Déformation

Élément d'une poutre fléchie : les fibres forment des arcs de cercle concentriques, les fibres du haut sont donc comprimées et les fibres du bas étirées.

Du fait de l'hypothèse de Bernoulli (lors de la déformation, les sections planes perpendiculaires à la fibre moyenne restent planes et perpendiculaires à la fibre moyenne),

• la fibre neutre a un allongement nul ;
• les fibres à l'extérieur de la courbure sont étirées ;
• les fibres à l'intérieur de la courbure sont comprimées.

la déformation longitudinale ε varie de manière linéaire en fonction de y.

Le déplacement u_y(x) donne la forme finale de la fibre neutre, et est relié au rayon de courbure local

Par ailleurs, en considérant une poutre droite, si l'on appelle u_y(x) la flèche, c'est-à-dire le déplacement vertical du point de la courbe moyenne situé à l'abscisse x en raison de la flexion, on a, d'après la définition générale du rayon de courbure :

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\rho }}\simeq {\frac {\mathrm {d} ^{2}u_{y}}{\mathrm {d} x^{2}}}}$.

Le graphique u_y(x) donne la forme de la courbe moyenne, encore appelée « déformée de la poutre ».

Efforts de cohésion

Définition des composantes du torseur de cohésion

Si l'on considère les efforts de cohésion (voir les articles Théorie des poutres et Torseur de cohésion), la flexion résulte des moments fléchissants M_fy et M_fz.

Nous considérerons ici la convention des efforts à droite.

On remarque que la valeur de l'effort tranchant est la dérivée du moment fléchissant par rapport à la position x du point considéré :

${\displaystyle \mathrm {T} =-{\frac {\mathrm {d} \mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {d} x}}}$.

Le diagramme des moments fléchissants peut être établi par la méthode du funiculaire.

Contraintes

Contrainte normale pour une poutre droite

Moment fléchissant et répartition de contrainte

Plaçons-nous dans le cas d'un moment fléchissant M_fz positif ; dans le plan (Gxy), les fibres sont concentriques, le centre O est situé vers le haut. La longueur de l'arc est proportionnelle au rayon, c'est-à-dire qu'elle varie linéairement en fonction de l'abscisse y considérée. De même, la contrainte normale à la section varie linéairement en fonction de y et l'on trouve :

${\displaystyle \sigma _{xx}=-{\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\cdot y}$.

où I_Gz est le moment quadratique d'axe (Gz), calculé en fonction de la forme de la section droite.

Démonstration

De même que la longueur des fibres, l'allongement relatif ε est proportionnel à y :

${\displaystyle \varepsilon (y)=-{\frac {y}{\rho }}}$

donc, d'après la loi de Hooke, la contrainte varie également de manière linéaire :

${\displaystyle \sigma _{xx}(y)=\mathrm {E} \cdot \varepsilon (y)=-{\frac {\mathrm {E} }{\rho }}\cdot y}$,

la quantité E/ρ étant à déterminer. Un petit élément de surface dS reçoit une force dF valant

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {\mathrm {F} }}=\sigma _{xx}\cdot {\vec {\mathrm {dS} }}=-{\frac {\mathrm {E} }{\rho }}\cdot y\cdot \mathrm {dS} \cdot {\vec {x}}}$.

Le moment dM_fz de cette force par rapport au point G (0,0,0) appartenant donc à la ligne moyenne vaut :

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {\mathrm {M} }}_{\mathrm {f} z}={\vec {y}}\wedge \mathrm {d} {\vec {\mathrm {F} }}={\frac {\mathrm {E} }{\rho }}\cdot y^{2}\cdot \mathrm {dS} \cdot {\vec {z}}}$

Le moment fléchissant résulte de l'ensemble de ces moments, et en intégrant sur la section droite, on trouve :

${\displaystyle \mathrm {M} _{\mathrm {f} z}={\frac {\mathrm {E} }{\rho }}\cdot \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}$

avec

${\displaystyle \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}=\int _{\mathrm {S} }y^{2}\cdot \mathrm {dS} }$

On a alors :

${\displaystyle {\frac {E}{\rho }}={\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}}$

soit

${\displaystyle \sigma _{xx}(y)=-{\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\cdot y}$.

Le risque de rupture se situe sur la face en extension de la poutre. Si l'on appelle -V l'ordonnée du point situé sur cette face, la contrainte y vaut :

${\displaystyle \sigma _{xx\ \mathrm {max} }={\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\cdot \mathrm {V} ={\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\frac {\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}{\mathrm {V} }}}}$.

La grandeur I_Gz/V est appelée « module de flexion élastique » et est noté W_{él. z} :

${\displaystyle \sigma _{xx\ \mathrm {max} }={\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {W} _{\mathrm {{\acute {e}}l.} \ z}}}}$.

Si la poutre est symétrique et de hauteur h, on a

${\displaystyle \mathrm {V} =\pm {\frac {h}{2}}}$

Si l'on retient comme limite le fait que la matière doit rester dans le domaine élastique, on a à la limite

${\displaystyle \sigma =\mathrm {R} _{\mathrm {e} }}$

où R_e est la limite d'élasticité. Le moment fléchissant maximal limite est alors

${\displaystyle \mathrm {M} _{\mathrm {f} \,\max }=\mathrm {R} _{\mathrm {e} }\times \mathrm {W} _{\mathrm {{\acute {e}}l.} \ z}}$.

Ceci sera utilisé pour comparer avec la flexion plastique.

Note

Comme c'est la valeur absolue de la contrainte qui nous intéresse, et que de toute manière le signe dépend de la convention choisie, on trouve souvent l'expression

${\displaystyle \sigma _{xx}={\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\cdot y}$

Cisaillement

Flexion simple : les forces sont décalées

Effort tranchant et cission dans le cas de la flexion simple

Dans la plupart des cas, le moment fléchissant s'accompagne d'un effort tranchant (T_y avec M_fz, T_z avec M_fy). Cela génère de la cission (τ_xy pour T_y et τ_xz pour T_z). Cette contrainte de cisaillement ne génère que peu de risque de rupture et est donc généralement négligée (modèle de Bernoulli).

La répartition des contraintes n'est pas uniforme : la contrainte sur une surface libre est nécessairement dans le plan de la surface, donc la cission sur les faces extérieure est nulle. On a donc une cission qui croît lorsque l'on s'approche de la fibre neutre. La contrainte maximale vaut alors, si S est l'aire de la section droite :

• poutre de section rectangulaire pleine : ${\displaystyle \tau _{\mathrm {max} }={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {\mathrm {T} }{\mathrm {S} }}}$ ;
• poutre de section circulaire pleine : ${\displaystyle \tau _{\mathrm {max} }={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {\mathrm {T} }{\mathrm {S} }}}$ ;
• tube circulaire mince : ${\displaystyle \tau _{\mathrm {max} }\simeq 2\cdot {\frac {\mathrm {T} }{\mathrm {S} }}}$ ;

où S est l'aire de la section droite. On voit que sur ces exemples là, la contrainte est 1,5 à 2 fois supérieure au cas du cisaillement simple.

On note que la cission est maximale là où la contrainte normale est nulle (à la fibre neutre), et que la contrainte normale est maximale là ou la cission est nulle (sur les faces externes). On n'a donc pas de synergie entre les deux contraintes.

Démonstration

Isolement d'un élément de matière

On se place dans le cas de la flexion trois points entre les deux premiers appuis. On considère un élément de poutre comprise entre deux sections droites placées en x et x + dx, et entre le feuillet d'ordonnée y₀ et le bas de la poutre d'ordonnée V. Au niveau du feuillet, la largeur de la poutre est l.

Cet élément de matière est soumis :

• à des forces normales aux sections droites ;
• à la force résultant du cisaillement ; elle s'exerce sur une face rectangulaire de dimensions l×dx.

Le moment fléchissant varie, donc la force normale sur chacune des sections droites est différente. On peut donc en déduire la cission par le principe fondamental de la statique (PFS).

L'effort tranchant T_y est uniforme entre 0 et le milieu de la poutre, et l'on a :

${\displaystyle \mathrm {M} _{\mathrm {f} z}=\mathrm {T} _{y}\times x}$.

La force sur la face de gauche vaut donc

${\displaystyle {\bar {\mathrm {F} }}_{1}=\int _{\mathrm {V} }^{y_{0}}(-\sigma _{xx})\cdot \mathrm {dS} =\int _{\mathrm {V} }^{y_{0}}{\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}y\cdot \mathrm {dS} ={\frac {\mathrm {T} _{y}x}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\mathrm {Q} (y)}$

où

${\displaystyle \mathrm {Q} (y)=\int _{\mathrm {V} }^{y_{0}}y\cdot \mathrm {dS} }$

est le moment statique de la portion de la section droite comprise entre V et y₀.

La force sur la face de droite vaut :

${\displaystyle {\bar {\mathrm {F} }}_{2}=-{\frac {\mathrm {T} _{y}(x+\mathrm {d} x)}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\mathrm {Q} (y_{0})}$.

La force résultante vaut

${\displaystyle {\bar {\mathrm {F} }}={\bar {\mathrm {F} }}_{1}+{\bar {\mathrm {F} }}_{2}=-{\frac {\mathrm {T} _{y}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\mathrm {Q} (y_{0})\mathrm {d} x}$.

Le PFS s'écrit donc :

${\displaystyle \tau _{xy}l\mathrm {d} x-{\frac {\mathrm {T} _{y}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\mathrm {Q} (y_{0})\mathrm {d} x=0}$

soit

${\displaystyle \tau _{xy}={\frac {\mathrm {T} _{y}\mathrm {Q} (y_{0})}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}l}}}$.

On a pour les sections évoquées :

• poutre de section rectangulaire pleine de hauteur h et de largeur l : ${\displaystyle \mathrm {Q} (y)={\frac {l}{2}}\left({\frac {h^{2}}{4}}-y^{2}\right)}$ ;
• poutre de section circulaire pleine de rayon r : ${\displaystyle \mathrm {Q} (y)={\frac {2}{3}}(r^{2}-y^{2})^{3/2}}$ ;
• tube circulaire mince délimité par deux cylindres de rayons r et R : ${\displaystyle \mathrm {Q} (y)={\frac {2}{3}}(r^{3}-y^{3})}$.

Calcul de la déformée

Nous avons vu ci-dessus que :

1. la déformation par cisaillement est négligée ;
2. la courbure γ et le rayon de courbure ρ sont déterminés en fonction du moment fléchissant M_fz, du facteur de forme I_Gz et du module de Young E :

   ${\displaystyle \rho ={\frac {1}{\gamma }}={\frac {\mathrm {E} \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}{\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}}}$ ;

3. la déformée u_y est reliée à ρ et à γ selon l'équation différentielle :

   ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u_{y}}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {1}{\rho }}=\gamma }$.

On peut donc déterminer la déformée par intégration double :

${\displaystyle \gamma ={\frac {\mathrm {d} ^{2}u_{y}}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {E} \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}}$.

Si la poutre est de section uniforme (I_Gz ne varie pas) de même matériau (E ne varie pas), on se contente d'intégrer le moment fléchissant :

${\displaystyle \mathrm {E} \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}\gamma =\mathrm {E} \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}{\frac {\mathrm {d} ^{2}u_{y}}{\mathrm {d} x^{2}}}=\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}\Longrightarrow \mathrm {E} \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}u_{y}=\iint \mathrm {M} _{\mathrm {f} z}\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {A} \cdot x+\mathrm {B} }$

où A et B sont des constantes d'intégration déterminées à partir des conditions limites :

• aux points de liaison, on a u_y = 0 ;
• aux points d'encastrement, on a u’_y = 0 ;
• si le problème est symétrique par rapport à la section droite médiane, on a u’_y = 0 au centre de la poutre.

On s'intéresse en général à la valeur maximale de u_y, la « flèche » de la poutre, qui détermine l'état limite en service (ELS, valeur de chargement à ne pas dépasser pour que la forme de la poutre reste compatible avec sa fonction).

Note

On trouve souvent la notation abusive

EI_Gzy ’’ = M_fz.

y désignant alors le déplacement.

Par ailleurs, les expressions exactes sont :

${\displaystyle {\frac {u_{y}''(x)}{\left(1+u_{y}'^{2}(x)\right)^{3/2}}}={\frac {1}{\rho }}=\gamma }$

et donc

${\displaystyle \mathrm {E} \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}{\frac {u_{y}''(x)}{\left(1+u_{y}'^{2}(x)\right)^{3/2}}}=\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}$.

La déformée peut être établie graphiquement par la méthode du funiculaire.

Flexion en grande déformation

Flexion en grande déformation

Lorsque le rayon de courbure ρ est inférieur à dix fois la hauteur h de la section

ρ < h*10,

les hypothèses ne sont plus valables. Si toutefois on considère que :

• les sections droites restent planes ;
• les contraintes normales à la section sont indépendantes des contraintes parallèles à la section ;

alors la contrainte normale résultant du moment fléchissant devient

${\displaystyle \sigma _{xx}={\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\rho \mathrm {S} }}+{\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}y{\frac {\rho }{\rho +y}}}$

où S est l'aire de la section.

Flexion déviée

La flexion déviée est le cas où les charges ne font pas pivoter la section autour d'un axe principal de moment quadratique; il existe toujours au moins deux axes principaux de moment quadratique quelle que soit la section de la poutre.

Poutre symétrique

Flexion déviée d'une poutre symétrique et principe de superposition

Dans le cas d'une poutre symétrique, on peut décomposer le vecteur moment de flexion en deux composantes M_fy et M_fz non nulles. Si l'on reste en petites déformations, le système est linéaire, on peut donc considérer que l'on a une superposition de deux flexions planes. La contrainte normale vaut donc

${\displaystyle \sigma _{xx}=-{\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}y+{\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} y}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} y}}}z}$.

Le plan sur lequel la contrainte s'annule est appelé « plan neutre ».

Cas isostatiques

Flexion trois points

Flexion trois points, en convention des efforts à droite

La flexion trois points est un essai mécanique classique. Il représente le cas d'une poutre posée sur deux appuis simples (appuis linéaires rectilignes qui, dans un problème plan, équivalent à une liaison ponctuelle) et soumise à une charge concentrée, appliquée au milieu de la poutre avec elle aussi un contact simple. On modélise souvent un des appuis comme un pivot afin d'avoir une poutre qui ne se déplace pas horizontalement.

Dans la figure ci-contre, la poutre a une longueur L et la charge centrale est P.

L'effort tranchant est constant en valeur absolue : il vaut la moitié de la charge centrale, P/2. Il change de signe au milieu de la poutre. Le moment fléchissant varie de manière linéaire entre une extrémité, où il vaut 0, et le centre où sa valeur absolue vaut PL/4 ; c'est là que le risque de rupture est le plus important.

Le profil de la poutre est décrit par un polynôme du troisième degré (fonction en x³) sur une moitié de poutre (l'autre moitié étant symétrique).

Les diagrammes des efforts tranchants et moments fléchissants sont traditionnellement représentés remplis de traits verticaux. Cela correspond au découpage des aires en trapèze utilisé pour la méthode graphique.

Poutre sur deux appuis avec une charge ponctuelle

Flexion sous une charge excentrée, en convention des efforts à droite

Ce cas est la généralisation de la flexion trois points : la charge n'est pas nécessairement appliquée au centre. Cela permet, par exemple, de représenter une charge roulante.

L'analyse entre une extrémité et le point d'application de la charge est la même que pour la flexion trois points, mais le problème n'est plus symétrique.

Cas hyperstatiques

Poutre bi-encastrée (degré 3)

Charge continue uniformément répartie q	Charge triangulaire avec un maximum de q0
Charge concentrée P	Couple M0

Flexion plastique

Simplification de la courbe de traction

Flexion élastique (gauche), plastique (milieu) et critère de ruine (droite) : répartition dans la section droite centrale des déformations (courbes du haut) et des contraintes (bas).

Initialement, on retient comme critère de résistance (état limite ultime, ELU) le fait que la matière doit rester dans le domaine élastique. La charge maximale admise doit donc être telle que

σ_max ≤ R_pe

avec

• R_pe = R_e/s : la résistance pratique à l'extension ;
• R_e : la limite d'élasticité, typiquement de 185 à 355 MPa pour un acier de construction (acier non allié à basse teneur en carbone) ;
• s : coefficient de sécurité, typiquement entre 1,5 et 5.

On a donc des structures volontairement surdimensionnées, ce qui permet de faire face à des surcharges accidentelles.

Si l'on admet que certaines zones de la poutre peuvent se plastifier (subir de la déformation plastique), on peut dimensionner plus petit, donc concevoir une structure plus légère.

L'approche généralement retenue consiste à :

• considérer que la limite d'élasticité est la valeur maximale de la contrainte, ce qui revient à simplifier la courbe de traction ;
• prendre pour critère de ruine le moment où la totalité d'une section subit de la déformation plastique.

Lorsque la section est entièrement plastifiée, la contrainte normale vaut :

• -h/2 ≤ y < 0 : σ(y ) = R_e ;
• 0 < y ≤ h/2 : σ(y ) = -R_e.

Le moment fléchissant vaut

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathrm {f} }=-\int _{-h/2}^{h/2}y\cdot \sigma (y)\cdot \mathrm {dS} }$.

Si la poutre est symétrique, alors

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathrm {f} }=-2\int _{0}^{h/2}y\cdot \sigma (y)\cdot \mathrm {dS} =2\int _{0}^{h/2}y\cdot \mathrm {R_{e}} \cdot \mathrm {dS} =\mathrm {W_{pl}} \times \mathrm {R_{e}} }$

où W_pl est le module de flexion plastique :

${\displaystyle \mathrm {W_{pl}} =2\int _{0}^{h/2}y\cdot \mathrm {dS} }$.

Notons que l'on a

W_pl = 2S_z

où S_z est le moment statique de la demie section.

Par rapport à la flexion élastique, on accepte donc que la poutre subisse un moment fléchissant plus élevé. Le rapport φ entre ces deux moments est appelé « gain » et vaut :

${\displaystyle \varphi ={\frac {{\mathcal {M}}_{\mathrm {f\ max\ pl} }}{{\mathcal {M}}_{\mathrm {f\ max\ {\acute {e}}l} }}}={\frac {\mathrm {W_{pl}} \times \mathrm {R_{e}} }{\mathrm {W_{{\acute {e}}l}} \times \mathrm {R_{e}} }}={\frac {\mathrm {W_{pl}} }{\mathrm {W_{{\acute {e}}l}} }}}$.

C'est un facteur de forme : il ne dépend que de la forme de la section droite.

Lorsque la matière rentre dans le domaine plastique, il est nécessaire de faire intervenir la notion de rotule plastique, qui caractérise la plastification locale de la poutre. Le mécanisme de ruine de la structure peut alors être déterminé en utilisant le théorème cinématique ou le théorème statique de la mécanique des structures.

Déformation

D'après la définition du tenseur des déformations, on a :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}\varepsilon _{11}=z\cdot {\frac {\partial \theta _{y}}{\partial x}}=-z\cdot \gamma _{x}\\[1ex]\varepsilon _{22}=-z\cdot {\frac {\partial \theta _{x}}{\partial y}}=-z\cdot \gamma _{y}\\[1ex]\end{array}}\right.}$

où γ_x est la courbure du feuillet moyen dans le plan xz et γ_y dans le plan yz.

Efforts de cohésion

Moments fléchissants et contraintes normales

Les moments fléchissants m_xy, agissant sur la face normale à x et dont le vecteur est dirigé selon y, et m_yx, agissant sur la face normale à y et dont le vecteur est dirigé selon x, créent une répartition linéaire de la contrainte normale. Cette situation est similaire à celle de la poutre.

Contraintes

On peut évaluer les contraintes à partir de la loi de Hooke :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\varepsilon _{11}={\dfrac {1}{\mathrm {E} }}\cdot (\sigma _{11}-\nu \cdot \sigma _{22})\\[2ex]\varepsilon _{22}={\dfrac {1}{\mathrm {E} }}\cdot (\sigma _{22}-\nu \cdot \sigma _{11})\\\end{matrix}}\right.}$

soit

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\sigma _{11}=-{\dfrac {\mathrm {E} }{1-\nu ^{2}}}\cdot (\gamma _{x}+\nu \gamma _{y})\cdot z\\[2ex]\sigma _{22}=-{\dfrac {\mathrm {E} }{1-\nu ^{2}}}\cdot (\gamma _{y}+\nu \gamma _{x})\cdot z\\\end{matrix}}\right.}$

où E est le module de Young et ν est le coefficient de Poisson.

On peut relier les contraintes normales aux moments fléchissants par le principe d'équivalence ; il faut pour cela choisir une convention, à l'instar des conventions des efforts à gauche ou à droite pour les poutres. Ici, nous choisissons de noter les moments positifs s'ils provoquent une courbure vers le bas, c'est-à-dire si la face supérieure est en compression (σ_ii < 0 pour z > 0) et la face inférieure est en traction (σ_ii > 0 pour z < 0).

Donc, si l'élément de matière fait dx × dy × h, alors

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}m_{xy}\cdot \mathrm {d} y=\int _{-h/2}^{h/2}\left(\sigma _{11}\cdot z\cdot \mathrm {d} y\right)\cdot \mathrm {d} z\\[1ex]m_{yx}\cdot \mathrm {d} x=\int _{-h/2}^{h/2}\left(\sigma _{22}\cdot z\cdot \mathrm {d} x\right)\cdot \mathrm {d} z\\\end{matrix}}\right.}$

soit

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}m_{xy}=-\mathrm {D} \cdot (\gamma _{x}+\nu \gamma _{y})\\m_{yx}=-\mathrm {D} \cdot (\gamma _{y}+\nu \gamma _{x})\\\end{matrix}}\right.}$.

Le terme

${\displaystyle \mathrm {D} ={\dfrac {\mathrm {E} }{1-\nu ^{2}}}\int _{-h/2}^{h/2}z^{2}\cdot \mathrm {d} z={\dfrac {\mathrm {E} h^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}}$

est appelé rigidité flexionnelle. Il joue le même rôle que le facteur E⋅I_Gz pour la flexion d'une poutre.

Comme on a

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\gamma _{x}\simeq {\dfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\\[2ex]\gamma _{y}\simeq {\dfrac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\\\end{matrix}}\right.}$

on en déduit les équations différentielles :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}m_{xy}=-\mathrm {D} \cdot \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\\[1ex]m_{yx}=-\mathrm {D} \cdot \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)\\\end{matrix}}\right.}$.

Dans le cas général, m_xy m_yx sont des fonctions de x et de y.

Cas particuliers

Distribution uniforme de moments sur les côtés d'une plaque rectangulaire

Plaque fléchie par une distribution uniforme de moments sur ses côtés

Nous allons d'abord nous placer dans le cas simple d'une plaque rectangulaire soumise à des moments uniformes à ses bords ; ce cas ne correspond pas à un cas réel particulièrement intéressant, mais permet d'avoir un certain nombre de résultats de manière simple. Cette situation est similaire à la flexion pure d'une poutre (partie centrale de la flexion à quatre points).

Dans notre cas particulier, on est dans le cas de torseurs couples. Si l'on considère un élément de matière n'importe où dans la plaque, on a donc :

m_xy = M_x ;

m_yx = M_y.

Ce sont des constantes, on a donc

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\mathrm {M} _{x}=-\mathrm {D} \cdot (\gamma _{x}+\nu \gamma _{y})\\\mathrm {M} _{y}=-\mathrm {D} \cdot (\gamma _{y}+\nu \gamma _{x})\\\end{matrix}}\right.}$

Dans ce cas-là, la solution est simple : on obtient des courbures uniformes :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\gamma _{x}=-{\dfrac {\mathrm {M} _{x}-\nu \mathrm {M} _{y}}{\mathrm {D} '}}\\[2ex]\gamma _{y}=-{\dfrac {\mathrm {M} _{y}-\nu \mathrm {M} _{x}}{\mathrm {D} '}}\\\end{matrix}}\right.}$

avec

${\displaystyle \mathrm {D} '=(1-\nu ^{2})\mathrm {D} ={\dfrac {\mathrm {E} h^{3}}{12}}}$.

Si l'un des couples extérieurs est nul, par exemple M_y = 0, alors on a

γ_y = -νγ_x,

c'est-à-dire que les deux courbures principales sont opposées (courbe « anticlastique » de type selle de cheval). Dans le cas particulier où M_y = νM_x, on a

γ_y = 0

c'est-à-dire que l'on n'a qu'une courbure que dans un sens. Ce cas est similaire à la flexion pure d'une poutre, mais le résultat est légèrement différent :

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{plaque$ :}}&\mathrm {M} _{x}=-\mathrm {D} \gamma _{x}=-{\dfrac {\mathrm {E} h^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\gamma _{x}\\{\text{poutre :}}&\mathrm {M} _{x}=-\mathrm {E} \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}\gamma _{x}=-{\dfrac {\mathrm {E} h^{3}}{12}}\gamma _{x}\\\end{matrix}}}

Le facteur de différence 1/(1-ν²) provient du fait que la plaque n'a pas la possibilité de s'étendre librement sur les côtés. Dans le cas des métaux (ν ≃ 0,3), on a un écart d'environ 10 % (1/(1-ν²) ≃ 1,10).

Si l'on a M_y = M_x, alors

γ_y = γ_x,

la plaque prend donc la forme d'une calotte de sphère. Ceci est en fait vrai quelle que soit la forme de la plaque, pour toute répartition uniforme des moments.

Bibliographie

• Jean-Louis Fanchon, Guide de mécanique, Nathan, 2001, 543 p. (ISBN 2-09-178965-8), p. 265-396
• Claude Hazard, Frédy Lelong et Bruno Quinzain, Mémotech — Structures métalliques, Paris, Casteilla, 1997, 352 p. (ISBN 2-7135-1751-6), p. 326-336
• D. Spenlé et R. Gourhant, Guide du calcul en mécanique : maîtriser la performance des systèmes industriels, Paris, Hachette, 2003, 272 p. (ISBN 2-01-168835-3), p. 130-208

Articles connexes

• Déflexion
• Flèche (résistance des matériaux)
• Méthode des moments d'aires