En mathématiques, l'intégration par parties (parfois abrégée en IPP) est une méthode qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en d'autres intégrales. Elle est fréquemment utilisée pour calculer une intégrale (ou une primitive) d'un produit de fonctions. Cette formule peut être considérée comme une version intégrale de la règle du produit.
Le mathématicien Brook Taylor a découvert l'intégration par parties, publiant d'abord l'idée en 1715. Des formulations plus générales d'intégration par parties existent pour l'intégrale de Riemann-Stieltjes et pour l'intégrale de Lebesgue-Stieltjes. L'analogue discret pour les suites est appelé sommation par parties.
On réarrange ensuite l'expression de la façon suivante :
.
Il suffit maintenant d'intégrer l'équation :
.
On obtient alors :
.
Choix des fonctions du produit
L'un des deux choix possibles pour les fonctions u et v' peut s'avérer meilleur que l'autre.
.
Si l'on choisit u = ln et v' (x) = x, on a u' (x) = 1/x et l'on peut prendre v(x) = x2/2, d'où:
.
En revanche, si l'on choisit u(x) = x et v' = ln, on a u' = 1 et l'on peut prendre v(x) = xln(x) – x, d'où:
.
On constate immédiatement que cette intégrale est plus compliquée que l'intégrale initiale, elle s'y ramène cependant puisque .
Exemples
Effectuons le calcul de
grâce à une intégration par parties. Pour cela, posons u(x) = x, de telle sorte que u' = 1, et v' = cos, de telle sorte que v = sin, par exemple (c.-à-d. à une constante additive près, qui de toutes façons disparaîtrait au cours des calculs intermédiaires). Il vient:
Une intégration par parties sur une intégrale impropre permet d'établir l'équation fonctionnelle de la fonction gamma.
Une double intégration par parties (l'intégrale obtenue par l'application de la formule se calcule elle aussi par une nouvelle intégration par parties) permet par exemple de montrer[1] que
et de même,
,
où le réel C est une constante d'intégration.
Présentation sous forme de tableau
Cette méthode également nommée «DI method» en anglais consiste à tracer un tableau avec trois colonnes, une colonne de signes + et - alternés, une colonne D et une colonne I, avec dans la colonne D des dérivations successives et dans la colonne I des intégrations successives. Cette méthode se base sur l'intégration par parties, et est surtout utile lorsqu'il s'agit de réaliser des intégrations par parties successives. Elle est présentée dans le livre[2] de Thomas et Finney, ainsi que dans un papier librement accessible[3]. Cette méthode est censée réduire les erreurs et réduire les étapes de calcul. Il y a 3 critères d'arrêts: soit une ligne du tableau comporte un 0, soit une ligne du tableau est identique à la première ligne (à des facteurs numériques près), soit le produit d'une ligne du tableau est facilement intégrable[4].
Les produits s'effectuent suivant une diagonale. Ainsi, pour intégrer , on peut construire le tableau suivant:
Étapes
+/-
Dérivées (D)
Primitives (I)
Produits
0
1
−
2
+
3
−
4
+
Détail des calculs
Le calcul se fait à l'aide de 4 intégrations par parties (la dernière étant d'ailleurs dispensable)
Un même type de tableau peut s'utiliser pour une intégration par parties qui boucle:
Étapes
+/-
Dérivées
Primitives
Produits
0
1
−
2
+
(ça boucle)
Généralisations
On peut étendre ce théorème aux fonctions continues et de classe C1 par morceaux sur le segment d'intégration (mais la continuité est indispensable).
Plus généralement, si u et v sont n fois différentiables et si leurs dérivées n-ièmes sont réglées, on dispose de la « formule d'intégration par parties d'ordre n »[5]:
.
Si, sur [a, b], u est absolument continue et g est intégrable, alors
,
pour toute fonction v telle que
.
La démonstration[6] est essentiellement la même que ci-dessus, avec des dérivées définies seulement presque partout et en utilisant l'absolue continuité de v et uv.
Formules d'intégrations par parties à plusieurs variables
L'intégration par parties peut être étendue aux fonctions de plusieurs variables en appliquant une version appropriée du théorème fondamentale de l'analyse (par exemple une conséquence du théorème de Stokes comme le théorème du gradient ou le théorème de la divergence) à une opération généralisant la règle de dérivation d'un produit.
Il existe donc de nombreuses versions d'intégrations par parties concernant les fonctions à plusieurs variables, pouvant faire intervenir des fonctions à valeurs scalaires ou bien des fonctions à valeurs vectorielles.
Certaines de ces intégrations par parties sont appelées identités de Green.
Un exemple faisant intervenir la divergence
Par exemple, si u est à valeurs scalaires et V à valeurs vectorielles et toutes deux sont régulières, on a la règle de la divergence d'un produit
Soit Ω un ouvert de ℝd qui est borné et dont la frontière Γ = ∂Ω est lisse par morceaux. Appliquer le théorème de la divergence donne:
,
où n est la normale sortante unitaire à Γ. On a donc
.
On peut donner des hypothèses plus faibles: la frontière peut être seulement lipschitzienne et les fonctions u et V appartenir aux espaces de Sobolev H1(Ω) et H1(Ω)d.
Première identité de Green
Soit (e1,....,ed) la base canonique de ℝd. En appliquant la formule d'intégration par parties ci-dessus à ui et vei où u et v sont des fonctions scalaires régulières, on obtient une nouvelle formule d'intégration par parties
En appliquant la formule d'intégration par parties ci-dessus à ui et vei et en sommant sur i, on obtient encore une nouvelle formule d'intégration par parties
.
La formule correspondante au cas où U dérive d'un potentiel u régulier: