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Un graphique de l'attracteur étrange de Lorenz pour les valeurs ρ = 28, σ = 10, β = 8/3


« Effet papillon » est une expression qui résume une métaphore concernant le phénomène fondamental de sensibilité aux conditions initiales de la théorie du chaos. La formulation exacte qui en est à l'origine fut exprimée par Edward Lorenz lors d'une conférence scientifique en 1972, dont le titre était :

« Le battement d'ailes d'un papillon au Brésil peut-il provoquer une tornade au Texas ? »

Historique

La contribution de Lorenz

La conférence liminaire

Le battement d'ailes du papillon.

En 1972, le météorologue Edward Lorenz fait une conférence à l'American Association for the Advancement of Science intitulée[1] : « Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set off a Tornado in Texas? », qui se traduit en français par :

« Prédictibilité : le battement d'ailes d'un papillon au Brésil peut-il provoquer une tornade au Texas ? »

Lorenz explique[2] :

« De crainte que le seul fait de demander, suivant le titre de cet article, « Un battement d'ailes de papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas ? », fasse douter de mon sérieux, sans même parler d'une réponse affirmative, je mettrai cette question en perspective en avançant les deux propositions suivantes :

  • Si un seul battement d'ailes d'un papillon peut avoir pour effet le déclenchement d'une tornade, alors, il en va ainsi également de tous les battements précédents et subséquents de ses ailes, comme de ceux de millions d'autres papillons, pour ne pas mentionner les activités d'innombrables créatures plus puissantes, en particulier de notre propre espèce ;
  • Si le battement d'ailes d'un papillon peut déclencher une tornade, il peut aussi l'empêcher. Si le battement d'ailes d'un papillon influe sur la formation d'une tornade, il ne va pas de soi que son battement d'ailes soit l'origine même de cette tornade et donc qu'il ait un quelconque pouvoir sur la création ou non de cette dernière. »

Les travaux de Lorenz

Une trajectoire dans l'espace des phases de l'attracteur de Lorenz

Edward Lorenz travaillait sur des problèmes de prédictibilité, à savoir, des prévisions météorologiques grâce à des systèmes informatiques. D’après les lois déterministes — également dites prévisionnistes — créées par Galilée et développées par Isaac Newton selon lequel les conditions initiales permettraient de déterminer l’état futur d’un système grâce à la mise en place d’une nouvelle technique mathématique, le calcul différentiel alors en vigueur, toute action X aurait des conséquences Y prévisibles grâce à des formules mathématiques, pourvu que les fonctions lipschitziennes en cause fussent continûment dérivables (il n’était pas question par exemple de prévoir le mouvement d’un chat par ce moyen). Lorenz a incorporé, en 1963, le fait que des variations infimes entre deux situations initiales pouvaient conduire à des situations finales sans rapport entre elles.

Il affirma ainsi qu’il n’était pas envisageable de prévoir correctement les conditions météorologiques à très long terme (par exemple un an), parce qu’une incertitude de 1 sur 106 lors de la saisie des données de la situation initiale pouvait conduire à une prévision totalement erronée. Or :

  • d’une part, ces incertitudes sont inévitables,
  • et d’autre part, l’homme ne peut pas prendre en compte tous les éléments qui constituent son environnement, surtout lorsqu’il s’agit de variations infimes.

Les utilisateurs des prédictions météo à 5 jours sur Internet peuvent aujourd'hui se rendre compte de la volatilité des prédictions à mesure de l'écoulement des jours.

Précurseurs

Laplace

Le mathématicien Pierre-Simon de Laplace exprimait le déterminisme en affirmant qu'un génie connaissant exactement la position et le mouvement de tous les objets, même infinitésimaux, de l'univers, aurait accès à la connaissance du passé comme du futur de l'univers. Il notait que cette certitude nous était inaccessible et que seul un résultat stochastique pouvait être proposé[3]. Cette position n'est pas contredite par la théorie du chaos. Ce qu'affirme la théorie du chaos, c'est qu'une déviation très faible sur un paramètre peut avoir une influence importante sur la situation résultante à une date ultérieure.

Poincaré

Un exemple exposé par Poincaré pour illustrer la notion de chaos.

Henri Poincaré travailla plus tard sur des phénomènes chaotiques, en particulier en réfléchissant à la stabilité du système solaire et au problème des trois corps[4]. Ses travaux n’eurent pas d’applications immédiates, faute de calculateurs électroniques avec lesquels effectuer plusieurs millions ou milliards d’itérations.

Conséquences de la théorie du chaos

Le concept

Le double pendule (simulation Algodoo©) illustre un phénomène physique de sensibilité aux conditions initiales

Dans l’exemple de Lorenz, un météorologue ne penserait pas forcément à prendre en compte les variations du courant d’air provoquées par le battement d’ailes d’un papillon. Son idée de « non infaillibilité du système prévisionnel », théorisé sous la forme de « l’effet papillon », rappelle qu’il existe au moins une différence entre le déterminé et le déterminable.

Des travaux récents ont montré que la modélisation de l'atmosphère n'est pas affecté par l'effet papillon, car un effet minime est « noyé » et oublié sans incidence perceptible pour la totalité[5].

Il n'en est pas moins vrai que de petits facteurs peuvent avoir d'immenses effets. Blaise Pascal l'avait mentionné à propos du nez de Cléopâtre. Le naturaliste Stephen Jay Gould mentionne de même que le processus darwinien n'est que statistique et que si l'on ramenait la planète Terre 65 millions d'années en arrière, à l'identique, faune comme flore suivraient des chemins sans doute aussi différents que ceux du continent africain et de l'île de Madagascar.

En revanche, l'effet papillon n'est pas une fatalité et les travaux de Jacques Laskar montrent que l'orbite de la Terre ne serait pas restée stable pendant plus d'un milliard d'années sans la petite influence gravitationnelle de la Lune, qui aurait stabilisé son orbite et donc assuré qu'elle reste dans la zone « habitable », et empêchant ainsi l'orbite de divaguer en fonction de variations minimes des conditions ab initio.

Résultats de la théorie du chaos

Avec Lorenz, les limites pratiques du modèle de Newton sont mieux perçues, et un nouveau concept de « déterminisme relatif » émerge. Le terme de « théorie du chaos » réapparaît et c’est au début des années 1970 que le monde connaît un engouement pour ce paradigme. On découvre alors deux résultats étonnants :

  • Le chaos possède une sorte de signature (voir Nombres de Feigenbaum) ;
  • Il peut conduire lui-même à des phénomènes stables. On parle alors d’émergence. On ne pourra en connaître le détail de réalisation, mais les états finaux peuvent être connus sans qu’on sache par quel chemin on y arrivera : c’est une généralisation de la notion d’attracteur déjà posée par Poincaré.

L'Institut de Santa Fe a été créé en 1984 pour tenter d’étudier les conditions par lesquelles, parfois, c’est l’ordre qui émerge du chaos.

Extrapolations à partir de l'effet papillon

L’effet papillon est utilisé comme métaphore de la vie quotidienne ou de l'histoire. Toutefois il faut se méfier du rapprochement entre ces problématiques. En effet, une des Pensées de Blaise Pascal est souvent résumée par la phrase « Le nez de Cléopâtre, s’il eût été plus court, toute la face de la terre aurait changé[6]. »

Le livre Impostures intellectuelles indique l'erreur qu'il y a à rapprocher ces réflexions de l'effet papillon. Dans le cas de l'effet papillon, la variation forte est due à une modification très faible en valeur relative d'une variable mathématique. Dans le cas de l'Histoire, l'imprévisibilité est due au fait qu'on ne sait pas du tout la mettre en équations. Il n'est donc même pas possible d'affirmer que les différences donnant intuitivement l'impression d'être insignifiantes (clou d'un fer à cheval) donnent lieu à une faible variation d'un argument numérique. Il n'est pas possible de savoir, tant que l'Histoire n'aura pas été mise en équations (ce qui n'est pas forcément possible), si le système d'équations est effectivement chaotique[7]. En tout cas, à ce point de nos connaissances, la théorie du chaos n'apporte pas plus d'informations supplémentaires sur ces phénomènes que celles qui se trouvaient déjà dans les proverbes.

Aspects culturels

Films

Plusieurs films utilisent l'effet papillon comme point important de l'intrigue, comme titre, ou les deux. On notera cependant la confusion entre la sensibilité aux conditions initiales (ce que Lorenz a décrit) et le fait qu'une cause infime peut avoir de grands effets (ce qui est un énoncé erroné et dénaturé de l'effet papillon).

Films autour de l'effet papillon

Séries

Séries autour de l'effet papillon
  • 2003 - 2005 : Le Monde de Joan, série américaine créée par Barbara Hall qui met en scène Joan, une jeune fille qui voit Dieu et lui parle. Il lui demande d'effectuer des tâches diverses, pouvant paraître insignifiantes ou absurdes, mais qui se révèlent être, la plupart du temps, positives par effet papillon.
  • 2006 : Valérian et Laureline, anime de science-fiction franco-japonaise librement inspirée de la série de bande dessinée française Valérian et Laureline.
  • 2008 : Heroes, série américaine créée par Tim Kring : l'épisode 3-02 s'intitule The Butterfly effect.
  • 2008 : Dexter, série américaine créée par James Manos Jr. : dans la saison 3, l'épisode 8 s'intitule L'effet papillon. L'épisode évoque entre autres l'effet papillon, mais ce titre est seulement choisi pour la version française ; le titre original de l'épisode s'intitule The damage a man can do.
  • 2008 : Insect, série indienne créée par Vikash Mathur ; l'épisode 3 s'appelle ബട്ടർഫ്ലൈ ഇഫക്ട്.
  • 2008 : Breaking Bad, série américaine créée par Vince Gilligan ; l'épisode 13 de la saison 2 se nomme Effet papillon.
  • 2010 : Fringe (Saison 3, épisode 3) : une affaire porte sur le cas d'un homme qui utilise ses dons mathématiques pour commettre des meurtres par effet papillon.
  • 2023 : Vortex : mini-série franco-belge écrite par Franck Thilliez et réalisée par Slimane-Baptiste Berhoun : L'effet papillon est abordé par le personnage principal Ludovic pour parler des changements que ses actions génèrent dans le passé puis par la suite dans son présent.

Bandes dessinées

Bandes dessinées autour de l'effet papillon
  • La Métaphore du papillon, collection « Grand Angle », Bamboo Édition (2004), polar-suspens en 3 tomes
  • La théorie du chaos, Schelle Pierre, collection "Encrages", Éditions Delcourt (2001), essai en 1 tome

Musiques

Musique autour de l'effet papillon
  • La chanson de Mass Hysteria : L'effet Papillon
  • Chanson de Bénabar, "L'Effet papillon" (2008) : "(...) quand le financier s'enrhume ce sont les ouvriers qui toussent (...) c'est très loin la couche d'ozone mais c'est d'ici qu'on la perce (...)". Cependant la chanson est peut-être mal nommée car la plupart des exemples illustrent plutôt l'effet "Action/Réaction".
  • Les deux chansons de The Verve, Buttefly sur A Storm In Heaven (en français : une tempête au paradis) et Catching The Butterfly sur Urban Hymns traitent de l'effet papillon.
  • Youssoupha - L'effet Papillon extrait de l'album Sur les chemins du retour (2009)
  • Steins Gate OST: Butterfly Effect
  • Travis Scott, "Butterfly Effect" sur l'album "Astroworld" en 2018.

Jeux vidéo

Jeux vidéo autour de l'effet papillon

Ne proposer que des jeux qui parlent explicitement de l'effet papillon ou dans lesquels c'est un mécanisme notable. Ne pas mettre des jeux video "à choix", car dans tous les jeux de ce genre, les petits choix provoquent de grands effets.

  • Dans le jeu Until Dawn où les choix du joueur influencent directement l'histoire, l'effet papillon est mentionné dans les temps de chargements et est au cœur du jeu.
  • Dans le jeu a choix Life is Strange, l'histoire commence avec un papillon bleu et se termine (selon les choix du joueur) par une tornade.

Émissions de télévision

Émissions de télévision autour de l'effet papillon
  • L'Effet papillon (émission de télévision) est un magazine de l'actualité internationale proposant chaque semaine une enquête grand format (35 à 55 minutes), de l'actualité très anglée et des portraits diffusé sur CANAL+.

Notes et références

  1. ↑ Le titre n'est en fait pas de Lorenz, mais d'un autre météorologue, Philip Merilees, organisateur de la conférence ; Lorenz l'a découvert trop tard pour pouvoir en changer. Cf. Nicolas Witkowski, « La chasse à l'effet papillon », Alliage, no 22, 1995, p. 46-53 et l'intervention d'Étienne Ghys à l'émission La Tête au Carré du 7 janvier 2019.
  2. ↑ Edward N. Lorenz, « Un battement d'ailes de papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas ? », Alliage 22 (1993), 42-45. Traduction française du texte de la conférence de 1972, publié (en anglais) dans : The essence of chaos, The Jessie and John Danz Lecture Series, University of Washington Press (1993). Ce livre contient une série de conférences de vulgarisation données à l'université de Washington (Seattle) en 1990.
  3. ↑ Pierre-Simon Laplace, Essai philosophiques sur les probabilités, Courcier, (lire en ligne), p. 2. : Laplace, Essai philosophique sur les probabilités : « Une intelligence qui, pour un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui la composent, si d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l'analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l'Univers à ceux du plus léger atome. Rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir, comme le passé, serait présent à ses yeux. Mais l'ignorance des différentes causes à l'origine des événements et leurs complexités nous empêchent d'atteindre la même certitude dans la plupart des phénomènes. Ainsi il y a des choses qui sont incertaines pour nous, des choses qui sont plus ou moins probables, et nous cherchons à compenser notre impossibilité de les connaître en déterminant leurs différents degrés de vraisemblance. C'est ainsi que nous devons à la faiblesse de l'esprit humain l'une des plus délicates et des plus ingénieuses théories mathématiques, les probabilités. »
  4. ↑ Poincaré, Science et Méthode : « Une cause très petite, et qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la Nature et la situation de l'Univers à l'instant initial, nous pourrions prédire la situation de ce même Univers à l'instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n'auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrions connaître la situation initiale qu'approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même approximation, c'est tout ce qu'il nous faut, nous disons que le phénomène a été prévu, qu'il est régi par des lois ; mais il n'en est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit. »
  5. ↑ Dossier Pour la Science, « La modélisation informatique, exploration du réel », no 52, juillet/septembre 2006.
  6. ↑ En ligne sur Wikiquote.
  7. ↑ Voir d'ailleurs l'article Cliodynamique

Annexes

Bibliographie

Ouvrages

  • Marie-Noëlle Charles, Ces petits hasards qui bouleversent la science, Papillon Rouge Éditeur, 2012
  • Edward N. Lorenz, « Un battement d'ailes de papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas ? », Alliage, no 22, 1995, p. 42-45. Traduction française du texte de la conférence de 1972, publié dans : (en) The Essence of Chaos, The Jessie and John Danz Lecture Series, University of Washington Press, 1993. Ce livre contient une série de conférences de vulgarisation données à l'université de Washington (Seattle) en 1990.

Articles

  • Nicolas Witkowski, « La chasse à l'effet papillon », Alliage, no 22, 1995, p. 46-53. Texte en ligne.
  • Peter Dizikes, « L'effet papillon fait sa mue », Courrier international, no 936,‎ , p. 54, traduction d'un article du Boston Globe.
  • Étienne Ghys, « L'effet papillon », Images des Mathématiques,‎ (lire en ligne)
  • Étienne Ghys et Jos Leys, « Lorenz and Modular Flows: A Visual Introduction », Feature Column, montlhy essays ion mathematical topics,‎ (lire en ligne).

Vidéo

Articles connexes