Résistance au mouvement

Lequel de ces mouvements est le plus difficile ?

Le moment d'inertie est au mouvement de rotation l'analogue de la masse pour le mouvement de translation : il reflète la « résistance » qu'oppose un corps à sa mise en mouvement.

Cette difficulté est d'autant plus grande, dans le cas de la rotation d'un solide, que les masses en son sein se trouvent loin de l'axe de rotation. Ainsi par exemple dans le cas d'un balai pris en main au milieu du manche (cf. figure ci-contre), il est plus aisé de le faire tourner autour de l'axe du manche (cas 1), qu'autour de l'axe transversal indiqué (cas 2). En effet, dans ce dernier cas la brosse, dont la masse relative par rapport au manche est importante, est située plus loin de l'axe de rotation que dans le premier cas (il y a également dissymétrie dans la répartition des masses autour de l'axe de rotation). Comme pour un solide en rotation, la vitesse linéaire d'un point croît en proportion avec cet éloignement, il est nécessaire, à vitesse angulaire égale, de communiquer une plus grande énergie cinétique aux points éloignés. D'où la plus grande résistance du balai à tourner autour d'un axe transversal qu'autour de l'axe du manche.

Énergie nécessaire au mouvement

Dans cette analogie, l'énergie nécessaire à la mise en mouvement se transforme (d'une manière ou d'une autre) en énergie cinétique. Dans le cas d'un mouvement de translation, l'énergie cinétique d'un point de masse m est donnée par la formule ${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$. Dans le cas d'une rotation d'un solide autour d'un axe fixe, il est possible de montrer que l'énergie cinétique totale s'écrit sous la forme ${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}J_{\Delta }\,\omega ^{2}}$, où le terme ${\displaystyle J_{\Delta }}$ est précisément le moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation, c'est-à-dire une forme analogue à celle de l'énergie cinétique du mouvement de translation. Le moment d'inertie apparaît ainsi comme l'analogue de la masse (inerte) du solide dans le cas du mouvement de translation, et est donc en relation avec la "résistance" de celui-ci à sa mise "en rotation". En fait l'explication du phénomène empirique de plus grande "résistance à tourner" du balai selon que le choix de l'axe de rotation axial ou transversal est liée au fait que le moment d'inertie par rapport à l'axe dans ce dernier cas est plus grand que dans le premier.

Énergie cinétique de rotation

L'énergie cinétique étant une grandeur extensive, c'est-à-dire que sa valeur sur un système complexe est la somme des valeurs sur les parties élémentaires, l'énergie cinétique totale du solide considéré s'exprime donc sous la forme :

${\displaystyle E_{k}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m_{i}(\omega r_{i})^{2}={\tfrac {1}{2}}\omega ^{2}\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}\ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\tfrac {1}{2}}J_{\Delta }.\omega ^{2}}$,

avec :

• ${\displaystyle r_{i}=\mathrm {H} _{i}\mathrm {M} _{i}}$, distance du point ${\displaystyle \mathrm {M} _{i}}$ à l'axe de rotation ${\displaystyle \Delta }$ (${\displaystyle \mathrm {H} _{i}}$ désignant la projection de ${\displaystyle \mathrm {M} _{i}}$ sur ${\displaystyle \Delta }$) ;
• ${\displaystyle J_{\Delta }=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}}$.

Cette expression possède une analogie évidente avec celle de l'énergie cinétique pour un point matériel (ou un solide en translation), où celle-ci s'écrit ${\displaystyle E_{k}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$. Dans le cas de la rotation la vitesse angulaire ω est l'homologue de la vitesse linéaire v, et le moment d'inertie ${\displaystyle J_{\Delta }}$ comme l'homologue de la masse m. Toutefois le moment d'inertie dépend également de la répartition des masses autour de l'axe ${\displaystyle \Delta }$ et sa valeur dépend donc du choix de celui-ci.

En tant qu'homologue de la masse (inerte) pour la rotation, ce terme reflète la "résistance" du solide à sa mise en rotation, comme il avait été indiqué dans l'approche empirique précédente.

Moment cinétique de rotation du solide

De la même façon que pour l'énergie cinétique, et du fait du caractère extensif de cette grandeur, le moment cinétique du solide par rapport à un point quelconque ${\displaystyle \mathrm {O} }$ de l'axe s'exprime alors sous la forme, en utilisant les mêmes notations que précédemment :

${\displaystyle {\vec {L}}_{\mathrm {O} }=\sum _{i}m_{i}{\overrightarrow {\mathrm {OM} _{i}}}\wedge {\vec {v}}_{i}=\sum _{i}m_{i}({\overrightarrow {\mathrm {OH} _{i}}}+{\vec {r}}_{i})\wedge {\vec {v}}_{i}}$

Comme la vitesse d'un point ${\displaystyle \mathrm {M} _{i}}$ est donnée par ${\displaystyle {\vec {v}}_{i}={\vec {\omega }}\wedge {\vec {r}}_{i}}$, la composante du moment cinétique colinéaire à l'axe de rotation ${\displaystyle \Delta }$ correspond au second terme de la somme^[1], et se met sous la forme :

${\displaystyle {\vec {L}}_{\Delta }=\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}\wedge {\vec {v}}_{i}=\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}\wedge \left({\vec {\omega }}\wedge {\vec {r}}_{i}\right)=\sum _{i}m_{i}\left(r_{i}^{2}{\vec {\omega }}-({\vec {\omega }}\cdot {\vec {r}}_{i}){\vec {r}}_{i}\right)=\left(\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}\right){\vec {\omega }}=J_{\Delta }{\vec {\omega }}}$, puisque ${\displaystyle {\vec {\omega }}\cdot {\vec {r}}_{i}=0}$ par hypothèse.

Dans les deux cas apparaît la grandeur caractéristique, qui ne dépend que de la géométrie des masses du solide, appelé moment d'inertie ${\displaystyle J_{\Delta }}$ par rapport à l'axe ${\displaystyle \Delta }$ :

${\displaystyle J_{\Delta }=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}}$.

Remarque : il convient de souligner que ${\displaystyle {\vec {L}}_{\mathrm {O} }}$, moment cinétique du solide au point ${\displaystyle \mathrm {O} }$ de l'axe de rotation n'est pas en général colinéaire à cet axe. Ce n'est que si l'axe de rotation coïncide avec un axe principal d'inertie du solide, ce qui est notamment le cas s'il est un axe de symétrie matérielle du solide, c'est-à-dire à la fois axe de symétrie géométrique et que pour tout couple de points ${\displaystyle (\mathrm {M} _{i},\mathrm {M} _{j})}$ symétriques l'un par rapport à l'autre on ait ${\displaystyle m_{i}=m_{j}}$, que ${\displaystyle {\vec {L}}_{\mathrm {O} }}$ sera colinéaire à l'axe de rotation. En fait on aura alors ${\displaystyle {\vec {L}}_{\mathrm {O} }=J_{\Delta }{\vec {\omega }}}$ par rapport à tout point ${\displaystyle \mathrm {O} }$ situé sur l'axe de rotation.

Unités du moment d'inertie

Du fait de sa définition , le moment d'inertie a les dimensions d'une masse par le carré d'une longueur soit M·L². Son unité dans le système international d'unités pourra donc naturellement être exprimée en kg⋅m², unité qui n'a pas de nom propre.

On peut cependant remarquer que dans la relation ${\displaystyle E={\frac {1}{2}}J_{\Delta }.\omega ^{2}}$, la vitesse de rotation ω n'est pas exprimée en s⁻¹, mais en rad⋅s⁻¹. Toutefois, étant défini comme le rapport de deux longueurs, le radian, considéré comme unité dérivée du système international depuis la 20^e conférence générale du BIPM^[2], est sans dimension, par suite ceci n'affecte pas l'homogénéité de l'équation aux dimensions de l'expression de l'énergie cinétique. Il ne serait cependant pas faux que le moment d'inertie soit exprimé en kg⋅m²⋅rad⁻², mais ce choix est rarement retenu en pratique. Son seul intérêt serait de rappeler qu'il s'agit d'une unité spécifiquement rattachée au mouvement de rotation, comme pour toutes les unités où le radian apparaît.

Généralisation à un solide quelconque

Par extension dans un solide considéré comme un ensemble continu de points matériels ${\displaystyle x}$ affectés d'une masse volumique ${\displaystyle \rho }$, le moment d'inertie s'écrit :

${\displaystyle J_{\Delta }\ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ \iiint d(x,\Delta )^{2}\;\mathrm {d} m=\iiint d(x,\Delta )^{2}\,\rho \;\mathrm {d} V}$

où

• ${\displaystyle d(x,\Delta )}$ est la distance entre le point ${\displaystyle x}$ et l'axe Δ ;
• ${\displaystyle \mathrm {d} V}$ est un volume élémentaire autour de ${\displaystyle x}$ ;
• ${\displaystyle \mathrm {d} m}$ est la masse de ce volume élémentaire ;
• ${\displaystyle \rho }$ est la masse volumique autour de ${\displaystyle x}$.

Cette définition peut également prendre une forme vectorielle :

${\displaystyle J_{\Delta }\ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ \iiint {\bigl \|}{\vec {e}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {\mathrm {OM} }}{\bigr \|}^{2}\mathrm {d} m=\iiint {\bigl \|}{\vec {e}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {\mathrm {OM} }}{\bigr \|}^{2}\,\rho \;\mathrm {d} V}$

où

• ${\displaystyle \mathrm {O} }$ est un point sur l'axe ${\displaystyle \Delta }$ ;
• ${\displaystyle \mathrm {M} }$ est un point du solide considéré ;
• ${\displaystyle {\vec {e}}_{\Delta }}$ est un vecteur unitaire de l'axe ${\displaystyle \Delta }$ ;
• ${\displaystyle \wedge }$ désigne le produit vectoriel et ${\displaystyle \|\,\|}$ la norme euclidienne.

Généralisation à un système quelconque

En toute rigueur, la notion de moment d'inertie n'est définie que si la quantité ${\displaystyle \sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}}$ peut être isolée des expressions de l'énergie cinétique ou du moment cinétique de rotation, c'est-à-dire que dans la mesure où la vitesse angulaire est la même pour les points du système à un instant donné. Ceci n'est valable strictement que dans le cas du modèle du solide indéformable.

Toutefois, la définition précédente peut s'étendre à un système déformable, dès lors qu'il ne présente pas de rotation différentielle, ou que l'on peut négliger l'effet de celle-ci, de façon qu'il soit possible de considérer que tous les points du système ont à un instant donné la même vitesse angulaire. Par exemple un système articulé, constitué de plusieurs solides reliés entre eux par des liaisons, en rotation autour d'un axe fixe, si les vitesses angulaires de rotation entre les diverses parties sont petites devant la vitesse angulaire de rotation « globale ». Toutefois, pour un système déformable le moment d'inertie n'est plus constant dans le temps.

Moment d'inertie et moment cinétique

Dans la comparaison entre le mouvement de rotation et le mouvement de translation, le moment cinétique est l'homologue de la quantité de mouvement, et pour un système isolé est une grandeur conservative.

Comme indiqué précédemment, il découle de la définition du moment d'inertie que plus les masses constituant un solide sont réparties loin de l'axe de rotation, plus son moment d'inertie par rapport à cet axe est important. Comme la composante axiale du moment cinétique est égale au moment d'inertie multiplié par sa vitesse angulaire de rotation, et du fait de son caractère conservatif, si le moment d'inertie d'un système diminue du fait d'une variation de sa géométrie interne, sa vitesse angulaire de rotation doit augmenter (et inversement).

Ainsi, le patineur sur glace^[3] rapproche les bras de son corps lors d'une pirouette. Cela a pour effet de diminuer son moment d'inertie, ce qui, par conservation du moment cinétique^[4], implique une plus grande vitesse de rotation.

De même, les enfants jouant à mettre en rotation un tourniquet en courant à ses côtés atteignent une vitesse de rotation limitée par leur course. Ils peuvent cependant ensuite sauter sur le tourniquet en mouvement, puis se positionner en son centre, augmentant ainsi significativement la vitesse de rotation initialement obtenue.

Mise en évidence et définition du tenseur d'inertie

Le moment cinétique propre ${\displaystyle {\vec {L}}^{*}}$ d'un solide de vecteur rotation instantané ${\displaystyle {\vec {\omega }}(t)}$ s'écrit :

${\displaystyle {\vec {L}}^{*}=\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}\wedge {\vec {v}}_{i}^{*}=\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}\wedge \left({\vec {\omega }}\wedge {\vec {r}}_{i}\right)=\sum _{i}m_{i}\left(r_{i}^{2}{\vec {\omega }}-\left({\vec {\omega }}\cdot {\vec {r}}_{i}\right){\vec {r}}_{i}\right)}$,

Il est possible d'exprimer par exemple la composante suivant x en coordonnées cartésiennes, ce qui donne :

${\displaystyle L_{x}^{*}=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}\omega _{x}-\sum _{i}m_{i}\left(x_{i}\omega _{x}+y_{i}\omega _{y}+z_{i}\omega _{z}\right)x_{i}=\left(\sum _{i}m_{i}\left(y_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right)\right)\omega _{x}-\left(\sum _{i}m_{i}x_{i}y_{i}\right)\omega _{y}-\left(\sum _{i}m_{i}x_{i}z_{i}\right)\omega _{z}}$.

Dans cette expression, les facteurs entre parenthèses représentent respectivement le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe Ox, noté ${\displaystyle I_{\mathrm {O} x}}$, et deux termes homogènes à un moment d'inertie, appelés produits d'inertie, notés ${\displaystyle I_{xy}}$ et ${\displaystyle I_{xz}}$. Il est possible d'écrire ${\displaystyle L_{x}}$ sous la forme :

${\displaystyle L_{x}={\begin{bmatrix}I_{\mathrm {O} x}&-I_{xy}&-I_{xz}\end{bmatrix}}{\vec {\omega }}}$,

et en procédant de même pour les autres composantes il vient finalement l'expression du moment cinétique propre sous la forme :

${\displaystyle {\vec {L}}^{*}={\bar {\bar {I}}}{\vec {\omega }}}$,

avec ${\displaystyle {\bar {\bar {I}}}}$ tenseur (ou opérateur) d'inertie, qui est défini par :

${\displaystyle {\bar {\bar {I}}}={\begin{bmatrix}I_{\mathrm {O} x}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&I_{\mathrm {O} y}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&I_{\mathrm {O} z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum _{i}m_{i}(y_{i}^{2}+z_{i}^{2})&-\sum _{i}m_{i}x_{i}y_{i}&-\sum _{i}m_{i}x_{i}z_{i}\\-\sum _{i}m_{i}x_{i}y_{i}&\sum _{i}m_{i}(x_{i}^{2}+z_{i}^{2})&-\sum _{i}m_{i}y_{i}z_{i}\\-\sum _{i}m_{i}x_{i}z_{i}&-\sum _{i}m_{i}y_{i}z_{i}&\sum _{i}m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})\end{bmatrix}}}$,

expression dans laquelle les éléments diagonaux sont les moments d'inertie du solide par rapport aux divers axes, et les éléments non diagonaux sont les produits d'inertie. De même, l'énergie cinétique propre s'écrit : ${\displaystyle E_{c}^{*}={\tfrac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot ({\bar {\bar {I}}}{\vec {\omega }})}$.

Il est clair que ${\displaystyle {\bar {\bar {I}}}}$ ne dépend que de la géométrie des masses du solide. Il découle des relations précédentes que dans le cas général le moment cinétique propre du système n'est pas colinéaire à l'axe instantané de rotation, les relations précédentes généralisant celles obtenues dans le cas de la rotation autour d'un axe fixe^[7].

Le moment d'inertie par rapport à un axe quelconque, de direction donnée par le vecteur unitaire ${\displaystyle {\vec {n}}}$ est alors donné par ${\displaystyle I={\vec {n}}\cdot ({\bar {\bar {I}}}{\vec {n}})}$.

Caractère tensoriel de ${\displaystyle {\bar {\bar {I}}}}$ - Axes principaux d'inertie

Ellipsoïde d'inertie

Le moment d'inertie d'un solide quelconque de tenseur d'inertie ${\displaystyle {\bar {\bar {I}}}}$ par rapport à un axe quelconque dont la direction est donnée par le vecteur unitaire ${\displaystyle {\vec {n}}}$ est donné par :

${\displaystyle I={\vec {n}}\cdot ({\bar {\bar {I}}}{\vec {n}})}$,

en posant ${\displaystyle {\vec {\rho }}={\frac {\vec {n}}{\sqrt {I}}}}$ cette relation peut se mettre sous la forme :

${\displaystyle {\vec {\rho }}\cdot ({\bar {\bar {I}}}{\vec {\rho }})=1}$,

en explicitant avec les composantes ${\displaystyle (\rho _{x},\rho _{y},\rho _{z})}$ de ce vecteur, il vient l'équation d'un ellipsoïde :

${\displaystyle I_{\mathrm {O} x}\rho _{1}^{2}+I_{\mathrm {O} y}\rho _{2}^{2}+I_{\mathrm {O} z}\rho _{3}^{2}+2I_{xy}\rho _{1}\rho _{2}+2I_{xz}\rho _{1}\rho _{3}+2I_{yz}\rho _{2}\rho _{3}=1}$,

laquelle prend dans les axes principaux d'inertie une forme particulièrement simple :

${\displaystyle I_{1}\rho _{1}^{2}+I_{2}\rho _{2}^{2}+I_{3}\rho _{3}^{2}=1}$.

Cet ellipsoïde est appelé ellipsoïde d'inertie^[17]. Dans le cas d'une toupie symétrique, il s'agit d'un ellipsoïde de révolution, et dans le cas d'une toupie sphérique, d'une sphère. Cette notion n'a plus en général aujourd'hui qu'un intérêt historique, toutefois il est intéressant de remarquer que les axes principaux d'inertie sont les axes principaux de l'ellipsoïde d'inertie.

Boule

Pour une boule homogène de rayon ${\displaystyle R}$ et de centre ${\displaystyle O}$, les moments d'inertie au centre de la boule par rapport aux trois axes sont égaux. On peut donc écrire :

${\displaystyle J_{\Delta }={\frac {1}{3}}(J_{\mathrm {O} x}+J_{\mathrm {O} y}+J_{\mathrm {O} z})={\frac {1}{3}}\int _{V}[(y^{2}+z^{2})+(z^{2}+x^{2})+(x^{2}+y^{2})]\,\mathrm {d} m={\frac {2}{3}}\int _{V}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,\mathrm {d} m={\frac {2}{3}}\int _{V}r^{2}\,\mathrm {d} m}$

En désignant par ${\displaystyle \rho }$ la masse volumique, ${\displaystyle \mathrm {d} m=\rho \,4\pi r^{2}\mathrm {d} r}$ donc :

${\displaystyle J_{\Delta }={\frac {2}{3}}\int _{0}^{R}r^{2}(\rho \,4\pi r^{2}\mathrm {d} r)={\frac {8}{15}}\pi R^{5}\rho }$

Comme la masse de la boule est ${\displaystyle M={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho }$, on obtient^[18] :

${\displaystyle J_{\Delta }={\frac {2}{5}}M\,R^{2}}$.

Sphère (creuse)

Pour une sphère (par parenthèses une sphère est une surface, donc creuse), comme pour une boule, les moments d'inertie passant par son centre sont égaux. En l'occurrence, si son rayon est ${\displaystyle R}$, on a^[19] :

${\displaystyle J_{\Delta }={\frac {2}{3}}MR^{2}}$

Barre

Dans le cas d'une barre de section négligeable et de longueur ${\displaystyle L}$, le moment d'inertie selon un axe perpendiculaire à la barre est, en son centre :

${\displaystyle J_{\Delta }=\int _{-L/2}^{+L/2}x^{2}\rho \,\mathrm {d} x={\frac {1}{12}}\rho L^{3}={\frac {1}{12}}ML^{2}}$, (avec ${\displaystyle M=\rho L}$)

Ici, ${\displaystyle \rho }$ exprime une masse linéique (masse par unité de longueur).

Cela est vrai si l'axe de rotation passe par le milieu de la barre. La formule est différente si l'axe de rotation passe par son extrémité.

Carré

Dans le cas d'un carré de côté ${\displaystyle a}$, le moment d'inertie selon un axe perpendiculaire au plan du carré est, en son centre :

${\displaystyle J_{\Delta }=\int _{-a/2}^{+a/2}\int _{-a/2}^{+a/2}(x^{2}+y^{2})\rho \,\mathrm {d} x\mathrm {d} y={\frac {\rho }{6}}a^{4}={\frac {1}{6}}Ma^{2}}$, (avec ${\displaystyle M=\rho a^{2}}$)

Ici, ${\displaystyle \rho }$ exprime une masse surfacique (masse par unité de surface).

Rectangle

Dans le cas d'un rectangle de grand côté ${\displaystyle b}$ et de petit côté ${\displaystyle c}$, le moment d'inertie selon un axe perpendiculaire au plan du rectangle (ici l'axe Oz) est, en son centre^[20] :

${\displaystyle J_{\Delta }=\int _{-b/2}^{+b/2}\int _{-c/2}^{+c/2}(x^{2}+y^{2})\rho (x,y)\,{\mathrm {d} }x{\mathrm {d} }y={\frac {\rho }{12}}bc^{3}+{\frac {\rho }{12}}cb^{3}={\frac {1}{12}}M(b^{2}+c^{2})}$, (avec ${\displaystyle M=\rho bc}$)

Ici, ${\displaystyle \rho }$ exprime une masse surfacique (masse par unité de surface) pour une surface homogène, elle ne dépend donc pas de x et y. Remarquons que si ${\displaystyle b=c}$, on se ramène au cas du carré.

Parallélépipède

Dans le cas d'un parallélépipède de hauteur ${\displaystyle h}$, de grand côté ${\displaystyle b}$ et de petit côté ${\displaystyle c}$, le moment d'inertie selon l'axe le long de sa hauteur et en son centre est le même que celui pour un rectangle. En d'autres termes, la hauteur du parallélépipède ne joue aucun rôle^[19] :

${\displaystyle J_{\Delta }={\frac {1}{12}}M(b^{2}+c^{2})}$

Cylindre plein

On utilisera les coordonnées cylindriques pour simplifier les calculs. Dans le cas d'un cylindre de rayon ${\displaystyle R}$ et de hauteur ${\displaystyle h}$, le moment d'inertie selon l'axe de révolution Oz du cylindre est^[21] :

${\displaystyle {J_{\Delta }}_{z}=\int _{0}^{R}r^{2}\rho 2\pi rh\,\mathrm {d} r={\frac {1}{2}}\rho \pi R^{4}h={\frac {1}{2}}MR^{2}}$, (avec ${\displaystyle M=\rho \pi R^{2}h}$)

Ici, ${\displaystyle \rho }$ exprime une masse volumique (masse par unité de volume).

On peut également déterminer le moment d'inertie selon tout axe Ox perpendiculaire à l'axe de révolution Oz du cylindre. Il vaut^[22] :

${\displaystyle {J_{\Delta }}_{x}={\frac {MR^{2}}{4}}+{\frac {Mh^{2}}{12}}}$

Cylindre creux

Dans le cas d'un cylindre creux de rayons intérieur ${\displaystyle R_{1}}$ et extérieur ${\displaystyle R_{2}}$, et de hauteur ${\displaystyle h}$, le moment d'inertie selon l'axe du cylindre est^[23] :

${\displaystyle J_{\Delta }=\int _{R_{1}}^{R_{2}}r^{2}(\rho 2\pi rh\,\mathrm {d} r)=2\rho \pi h\left[{\frac {r^{4}}{4}}\right]_{R_{1}}^{R_{2}}={\frac {1}{2}}\rho \pi h(R_{2}^{4}-R_{1}^{4})={\frac {1}{2}}M(R_{2}^{2}+R_{1}^{2})}$, (où la masse du cylindre ${\displaystyle M=\rho \pi h(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})}$)

Ici, ${\displaystyle \rho }$ exprime une masse volumique (masse par unité de volume).

Cône

Pour un cône (plein) dont la base a un rayon ${\displaystyle R}$, son moment d'inertie le long de sa hauteur est^[19] :

${\displaystyle J_{\Delta }={\frac {3}{10}}MR^{2}}$, avec ${\displaystyle M=\rho \,{\frac {\pi R^{2}h}{3}}}$.

A noter que l'expression du moment d'inertie en fonction de sa masse et du rayon de sa base ne dépend pas de la hauteur du cône.

Tore

Pour un tore de paramètres ${\displaystyle R}$ et ${\displaystyle r}$, son moment d'inertie selon son axe de révolution est^[24]:

${\displaystyle J_{\Delta }=M\left(R^{2}+{\frac {3}{4}}r^{2}\right)}$

Anneau fin

Pour un anneau fin (d'épaisseur négligeable) de rayon ${\displaystyle R}$ et de densité linéique (masse par unité de longueur) ${\displaystyle \mu }$, tous les éléments sont à la même distance de l'axe donc :

${\displaystyle J_{\Delta }=M\,R^{2}=(\mu \,2\pi R)R^{2}=2\pi R^{3}\mu }$

Bibliographie

• Perez, Cours de physique : mécanique - 6^e édition, Masson, Paris, 2001, chapitre 17;
• Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr. et John L. Safko, Classical Mechanics [détail des éditions], chapitre 5;
• K. Gieck et R. Gieck (trad. G. Bendit), Formulaire technique, Gieck Verlag, 1997;
• Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 1 : Mécanique [détail des éditions], chapitre 6.

Articles connexes

• Moment cinétique
• Moment d'inertie normalisé
• Moment quadratique

Liens externes

• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :

  • Britannica
  • Store norske leksikon
• Notices d'autorité :

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