largeur de la courbe à une hauteur qui vaut la moitié de la hauteur totale. Cette largeur à mi-hauteur de la loi normale est proportionnelle à l'écart type^{[a 6]} : H = 2 √2 ln (2) σ ≈ 2,3548 σ. Le facteur 2 est issu de la propriété de symétrie de la loi normale.
• La densité possède^{[a 3]} deux points d'inflexion en μ + σ et en μ – σ. Ce sont les points en lesquels la dérivée seconde f'' s'annule et change de signe. Les deux points se situent approximativement aux trois cinquièmes de la hauteur totale.
• Les lois normales sont des lois de la famille exponentielle, c'est-à-dire que leur densité s'écrit sous la forme :${\displaystyle f(x)=a(\theta )b(x)\mathrm {e} ^{-c(\theta )d(x)}}$ ou, de manière équivalente, sous la forme^[32]${\displaystyle f(x)=\exp \left({\frac {x\theta _{1}-\beta (\theta _{1})}{\alpha (\theta _{2})}}\right),\ {\textrm {avec}}\ \theta _{1}=\mu ,\,\theta _{2}=\sigma ,\,\beta (\mu )=\mu ^{2}/2\ {\textrm {et}}\ \alpha (\sigma )=\sigma ^{2}}$.

Autres caractérisations

En addition de la densité de probabilité, de la fonction de répartition, de la fonction caractéristique et de la fonction génératrice des moments, il existe d'autres caractérisations des lois normales.

• Caractérisation due à Georges Darmois (1951) et Sergueï Bernstein (1954)^{[a 2]} : si deux variables aléatoires X₁ et X₂ sont indépendantes et de même loi et si les deux variables aléatoires X₁ + X₂ et X₁ – X₂ sont également indépendantes, alors la loi commune X₁ et X₂ est une loi normale.
• Caractérisation due à Charles Stein (1972)^{[a 3]} : les lois normales sont les seules lois de probabilité (mesures de probabilité) ${\displaystyle \mathbb {P} }$ telles que, pour toute fonction g de classe C¹ (c'est-à-dire dérivable et de dérivée continue) :${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }g'(x)\mathrm {d} \mathbb {P} (x)=\int _{\mathbb {R} }xg(x)\mathrm {d} \mathbb {P} (x)}$.

Moments

Le moment d'ordre 1 est appelé la moyenne (μ) et est donné en paramètre d'une loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$. Le deuxième paramètre est son écart type (σ), c'est-à-dire la racine carrée de la variance qui est par définition la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Il est alors également intéressant d'obtenir les moments centrés d'une loi normale, ils sont donnés par^[31] :

${\displaystyle {\begin{cases}\mu _{2k}=\mathbb {E} [(X-\mu )^{2k}]={\frac {(2\,k)!}{2^{k}k!}}\sigma ^{2k}\\\mu _{2k+1}=\mathbb {E} [(X-\mu )^{2k+1}]=0\end{cases}}}$ pour ${\displaystyle k\geq 0}$ et X une variable aléatoire de loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$.

Le moment ordinaire m_n peut s'obtenir à partir des moments d'ordre inférieur à n – 1 et du moment centré d'ordre n, en utilisant la formule qui exprime μ_n en fonction de m₀, m₁, ..., m_n. Les premiers moments d'une loi normale sont alors^[33] : ${\displaystyle m_{1}=\mathbb {E} [X]=\mu ,\quad m_{2}=\mathbb {E} [X^{2}]=\sigma ^{2}+\mu ^{2},\quad m_{3}=\mathbb {E} [X^{3}]=3\mu \sigma ^{2}+\mu ^{3},\quad m_{4}=\mathbb {E} [X^{4}]=3\sigma ^{4}+6\sigma ^{2}\mu ^{2}+\mu ^{4}}$.

Par la fonction génératrice des moments

Les moments centrés (μ_n, n ≥ 0) d'une loi peuvent s'obtenir à partir de la fonction génératrice des moments centrés. Le cas particulier μ = 0 de la fonction génératrice des moments (voir supra) donne : ${\displaystyle M_{\text{centré}}(t)={\rm {e}}^{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\left({\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)^{k}}$.

Comme par ailleurs on a (pour toute loi) ${\displaystyle M_{\text{centré}}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\mu _{n}t^{n}}$, on en déduit, par identification des coefficients des deux séries^[31], les moments centrés d'une loi normale (voir supra).

Quant aux moments ordinaires, leur fonction génératrice permet d'établir la relation de récurrence^{[b 3]} :

${\displaystyle m_{n+1}=\mu m_{n}+n\sigma ^{2}m_{n-1}\quad (n\geq 1)}$.

Densités de probabilités de lois de kurtosis différents. Loi de Laplace en rouge, loi sécante hyperbolique en orange, loi logistique en vert, loi normale en noir, loi du cosinus surélevé en cyan, loi du demi-cercle en bleu et loi uniforme en violet.

Théorèmes de convergence

Lorsque le nombre n de variables augmente, la densité de probabilité de la variable S_n (centrée réduite) se rapproche de la courbe en cloche d'une loi normale.

La première version du théorème central limite, appelé alors théorème de Moivre-Laplace, a été énoncée dans le cas de variables aléatoires de loi de Bernoulli. De manière plus générale, si X₁, X₂, ..., X_n sont des variables indépendantes et identiquement distribuées de variance finie et si la somme est notée S_n = X₁ + X₂ + ... + X_n, alors^[20] pour tout a < b ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\mathbb {P} \left(a\leq {\frac {S_{n}-\mathbb {E} [S_{n}]}{\sqrt {\operatorname {Var} (S_{n})}}}\leq b\right)=\int _{a}^{b}\varphi (x)\,\mathrm {d} x}$ où φ est la densité de probabilité de la loi normale centrée réduite.

Ce théorème signifie que tout ce qui peut être considéré comme étant la somme d'une grande quantité de petites valeurs aléatoires indépendantes et identiquement distribuées est approximativement de loi normale^[36]. Ceci montre le caractère central des lois normales en théorie des probabilités. Un énoncé physique de ce théorème peut être formulé^[37] : Si une grandeur physique subit l'influence additive d'un nombre important de facteurs indépendants et si l'influence de chaque facteur pris séparément est petite, alors la distribution de cette grandeur est une distribution gaussienne.

Ce théorème central limite est valide pour toute loi de probabilité initiale des variables iid X₁, X₂, ..., X_n ayant un écart type fini, il permet d'obtenir de bonne approximation de la somme S_n, par exemple^[38] :

• si les variables X_i sont de loi de Bernoulli ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p)}$, alors S_n suit approximativement une loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(np,np(1-p))}$. Cette approximation est satisfaisante^[39] dans le cas où np(1–p) > 10 ;
• si les variables X_i sont de loi du χ² : χ²(1), alors S_n suit approximativement une loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(n,4n^{2})}$ ;
• si les variables X_i sont de loi exponentielle : ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\lambda )}$, alors S_n suit approximativement une loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}\left({\frac {n}{\lambda }},{\frac {n}{\lambda ^{2}}}\right)}$.

Il existe des versions plus générales de ce théorème, par exemple en considérant des variables aléatoires indépendantes, pas de même loi mais ayant des variances petites comparées à celle de leur moyenne^[40]. Un théorème de Gnedenko et Kolmogorov (1954) stipule qu'une variable aléatoire normale est la somme d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes petites dont aucune n'est prépondérante :

Stabilités et famille normale

Stabilité par additivité (propriété de conservation)

Les lois normales sont stables par additivité^{[a 2]}, c'est-à-dire que la somme de deux variables aléatoires indépendantes de lois normales est elle-même une variable aléatoire de loi normale. Plus explicitement : si ${\displaystyle X_{1}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})}$, ${\displaystyle X_{2}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})}$ et X₁ et X₂ sont indépendantes, alors la variable aléatoire ${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$ suit la loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu _{1}+\mu _{2},\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}$.

Cette propriété se généralise pour n variables, c'est-à-dire si pour tout ${\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}}$, les variables aléatoires X_i suivent une loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu _{i},\sigma _{i}^{2})}$ et sont indépendantes, alors^[41] la somme X₁ + X₂ + ... + X_n suit une loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu _{1}+\mu _{2}+\dots +\mu _{n},\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\dots +\sigma _{n}^{2})}$.

Cette propriété se démontre directement au moyen des fonctions caractéristiques. La densité de probabilité de la somme de deux variables indépendantes de loi normale est donnée par la convolution des deux densités. Ceci se traduit par les formules de convolution de fonctions^[25] ou de convolution de mesures normales^[42] que l'on note ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mu _{1},\sigma _{1}^{2}}}$ : ${\displaystyle \varphi \left({\frac {x-\mu _{1}}{\sigma _{1}}}\right)\ast \varphi \left({\frac {x-\mu _{2}}{\sigma _{2}}}\right)=\varphi \left({\frac {x-(\mu _{1}+\mu _{2})}{\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}}\right)}$ et ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mu _{1},\sigma _{1}^{2}}\ast {\mathcal {N}}_{\mu _{2},\sigma _{2}^{2}}={\mathcal {N}}_{\mu _{1}+\mu _{2},\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}$.

Il ne faut pas confondre avec la loi dont la densité est la somme de densités de lois normales (voir la section Constructions à partir de la loi normale ci-dessous).

Différentes densités de probabilité de lois stables dont la loi normale est un cas particulier : la courbe noire est la courbe en cloche.

Convexité

Les lois normales ne sont pas convexe^[46], c'est-à-dire que l'inégalité ${\displaystyle \lambda \mathbb {P} (A)+(1-\lambda )\mathbb {P} (B)\leq \mathbb {P} (\lambda A+(1-\lambda )B)}$ pour tous boréliens A et B n'est pas vérifiée lorsque la mesure ${\displaystyle \mathbb {P} }$ est normale. Cependant, lorsque l'on normalise cette inégalité avec l'inverse de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, on obtient le théorème suivant, analogue à l'inégalité de Brunn-Minkowski-Lusternik pour la mesure de Lebesgue dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ :

Inégalité de Ehrhard — Pour la mesure normale standard ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{0,1}}$, pour tous ensembles boréliens A et B et pour tout λ ∈ ]0 ; 1[,

${\displaystyle \lambda \Phi ^{-1}\left({\mathcal {N}}_{0,1}(A)\right)+(1-\lambda )\Phi ^{-1}\left({\mathcal {N}}_{0,1}(B)\right)\leq \Phi ^{-1}\left({\mathcal {N}}_{0,1}(\lambda A+(1-\lambda )B)\right)}$.

En fait, les lois normales font partie de la famille des distributions de mesures log-concaves, c'est-à-dire vérifiant pour tous boréliens A et B et tout ${\displaystyle \lambda \in ]0,1[}$,

${\displaystyle \mathbb {P} (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq \mathbb {P} (A)^{\lambda }\mathbb {P} (B)^{1-\lambda }.}$

Entropie et quantité d'information

Approximation de la fonction de répartition

Il n'existe pas d'expression analytique pour la fonction de répartition Φ de la loi normale centrée réduite, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de formule simple entre la fonction de répartition et les fonctions classiques telles que les fonctions polynomiales, exponentielle, logarithmique, trigonométriques, etc. Cependant la fonction de répartition apparaît dans plusieurs résultats à vocation à être appliqués, il est donc important de mieux cerner cette fonction. Différentes écritures sous forme de séries ou de fractions continues généralisées sont possibles^[47].

Pour les valeurs de ${\displaystyle 0<x\ll 1}$, la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite s'écrit sous la forme^{[a 10]} : ${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!2^{n}(2n+1)}}x^{2n+1}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{40}}+\dots \right)}$, ou sous la forme : ${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}+\varphi (x)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\dots (2n+1)}}x^{2n+1}={\frac {1}{2}}+\varphi (x)\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{15}}+\dots \right)}$.

Pour ${\displaystyle 1\ll x}$, la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite s'écrit sous la forme^{[47],[a 10]} : ${\displaystyle \Phi (x)=1-{\frac {\varphi (x)}{x}}\left(1-{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {1\cdot 3}{x^{4}}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{x^{6}}}+\dots +{\frac {1\cdot 3\dots (2n-1)}{x^{2n}}}\right)+R_{n}}$ avec ${\displaystyle R_{n}=(-1)^{n+1}1\cdot 3\dots (2n+1)\int _{x}^{\infty }{\frac {\varphi (y)}{y^{2n+2}}}\,\mathrm {d} y}$.

De manière plus numérique et facilement calculable, les approximations suivantes donnent des valeurs de la fonction de répartition Φ de la loi normale centrée réduite avec :

• une erreur de l'ordre de^[48] 10⁻⁵ : pour x > 0, ${\displaystyle \Phi (x)=1-{\frac {{\rm {e}}^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\left({\frac {0{,}4361836}{1+0{,}33267\,x}}+{\frac {-0{,}1201676}{(1+0{,}33267\,x)^{2}}}+{\frac {0{,}9372980}{(1+0{,}33267\,x)^{3}}}\right)+\epsilon (x)}$ où ${\displaystyle |\epsilon (x)|<10^{-5}}$ ;
• une erreur de l'ordre de^[48] ${\displaystyle 2{,}5\,.\,10^{-4}}$ : pour ${\displaystyle x>0}$ : ${\displaystyle \Phi (x)\approx 1-{\frac {1}{2\left(1+0{,}196854\,x+0{,}115194\,x^{2}+0{,}000344\,x^{3}+0{,}019527\,x^{4}\right)^{4}}}}$ ;
• une erreur de l'ordre de^{[a 10]} ${\displaystyle 10^{-2}}$ : ${\displaystyle \Phi (x)={\begin{cases}0{,}1x(4{,}4-x)+0,5&{\text{ pour }}0\leq x\leq 2{,}2\\0{,}99&{\text{ pour }}2{,}2\leq x\leq 2{,}6\\1&{\text{ pour }}x\geq 2{,}6.\end{cases}}}$

Voici un exemple d'algorithme^{[a 4]} pour le langage C :

double Phi(double x){
   long double s=x,t=0,b=x,q=x*x,i=1;
   while(s!=t)
      s = (t=s) + (b*=q/(i+=2));
   return 0.5 + s*exp(-0.5*q - 0.91893853320467274178L);
}

Une autre écriture de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite utilise une fraction continue généralisée^{[a 4]} : ${\displaystyle \Phi (x{\sqrt {2}})={\frac {1}{2}}-{\cfrac {1}{\sqrt {\pi }}}{\cfrac {{\cfrac {1}{2}}{\rm {e}}^{-x^{2}}}{x+{\cfrac {1}{2x+{\cfrac {2}{x+{\cfrac {3}{2x+{\cfrac {4}{x+\dots }}}}}}}}}}}$.

Tables numériques et calculs

Fonction quantile d'une loi normale centrée réduite.

Comme mentionné dans la section précédente, il est utile de bien connaître la fonction de répartition Φ pour les applications numériques. Des tables de valeurs ont alors été calculées pour la fonction de répartition, mais également pour son inverse, ce qui permet d'obtenir les quantiles et les intervalles de confiance pour un seuil de tolérance fixé.

Table de valeurs de la fonction de répartition

La table suivante donne les valeurs de la fonction de répartition ${\displaystyle \Phi (x)=\mathbb {P} [X\leq x]}$, lorsque X suit la loi normale centrée réduite ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$.

Les valeurs en début de lignes donnent la première partie de la variable, les valeurs en début de colonnes donnent la deuxième partie. Ainsi la case de la deuxième ligne et troisième colonne donne : Φ(0,12) = 0,54776.

La courbe en cloche est la fonction de densité. La droite verticale est la valeur x. La surface de la partie colorée sous la courbe est la valeur de ${\displaystyle \mathbb {P} [X\leq x]=\Phi (x)}$.

La courbe en cloche est la fonction de densité. Les droites verticales sont les valeurs x₁ et x₂. La surface de la partie colorée sous la courbe est la valeur de ${\displaystyle \mathbb {P} [x_{1}\leq X\leq x_{2}]=\Phi (x_{2})-\Phi (x_{1})}$.

La courbe en cloche est la fonction de densité. La droite verticale est la valeur x. La surface de la partie colorée sous la courbe est la valeur de ${\displaystyle \mathbb {P} [X\geq x]=1-\Phi (x)}$.

Table de valeur de la fonction de répartition de la loi normale

${\displaystyle \Phi (x)}$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0	0,50000	0,50399	0,50798	0,51197	0,51595	0,51994	0,52392	0,52790	0,53188	0,53586
0,1	0,53983	0,54380	0,54776	0,55172	0,55567	0,55962	0,56356	0,56749	0,57142	0,57535
0,2	0,57926	0,58317	0,58706	0,59095	0,59483	0,59871	0,60257	0,60642	0,61026	0,61409
0,3	0,61791	0,62172	0,62552	0,62930	0,63307	0,63683	0,64058	0,64431	0,64803	0,65173
0,4	0,65542	0,65910	0,66276	0,66640	0,67003	0,67364	0,67724	0,68082	0,68439	0,68793
0,5	0,69146	0,69497	0,69847	0,70194	0,70540	0,70884	0,71226	0,71566	0,71904	0,72240
0,6	0,72575	0,72907	0,73237	0,73565	0,73891	0,74215	0,74537	0,74857	0,75175	0,75490
0,7	0,75804	0,76115	0,76424	0,76730	0,77035	0,77337	0,77637	0,77935	0,78230	0,78524
0,8	0,78814	0,79103	0,79389	0,79673	0,79955	0,80234	0,80511	0,80785	0,81057	0,81327
0,9	0,81594	0,81859	0,82121	0,82381	0,82639	0,82894	0,83147	0,83398	0,83646	0,83891
1,0	0,84134	0,84375	0,84614	0,84849	0,85083	0,85314	0,85543	0,85769	0,85993	0,86214
1,1	0,86433	0,86650	0,86864	0,87076	0,87286	0,87493	0,87698	0,87900	0,88100	0,88298
1,2	0,88493	0,88686	0,88877	0,89065	0,89251	0,89435	0,89617	0,89796	0,89973	0,90147
1,3	0,90320	0,90490	0,90658	0,90824	0,90988	0,91149	0,91309	0,91466	0,91621	0,91774
1,4	0,91924	0,92073	0,92220	0,92364	0,92507	0,92647	0,92785	0,92922	0,93056	0,93189
1,5	0,93319	0,93448	0,93574	0,93699	0,93822	0,93943	0,94062	0,94179	0,94295	0,94408
1,6	0,94520	0,94630	0,94738	0,94845	0,94950	0,95053	0,95154	0,95254	0,95352	0,95449
1,7	0,95543	0,95637	0,95728	0,95818	0,95907	0,95994	0,96080	0,96164	0,96246	0,96327
1,8	0,96407	0,96485	0,96562	0,96638	0,96712	0,96784	0,96856	0,96926	0,96995	0,97062
1,9	0,97128	0,97193	0,97257	0,97320	0,97381	0,97441	0,97500	0,97558	0,97615	0,97670
2,0	0,97725	0,97778	0,97831	0,97882	0,97932	0,97982	0,98030	0,98077	0,98124	0,98169
2,1	0,98214	0,98257	0,98300	0,98341	0,98382	0,98422	0,98461	0,98500	0,98537	0,98574
2,2	0,98610	0,98645	0,98679	0,98713	0,98745	0,98778	0,98809	0,98840	0,98870	0,98899
2,3	0,98928	0,98956	0,98983	0,99010	0,99036	0,99061	0,99086	0,99111	0,99134	0,99158
2,4	0,99180	0,99202	0,99224	0,99245	0,99266	0,99286	0,99305	0,99324	0,99343	0,99361
2,5	0,99379	0,99396	0,99413	0,99430	0,99446	0,99461	0,99477	0,99492	0,99506	0,99520
2,6	0,99534	0,99547	0,99560	0,99573	0,99585	0,99598	0,99609	0,99621	0,99632	0,99643
2,7	0,99653	0,99664	0,99674	0,99683	0,99693	0,99702	0,99711	0,99720	0,99728	0,99736
2,8	0,99744	0,99752	0,99760	0,99767	0,99774	0,99781	0,99788	0,99795	0,99801	0,99807
2,9	0,99813	0,99819	0,99825	0,99831	0,99836	0,99841	0,99846	0,99851	0,99856	0,99861
3,0	0,99865	0,99869	0,99874	0,99878	0,99882	0,99886	0,99889	0,99893	0,99896	0,99900
3,1	0,99903	0,99906	0,99910	0,99913	0,99916	0,99918	0,99921	0,99924	0,99926	0,99929
3,2	0,99931	0,99934	0,99936	0,99938	0,99940	0,99942	0,99944	0,99946	0,99948	0,99950
3,3	0,99952	0,99953	0,99955	0,99957	0,99958	0,99960	0,99961	0,99962	0,99964	0,99965
3,4	0,99966	0,99968	0,99969	0,99970	0,99971	0,99972	0,99973	0,99974	0,99975	0,99976
3,5	0,99977	0,99978	0,99978	0,99979	0,99980	0,99981	0,99981	0,99982	0,99983	0,99983
3,6	0,99984	0,99985	0,99985	0,99986	0,99986	0,99987	0,99987	0,99988	0,99988	0,99989
3,7	0,99989	0,99990	0,99990	0,99990	0,99991	0,99992	0,99992	0,99992	0,99992	0,99992
3,8	0,99993	0,99993	0,99993	0,99994	0,99994	0,99994	0,99994	0,99995	0,99995	0,99995
3,9	0,99995	0,99995	0,99996	0,99996	0,99996	0,99996	0,99996	0,99996	0,99997	0,99997

Tables de valeurs des quantiles

Les deux tables suivantes donnent^[49] les valeurs du quantile ${\displaystyle q_{p}}$ de la loi normale centrée réduite ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ défini par ${\displaystyle q_{p}=\Phi ^{-1}(p)}$.

Les valeurs en début de ligne donne la première partie de la variable, les valeurs en début de colonne donne la deuxième partie. Ainsi la case de la deuxième ligne et troisième colonne donne : ${\displaystyle q_{0{,}62}=\Phi ^{-1}(0{,}62)=0{,}3055}$.

Table de valeurs des quantiles ${\displaystyle q_{p}}$

${\displaystyle q_{p}}$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,50	0,0000	0,0251	0,0502	0,0753	0,1004	0,1257	0,1510	0,1764	0,2019	0,2275
0,60	0,2533	0,2793	0,3055	0,3319	0,3585	0,3853	0,4125	0,4399	0,4677	0,4959
0,70	0,5244	0,5534	0,5828	0,6128	0,6433	0,6745	0,7063	0,7388	0,7722	0,8064
0,80	0,8416	0,8779	0,9154	0,9542	0,9945	1,036	1,080	1,126	1,175	1,227
0,90	1,282	1,341	1,405	1,476	1,555	1,645	1,751	1,881	2,054	2,326

Cette table donne les valeurs des quantiles pour p grand.

Table de valeur des quantiles ${\displaystyle q_{p}}$

p	0,975	0,995	0,999	0,9995	0,9999	0,99995	0,99999	0,999995
${\displaystyle q_{p}}$	1,9600	2,5758	3,0902	3,2905	3,7190	3,8906	4,2649	4,4172

Les tables sont données pour les valeurs positives de la loi normale centrée réduite. Grâce aux formules de la fonction de répartition, il est possible d'obtenir d'autres valeurs.

Les valeurs négatives de la fonction de répartition sont données par la formule^[14] Φ(–x) = 1 – Φ(x). Par exemple : ${\displaystyle \Phi (-1{,}07)=\mathbb {P} [X\leq -1{,}07]\approx 1-0{,}85769=0{,}14231}$ pour ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$.

Les valeurs de la fonction de répartition de la loi générale s'obtiennent par la formule^[50] ${\displaystyle F(y)=\Phi ({\frac {y-\mu }{\sigma }})}$. Par exemple^[51] : ${\displaystyle F(12{,}14)=\mathbb {P} [Y\leq 12{,}14]=\mathbb {P} \left[{\frac {Y-10}{2}}\leq {\frac {12{,}14-10}{2}}\right]=\mathbb {P} [X\leq 1{,}07]=\Phi (1{,}07)\approx 0{,}85769}$, pour ${\displaystyle Y\sim {\mathcal {N}}(10{,}2^{2})}$.

La table de valeurs permet également d'obtenir la probabilité qu'une variable aléatoire de loi normale ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ appartienne à un intervalle donné [a , b] par la formule : ${\displaystyle \mathbb {P} \left[X\in [a,b]\right]=\mathbb {P} [X\leq b]-\mathbb {P} [X<a]=\Phi (b)-\Phi (a)}$. Par exemple :

• ${\displaystyle \mathbb {P} [X\geq 1{,}07]=1-\mathbb {P} [X<1{,}07]=1-\mathbb {P} [X\leq 1{,}07]\approx 0{,}14231}$ pour ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ ;
• ${\displaystyle \mathbb {P} [0\leq X\leq 1{,}07]=\Phi (1{,}07)-\Phi (0)=\Phi (1{,}07)-0{,}5\approx 0{,}85769-0{,}5=0{,}35769}$ pour ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$.

Plages de normalité, intervalles de confiance

Un des intérêts de calculer des probabilités sur des intervalles est l'utilisation des intervalles de confiance pour les tests statistiques. Une loi normale est définie par deux valeurs : sa moyenne μ et son écart type σ. Ainsi il est utile de s'intéresser aux intervalles^[52] du type [μ – rσ, μ + rσ]. ${\displaystyle \mathbb {P} [\mu -r\sigma \leq Y\leq \mu +r\sigma ]=\Phi (r)-(1-\Phi (r))=2\Phi (r)-1}$ pour ${\displaystyle Y\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$.

Table de valeurs des intervalles de confiance

La courbe en cloche est la densité de probabilité. Les surfaces des zones colorées sous la courbe correspondent aux probabilités des intervalles [μ – rσ, μ + rσ].

La table suivante s'obtient grâce aux tables précédentes^[52] et donne les probabilités : ${\displaystyle \mathbb {P} _{r}=\mathbb {P} [\mu -r\sigma \leq Y\leq \mu +r\sigma ]=2\Phi (r)-1{\text{ pour }}Y\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$.

Table de valeurs des intervalles de confiance

r	0,0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5
${\displaystyle \mathbb {P} _{r}}$	0,00	0,3829	0,6827	0,8664	0,9545	0,9876	0,9973	0,9995

Représentation d'une boîte à moustaches et le lien avec les quantiles d'une loi normale.

Cette table de valeurs des intervalles de confiance permet d'obtenir les plages de normalité pour un niveau de confiance donné. Pour ${\displaystyle Y\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$, le tableau donne^[9] :

• ${\displaystyle \mathbb {P} (\mu -\sigma \leq Y\leq \mu +\sigma )\approx 0{,}6827}$.L'intervalle [μ – σ, μ + σ] est la plage de normalité au niveau de confiance 68 % ;
• ${\displaystyle \mathbb {P} (\mu -0{,}5H\leq Y\leq \mu +0{,}5H)\approx 0{,}76}$.L'intervalle [μ – 0,5H, μ + 0,5H], H étant la largeur à mi-hauteur, est la plage de normalité au niveau de confiance 76 % ;
• ${\displaystyle \mathbb {P} (\mu -2\sigma \leq Y\leq \mu +2\sigma )\approx 0{,}9545}$

L'intervalle [μ – 2σ, μ + 2σ] est la plage de normalité au niveau de confiance 95.4 % ;

• ${\displaystyle \mathbb {P} (\mu -1.96\sigma \leq Y\leq \mu +1.96\sigma )\approx 0{,}95}$

L'intervalle [μ – 1.96σ, μ + 1.96σ] est la plage de normalité au niveau de confiance 95 % (voir 97,5ème centile)

• ${\displaystyle \mathbb {P} (\mu -3\sigma \leq Y\leq \mu +3\sigma )\approx 0{,}9973}$L'intervalle [μ – 3σ, μ + 3σ] est la plage de normalité au niveau de confiance 99 %.

Inversement, lorsque la valeur de la probabilité α ∈ [0 ; 1] est fixée, il existe^{[a 5]} une unique valeur ${\displaystyle r>0}$ telle que : ${\displaystyle \mathbb {P} (\mu -r\sigma \leq Y\leq \mu +r\sigma )=2\Phi (r)-1=\alpha }$. L'intervalle [μ – rσ, μ + rσ] est appelé plage de normalité ou intervalle de confiance au niveau de confiance α. Pour une loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ et le seuil α donnés, la méthode pour retrouver cette valeur r consiste^[53] à utiliser le tableau de valeur des quantiles (ci-dessus) pour trouver la valeur r telle que Φ(r) = α + 1/2 ; l'intervalle de confiance est alors [μ – rσ, μ + rσ].

Par exemple, la plage de normalité au niveau de confiance 95 % d'une loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(10{,}2^{2})}$ est l'intervalle [10 – 2r, 10 + 2r] où r vérifie Φ(r) = 0,95 + 1/2 = 0,975, soit r = q_0,975 ≈ 1,96, l'intervalle est donc : [6,08 ; 13,92] aux arrondis près.