La fonction logistique

Bifurcations de la fonction logistique.

La fonction logistique est une application du segment [0, 1] dans lui-même qui sert de récurrence à la suite :

${\displaystyle x_{n+1}\ =\ r\,x_{n}\ (1-x_{n})}$

où n = 0, 1, … dénote le temps discret, ${\displaystyle x}$ l'unique variable dynamique, et r un paramètre réel compris entre 0 et 4^[1].

La dynamique de cette application présente un comportement très différent selon la valeur du paramètre r :

• Pour ${\displaystyle 0\leq r<3}$, le système possède un point fixe attractif, qui devient instable lorsque ${\displaystyle r=3}$.
• Pour ${\displaystyle 3\leq r<3,57\ldots }$, l'application possède un attracteur qui est une orbite périodique, de période ${\displaystyle 2^{n}}$ où n est un entier qui tend vers l'infini lorsque r tend vers 3,57…
• Lorsque ${\displaystyle r=3,57\ldots }$, l'application possède un attracteur de Feigenbaum fractal (mais non étrange) découvert par Robert May en 1976^[2].
• Le cas ${\displaystyle r=4}$ avait été étudié dès 1947 par Stanislas Ulam et John von Neumann^[3]. On peut dans ce cas précis établir l'expression exacte de la mesure invariante ergodique^[4].

On obtient donc une succession de bifurcations de la régularité vers le chaos lorsque le paramètre augmente, résumée sur la figure ci-jointe.

L'application « chat » d'Arnold (1968)

Le nom d'application « chat » provient d'un jeu de mots anglais intraduisible en français : en effet, « chat » se dit « cat » en anglais, et Vladimir Arnold utilisait ce mot comme acronyme de : « Continuous Automorphisms of the Torus, littéralement : « automorphismes continus du tore ».

L'application « chat »^[5] est une application du carré [0, 1] × [0, 1] dans lui-même définie par :

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{n+1}&=&x_{n}\,+\,y_{n}\quad (\mathrm {mod} \ 1)\\y_{n+1}&=&x_{n}\,+\,2\,y_{n}\quad (\mathrm {mod} \ 1)\end{matrix}}}$

où (mod 1) signifie : à un entier près. Cette condition entraine que le carré [0, 1] × [0, 1] voit ses bords recollés deux à deux pour former le « tore » du titre. Il s'agit d'un système dynamique conservatif, qui préserve la mesure de Lebesgue dx dy.

Cette application a des propriétés intéressantes qui permettent d'illustrer des concepts fondamentaux de la théorie des systèmes dynamiques^[6].

L'application de Hénon (1976)

L'application de Michel Hénon^[7],[8] est une bijection du carré [0, 1] × [0, 1] dans lui-même définie par :

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{n+1}&=&y_{n}\,+\,1\,-\,a\,x_{n}^{2}\\y_{n+1}&=&b\,x_{n}\end{matrix}}}$

où a et b sont deux paramètres, dont des valeurs typiques sont ${\displaystyle a=1,4}$ et ${\displaystyle b=0,3}$. Avec ces valeurs, la dynamique présente un attracteur étrange de nature fractale, de type Cantor^[9].

Hénon a obtenu ses équations en cherchant une version simplifiée du système dynamique de Lorenz à temps continu introduit en 1963 (voir infra). Le système dynamique de Hénon n'est pas conservatif, car le jacobien de la transformation est constant^[10] et vaut ${\displaystyle -b}$, qui est différent de l'unité dans les cas intéressants.

L'application de Hénon est aussi étudiée et généralisée en tant que système dynamique complexe (dans ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$).

Autres exemples

• L'application de décalage sur les suites binaires définie comme suit. L'espace dynamique est l'ensemble des suites de ${\displaystyle 0}$ et de ${\displaystyle 1}$ et l'application à itérer est l'application ${\displaystyle \sigma }$, dite de décalage (traduction du terme anglophone shift, parfois utilisé en français) qui décale la suite d'un cran vers la gauche : si ${\displaystyle x=(x_{0},x_{1},x_{2},...)}$ est une suite de ${\displaystyle 0}$ et de ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle \sigma (x)}$ est la suite ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},...)}$. Ce modèle de système dynamique se généralise et son importance se trouve dans le fait qu'il résulte généralement du codage d'un système dynamique par une partition de Markov (en).
• La dynamique holomorphe sur le plan complexe ${\displaystyle \mathbb {C} }$. C'est dans ce cadre que l'on définit l'ensemble de Mandelbrot et les ensembles de Julia.
• La percolation.

Déterminisme d'un système conservatif

Nous conviendrons de dire qu'un système physique conservatif est déterministe si et seulement si la dynamique du système associe à chaque condition initiale ${\displaystyle x_{0}}$ un et un seul état final ${\displaystyle x(t)}$. Il faut pour cela qu'il existe une application bijective ${\displaystyle \phi _{t}:\Gamma \to \Gamma }$ de l'espace des phases sur lui-même telle que :

${\displaystyle x(t)\ =\ \phi _{t}(x_{0})}$

Lorsque le temps ${\displaystyle t}$ varie, cette bijection engendre un flot sur ${\displaystyle \Gamma }$, c’est-à-dire un groupe continu à un paramètre ${\displaystyle \phi _{t}}$ tel que :

${\displaystyle \phi _{0}\ =\ \mathrm {Id} }$

${\displaystyle \forall (t,s)\in \mathbb {R} ^{2}\,\quad \phi _{t}\ \circ \phi _{s}\ =\ \phi _{t+s}}$.

Cette description correspond par exemple au flot hamiltonien de la mécanique classique, ainsi qu'au flot géodésique.

Cas d'un système non conservatif

Lorsque le système physique considéré est non conservatif, l'application ${\displaystyle \phi _{t}}$ n'est pas bijective^[12], et il existe en général un (ou plusieurs) attracteur dans l'espace des phases du système, c’est-à-dire un sous-ensemble de l'espace des phases invariant sous ${\displaystyle \phi _{t}}$ vers lequel converge le point représentatif ${\displaystyle x(t)}$ du système lorsque le temps ${\displaystyle t}$ tend vers l'infini, et ce pour presque toute condition initiale ${\displaystyle x_{0}}$.

L'oscillateur de Van der Pol (1928)

Oscillateur de Van der Pol.

L'oscillateur de van der Pol libre (c.-à-d. sans excitation extérieure) est un système à un degré de liberté, décrit par la coordonnée x(t), qui possède deux paramètres :

• une pulsation ${\displaystyle \omega _{0}}$ ;
• un coefficient de non-linéarité ${\displaystyle \epsilon }$.

Son équation différentielle s'écrit^[13] :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}\ -\ \epsilon \,\omega _{0}\ \left(1-x^{2}(t)\right)\;{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}\ +\ \omega _{0}^{2}\ x(t)\ =\ 0}$

Ce système dissipatif possède une dynamique régulière lorsqu'il est libre, caractérisée par un attracteur en forme de cycle limite représenté sur la figure ci-contre (où on a posé ${\displaystyle \omega _{0}=1}$) :

Le système de Lorenz (1963)

Attracteur étrange de Lorenz.

En 1963, Edward Lorenz a proposé un système différentiel possédant trois degrés de liberté^[14], notés ${\displaystyle x(t)}$, ${\displaystyle y(t)}$ et ${\displaystyle z(t)}$, qui s'écrit :

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=\sigma \left[y(t)-x(t)\right]\\\\{\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=\rho \,x(t)-y(t)-x(t)\,z(t)\\\\{\dfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}=x(t)\,y(t)-b\,z(t)\end{cases}}}$

Dans ces équations, ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \rho }$ et ${\displaystyle b}$ sont trois paramètres réels positifs. Pour les valeurs suivantes : ${\displaystyle \sigma =10}$, ${\displaystyle \rho =28}$ et ${\displaystyle b=8/3}$, ce système dynamique différentiel présente un attracteur étrange, représenté sur la figure ci-contre.

Ouvrages d'initiation

• Aurélien Alvarez, Destination systèmes dynamiques avec Poincaré, Le Pommier, 2013
• John H. Hubbard et Beverly H. West, Équations différentielles et systèmes dynamiques, Cassini, 1999 (ISBN 284225015X)
• Grégoire Nicolis et Ilya Prigogine, À la rencontre du complexe, Collection Philosophie d'aujourd'hui, PUF, 1992 (ISBN 2-13-043606-4)
• (en) Boris Hasselblatt (de) et Anatole Katok (de), A first course in dynamics : with a panorama of recent developments, Cambridge, Cambridge University Press, 2003, 424 p. (ISBN 0-521-58750-6)
• (en) Diederich Hinrichsen (en) et Anthony J. Pritchard, Mathematical Systems Theory. Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness, New York, Springer, 2005 (ISBN 978-3-540-44125-0)
• (en) Boris Hasselblatt et Anatole Katok, Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems : With a supplement by Anatole Katok and Leonardo Mendoza, Cambridge University Press, coll. « Encyclopedia of Mathematics and Its Applications » (n^o 54), 1997 (ISBN 0-521-57557-5)
• David Ruelle, Hasard et chaos, Odile Jacob, Paris, 1991.
• James Gleick (trad. Christian Jeanmougin), La Théorie du Chaos [« Chaos: Making a New Science »], Flammarion, coll. « Champs », Paris, 1988 (réimpr. 1999), 431 p. (ISBN 2-08081-219-X)

Ouvrages plus techniques

• (en) Stephen Smale, The Mathematics of Time - Essays on Dynamical Systems, Economic Processes & Related Topics, Springer-Verlag, 1980 (ISBN 978-0-387-90519-8)
• (en) Boris Hasselblatt et Anatole Katok (eds.), Handbook of Dynamical Systems, Elsevier. Vol. 1A, 2002 (ISBN 978-0-444-82669-5) ; Vol. 1B, 2005 (ISBN 978-0-444-52055-5)
• (en) Bernold Fiedler (ed.), Handbook of Dynamical Systems. Vol. 2: Applications, Elsevier, 2002 (ISBN 978-0-444-50168-4) ; Vol. 3: Geometric Methods of Differentiable Dynamics, Elsevier, 2010 (ISBN 978-0-444-53141-4)
• (en) Leonid Bunimovich, Roland Lwowitsch Dobruschin, Iakov Sinaï, Anatoly Vershik et al., Dynamical Systems, Ergodic Theory and Applications, Series: Encyclopaedia of Mathematical Sciences 100, Volume package: Mathematical Physics, Springer-Verlag, 2^e édition, 2000 (ISBN 978-3-540-66316-4)
• (en) Vladimir Damgov, Nonlinear and Parametric Phenomena. Applications to Radiometric and Mechanical Systems, World Scientific, Series on Nonlinear Sciences, 2004

Bibliothèque virtuelle

• Paul Manneville, Systèmes dynamiques et chaos, 1998, 233 p. Cours donné par l'auteur (LadHyX, École Polytechnique) aux DEA de Physique des Liquides et de Mécanique [lire en ligne]
• (en) David Ruelle, Ergodic theory of differentiable dynamical systems, Publ. Math. IHES 50 (1979), 27-58 [(en) texte intégral][PDF].