Addition

Pour définir la somme de deux ordinaux α et β, on procède comme suit. En premier lieu on renomme les éléments de β de façon qu'ils soient distincts de ceux de α ; ensuite, les éléments de l'ordinal α dans l'ordre sont écrits à gauche des éléments de β, de sorte qu'on définit un ordre sur α∪β dans lequel tout élément de α est strictement plus petit que tout élément de β. Les ordinaux α et β conservent leur ordre initial.

Plus précisément on considère l'union disjointe ${\displaystyle \alpha \sqcup \beta }$ de α et β, c'est-à-dire l'ensemble ${\displaystyle (\{0\}\times \alpha )\cup (\{1\}\times \beta )}$ que l'on ordonne lexicographiquement : ${\displaystyle (i,\gamma )<(j,\gamma ')}$ si et seulement si ${\displaystyle i<j}$ ou (${\displaystyle i=j}$ et ${\displaystyle \gamma <\gamma '}$).

De cette façon, on définit un bon ordre sur ${\displaystyle \alpha \sqcup \beta }$ ; cet ensemble bien ordonné est isomorphe à un unique ordinal que l'on note α + β.

On peut également définir la somme par récurrence transfinie de la façon suivante :

• ${\displaystyle \alpha +0=\alpha }$
• ${\displaystyle \alpha +(\beta +1)=(\alpha +\beta )+1}$
• si ${\displaystyle \beta }$ est un ordinal limite, alors ${\displaystyle \alpha +\beta =\cup _{\gamma <\beta }(\alpha +\gamma )}$, ordinal limite (ou borne supérieure) des ${\displaystyle \alpha +\gamma }$ pour ${\displaystyle \gamma <\beta }$.

On vérifie facilement (par induction transfinie) que les deux définitions coïncident.

Donnons quelques exemples.

Si α et β sont des ordinaux finis, c'est-à-dire des entiers naturels, alors leur somme au sens ordinal est égale à leur somme au sens arithmétique.

ω est le premier ordinal infini, correspondant à l'ensemble des entiers naturels. Essayons de visualiser ω + ω. Deux copies de ω sont placées l'une à la suite de l'autre. Si nous notons {0<1<2<...} la première copie et {0'<1'<2', …} la deuxième copie, alors ω + ω ressemble à ceci :

0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2' < ...

Cet ordinal est différent de ω car dans ω, 0 est le seul élément à ne pas avoir de prédécesseur direct, alors que dans ω + ω, 0 et 0' n'ont pas de prédécesseurs directs.

Considérons maintenant 3 + ω et ω + 3.

0 < 1 < 2 < 0' < 1' < 2' < ...

0 < 1 < 2 < ... < 0' < 1' < 2'

Après renommage, le premier est comparable à ω lui-même, mais pas le deuxième. On a donc 3 + ω = ω mais ω < ω + 3. On peut voir également, en utilisant la définition formelle, que ω + 3 est le successeur de ω + 2 alors que 3 + ω est un ordinal limite, à savoir l'ordinal limite réunion de 3 + 0, 3 + 1, 3 + 2, … qui n'est autre que ω lui-même.

Ainsi, l'addition n'est pas commutative, par contre, on peut montrer qu'elle est associative.

On peut également montrer que :

${\displaystyle \alpha <\beta \Longrightarrow \alpha +\gamma \leq \beta +\gamma \quad {\text{et}}\quad \gamma +\alpha <\gamma +\beta }$.

A fortiori, il y a une simplification à gauche :

${\displaystyle \gamma +\alpha =\gamma +\beta \Longrightarrow \alpha =\beta }$.

À droite, on n'a rien de tel, puisque 3 + ω = 0 + ω.

On a

${\displaystyle \alpha \leq \beta \Leftrightarrow \exists \gamma \;(\beta =\alpha +\gamma )}$.

La solution ${\displaystyle \gamma }$ (unique par simplification à gauche) est parfois notée –α + β^[6]. C'est l'ordinal isomorphe à l'ensemble bien ordonné β\α.

Multiplication

Pour multiplier deux ordinaux α et β, on écrit dans l'ordre les éléments de β, et l'on remplace chacun d'eux par différentes copies de la liste ordonnée des éléments de α.

Plus précisément on considère le produit cartésien α×β que l'on ordonne lexicographiquement par la droite : ${\displaystyle (\gamma _{1},\gamma _{2})<(\gamma '_{1},\gamma '_{2})}$ ssi ${\displaystyle \gamma _{2}<\gamma '_{2}}$ ou ${\displaystyle \gamma _{2}=\gamma '_{2}}$ et ${\displaystyle \gamma _{1}<\gamma '_{1}}$.

On obtient un ensemble bien ordonné qui est isomorphe à un unique ordinal, noté αβ.

On peut également définir le produit par récurrence transfinie :

• ${\displaystyle \alpha 0=0}$
• ${\displaystyle \alpha (\beta +1)=\alpha \beta +\alpha }$
• si ${\displaystyle \beta }$ est un ordinal limite, ${\displaystyle \alpha \beta =\cup _{\gamma <\beta }(\alpha \gamma )}$, ordinal limite (ou borne supérieure) des ${\displaystyle \alpha \gamma }$ pour ${\displaystyle \gamma <\beta }$.

Comme pour la somme, on montre facilement par induction transfinie que les deux définitions coïncident. Lorsqu'on les applique à des ordinaux finis on retrouve le produit usuel des entiers naturels.

Voici ω2 :

0₀ < 1₀ < 2₀ < 3₀ < ... < 0₁ < 1₁ < 2₁ < 3₁ < ...

et l'on voit que ω2 = ω + ω.

Par contre, 2ω ressemble à ceci :

0₀ < 1₀ < 0₁ < 1₁ < 0₂ < 1₂ < 0₃ < 1₃ < ...

de sorte que 2ω = ω. La multiplication des ordinaux n'est donc pas commutative. Par contre, on peut montrer qu'elle est associative.

Les principales autres propriétés du produit sont :

• ${\displaystyle \alpha 1=1\alpha =\alpha }$ ;
• ${\displaystyle \alpha \beta =0\Leftrightarrow (\alpha =0}$ ou ${\displaystyle \beta =0)}$ ;
• ${\displaystyle \alpha (\beta +\gamma )=\alpha \beta +\alpha \gamma }$ (distributivité à gauche).
  • a fortiori, ${\displaystyle (\alpha <\beta }$ et ${\displaystyle \gamma >0)\Rightarrow \gamma \alpha <\gamma \beta }$ ;
    • en particulier, ${\displaystyle (\gamma \alpha =\gamma \beta }$ et ${\displaystyle \gamma >0)\Rightarrow \alpha =\beta }$ (simplification à gauche)
      mais on n'a pas les analogues à droite. Par exemple, on a vu que 2ω = 1ω ;
• soit α un ordinal et β > 0, il existe un unique couple (γ, δ) tel que δ < β et α = βγ + δ (division à droite analogue à la division euclidienne sur les entiers).

Exponentiation

Pour un exposant fini, on peut se ramener au produit. Par exemple, ω² = ωω. Mais on peut visualiser cet ordinal comme l'ensemble des couples d'entiers, ordonné selon l'ordre lexicographique suivant, où l'ordre sur les entiers de droite a plus de poids que l'ordre sur les entiers de gauche :

(0,0) < (1,0) < (2,0) < (3,0) < ... < (0,1) < (1,1) < (2,1) < (3,1) < ... < (0,2) < (1,2) < (2,2) < ...

et de même, pour un n fini, ωⁿ peut-être vu comme l'ensemble des n-uplets d'entiers.

Si on tente d'étendre ce procédé à ω^ω, on obtient :

(0,0,0,...) < (1,0,0,0,...) < (2,0,0,0,...) < ... <

(0,1,0,0,0,...) < (1,1,0,0,0,...) < (2,1,0,0,0,...) < ... <

(0,2,0,0,0,...) < (1,2,0,0,0,...) < (2,2,0,0,0,...)

< ... <

(0,0,1,0,0,0,...) < (1,0,1,0,0,0,...) < (2,0,1,0,0,0,...)

< ...

Chaque élément du tableau est une suite infinie d'entiers, mais si l'on prend des suites quelconques, l'ordre ainsi défini n'est pas un bon ordre. Par exemple, cette suite infinie est strictement décroissante :

(1,1,1,...) > (0,1,1,1,...) > (0,0,1,1,1,...) > ...

Pour obtenir un bon ordre, on se limite aux suites d'entiers n'ayant qu'un nombre fini d'éléments non nuls : étant donnés deux ordinaux α et β, on considère l'ensemble α^(β) des fonctions de β dans α dont le support est fini (le support de ${\displaystyle f:\beta \rightarrow \alpha }$ est l'ensemble des ${\displaystyle \gamma \in \beta }$ tels que ${\displaystyle f(\gamma )\neq 0}$). Soient f et g deux telles fonctions. On pose f < g s'il existe ${\displaystyle \gamma _{0}\in \beta }$ tel que

${\displaystyle f(\gamma _{0})<g(\gamma _{0})\quad {\text{ et }}\quad \forall \gamma >\gamma _{0},\;f(\gamma )=g(\gamma )}$.

On vérifie que α^(β) est alors bien ordonné, donc isomorphe à un unique ordinal noté α^β. Dans le cas où β est fini, on voit immédiatement que α^(β) = αα…α (produit de β termes). Dans le cas où α = ω, l'ordre que l'on a construit sur ω^(β) est connu sous le nom d'ordre multiensemble.

Comme pour la somme et le produit, on peut également définir α^β par récurrence transfinie de la façon suivante :

• ${\displaystyle \alpha ^{0}=1}$
• ${\displaystyle \alpha ^{\beta +1}=\alpha ^{\beta }\alpha }$
• si ${\displaystyle \beta }$ est un ordinal limite alors ${\displaystyle \alpha ^{\beta }=\cup _{\gamma <\beta }(\alpha ^{\gamma })}$.

Voici quelques propriétés de l'exponentiation :

• ${\displaystyle \alpha ^{\beta }=0\Leftrightarrow (\alpha =0\land \beta >0)}$ ;
• ${\displaystyle \alpha ^{\beta }=1\Leftrightarrow (\alpha =1\lor \beta =0)}$ ;
• ${\displaystyle \alpha ^{\beta }\alpha ^{\delta }=\alpha ^{\beta +\delta }}$ ;
  • a fortiori, ${\displaystyle (\beta <\gamma \land \alpha >1)\Rightarrow \alpha ^{\beta }<\alpha ^{\gamma }}$ ;
    • en particulier, ${\displaystyle (\alpha ^{\beta }=\alpha ^{\gamma }\land \alpha >1)\Rightarrow \beta =\gamma }$
      mais on n'a pas d'analogues par rapport à l'autre argument. Par exemple, ${\displaystyle 2^{\omega }=\omega =(2.2)^{\omega }\neq 2^{\omega }2^{\omega }}$ ;
• ${\displaystyle \alpha \leq \beta \Rightarrow \alpha ^{\gamma }\leq \beta ^{\gamma }}$ ;
• ${\displaystyle (\alpha ^{\beta })^{\gamma }=\alpha ^{\beta \gamma }}$ ;
• si β > 0 et α > 1, alors il existe un unique ordinal ${\displaystyle \delta }$ tel que ${\displaystyle \alpha ^{\delta }\leq \beta <\alpha ^{\delta +1}}$.

Remarque : on prendra garde que l'exponentiation des ordinaux n'a que peu de rapport avec l'exponentiation des cardinaux. Par exemple, ${\displaystyle 2^{\omega }=\omega }$ est un ordinal dénombrable, alors que, dans les cardinaux, ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ désigne le cardinal de ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\aleph _{0})}$, ensemble des parties de ${\displaystyle \aleph _{0}}$, et a la puissance du continu. L'ambiguïté est levée si on convient d'utiliser les lettres grecques en calcul ordinal et la lettre ${\displaystyle \aleph }$ pour les cardinaux.

La suite des ordinaux transfinis commence comme suit :

${\displaystyle \omega <\omega +1<\omega +2<\dots <\omega +\omega =\omega 2<\dots <\omega 3<\dots <\omega \omega =\omega ^{2}<\dots <\omega ^{\omega }<\dots <\omega ^{\omega ^{\omega }}<\dots }$

Il existe des nombres ordinaux transfinis qui ne peuvent pas être obtenus en effectuant un nombre fini d'opérations arithmétiques n'utilisant que les nombres ordinaux finis et ${\displaystyle \omega }$. Le plus petit d'entre eux est appelé ε₀ et vaut ${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdots }}}}$. C'est le plus petit ordinal solution de l'équation ${\displaystyle x=\omega ^{x}}$. On peut ensuite définir ε₀^ε₀, ε₀^ε₀ε₀, etc. jusqu'à ε₁, deuxième solution de x = ω^x.

On peut de même définir ε₂, ε₃, … , ε_ω, … , ε_ε₀…

Tous ces ordinaux, construits en utilisant les opérations successeur et limite d'ordinaux déjà construits, sont dénombrables. On désigne par Ω, ou ω₁, le premier ordinal non dénombrable. Il contient tous les ordinaux dénombrables. Toute suite définie dans Ω admet un majorant dans Ω, la réunion de ses éléments (qui est un ordinal dénombrable).

Forme normale de Cantor

On peut généraliser aux ordinaux la notation en base dix usuelle des entiers naturels. En prenant comme base un ordinal λ ≥ 2, tout ordinal α ≥ 1 s'écrit de façon unique

${\displaystyle \alpha =\lambda ^{\beta _{1}}\delta _{1}+\lambda ^{\beta _{2}}\delta _{2}+\cdots +\lambda ^{\beta _{k}}\delta _{k}}$

avec k un entier naturel, β₁ > ... > β_k et pour i ≤ k, 0 < δ_i < λ.

Mais cette écriture en base λ n'est utile que pour les ordinaux α strictement inférieurs à la limite de λ, λ^λ, λ^(λλ), ... En effet la limite μ de cette suite vérifie μ = λ^μ, qui est sa forme normale de Cantor en base λ, laquelle forme est sans intérêt. En base 10, on ne peut donc atteindre que les ordinaux finis, c'est-à-dire les entiers naturels.

En base ω, on pose ε₀ le plus petit ordinal tel que ${\displaystyle \omega ^{\varepsilon _{0}}=\varepsilon _{0}}$ (la limite des puissances de ω). En mettant également les β_i sous forme normale, un ordinal α < ε₀ s'écrit en base ω par exemple

${\displaystyle \alpha =\omega ^{\omega ^{\omega 6+42}\cdot 1729+\omega ^{9}+88}+\omega ^{\omega ^{\omega }}+65537}$

Les opérations sur les ordinaux sont simples sous forme normale :

• l'addition ω^βc + ω^β'c'=
  • ω^β'c' si β<β'
  • est déjà sous forme normale si β>β'
  • ω^β(c+c') si β=β'
• la multiplication reste ω^βc.ω^β'c = ω^β+β'c.

On notera une variante de cette forme normale qui écrit :

${\displaystyle \alpha =\omega ^{\beta _{1}}+\omega ^{\beta _{2}}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}}$

en forçant ${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{k}=1}$ avec cette fois-ci des répétitions possibles :

${\displaystyle \beta _{1}\geq \beta _{2}\geq \ldots \geq \beta _{k}}$.

En arithmétique

Le théorème de Goodstein est un théorème d'arithmétique dont la démonstration repose sur la théorie des ordinaux. Ce théorème pose la question de savoir si une certaine suite à valeurs entières finit par prendre la valeur 0. On associe à cette suite d'entiers une suite d'ordinaux strictement décroissante. Compte tenu du bon ordre des ordinaux, une telle suite est effectivement finie. La suite possède une définition relativement simple, pourtant on peut démontrer que le théorème de Goodstein n'est pas démontrable en utilisant uniquement les propriétés de l'arithmétique usuelle et donc que l'utilisation des ordinaux infinis permet de démontrer des résultats arithmétiques indécidables dans l'arithmétique.

En analyse

Les ordinaux ont été définis par Cantor à la suite de ses études sur la convergence des séries trigonométriques. Si une telle série ${\displaystyle \sum a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)}$ est nulle sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$, alors tous les coefficients a_n et b_n sont nuls. Cantor va chercher à affaiblir les hypothèses en réduisant le domaine sur lequel la série s'annule. Il montre que le résultat reste vrai si la série est nulle sauf en un nombre fini de points. Puis il introduit la notion suivante. Si P est une partie d'un segment [a, b], il définit l'ensemble dérivé de P, noté P¹, comme l'ensemble des points d'accumulation de P ou, de manière équivalente, comme l'ensemble P duquel ont été retirés tous les points isolés. Pour tout entier n, il définit Pⁿ⁺¹ comme étant le dérivé de l'ensemble Pⁿ. Il montre que, si la série trigonométrique est nulle sur [0, 2π] en dehors d'un ensemble P pour lequel l'un des Pⁿ est vide, alors les coefficients sont nuls.

Cherchant à prolonger ce résultat si les Pⁿ sont tous non vides, il définit alors ${\displaystyle P^{\omega }=\cap _{n\in \mathbb {N} }P^{n}}$, puis P^ω+1 comme étant le dérivé de P^ω. D'une manière générale, on définit, pour tout ordinal α, l'ensemble P^α+1 comme étant l'ensemble dérivé de P^α, et si α est un ordinal limite, P^α comme étant ${\displaystyle \cap _{\beta <\alpha }P^{\beta }.}$

René Baire reprendra cette démarche pour la convergence simple des suites de fonctions continues vers une fonction discontinue. Il définit une partie réductible P comme une partie pour laquelle il existe un ordinal α tel que P^α soit vide. Baire montre ensuite que si f est une fonction telle que l'ensemble des points où elle est discontinue est un ensemble réductible, alors f est limite simple d'une suite de fonctions continues.

Dans le cas contraire, la suite des P^α se stabilise avant l'ensemble P^Ω, où Ω désigne, à nouveau, le premier ordinal non dénombrable. On montre que P^Ω est un ensemble parfait.

En topologie

Soit α un ordinal. Notons [0, α] l'ensemble des ordinaux inférieurs ou égaux à α. Cet ensemble peut être muni d'une structure topologique : la topologie de l'ordre, dont une prébase d'ouverts est constituée des parties {x | x > β} et {x | x < β} pour tout ordinal β inférieur ou égal à α. Ces topologies sont sources de nombreux exemples et contre-exemples.

Ainsi, si l'on prend α = ω, alors [0, ω[ est l'ensemble ℕ muni de sa topologie discrète usuelle. Son compactifié d'Alexandrov est [0, ω].

Si l'on prend α = ω₁, le premier ordinal non dénombrable (noté ci-dessus Ω), alors aucune suite strictement inférieure à ω₁ ne peut converger vers ω₁, bien que ω₁ appartienne à l'adhérence de [0, ω₁[. En particulier, ω₁ n'admet pas de base dénombrable de voisinages et c'est le seul point de [0, ω₁] qui soit dans ce cas.

Dans tout espace [0, α], les points de la forme β + 1 sont isolés. L'espace [0, α] est compact. Les espaces [0, α] et [0, α[ sont normaux. La planche de Tychonoff [0, ω₁]×[0, ω] est normale mais pas complètement normale. La planche de Tychonoff épointée, [0, ω₁]×[0, ω] \ {(ω₁, ω)}, est complètement régulière mais n'est pas normale. L'espace [0, ω₁] est complètement normal, mais pas parfaitement normal. L'espace [0, ω₁]×[0, ω₁] \ {(ω₁, ω₁)} est faiblement normal mais pas normal.

Une construction similaire donne naissance à la longue droite, un espace topologique analogue à la droite réelle, mais « beaucoup plus long ».