Preuve sans mots de l'égalité
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ = 1

Illustration de l'égalité
1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ = 1/3 :
chacun des carrés violets mesure 1/4 de la surface du grand carré le plus proche (1/2×1/2 = 1/4, 1/4×1/4 = 1/16, etc.). Par ailleurs, la somme des aires des carrés violets est égale à un tiers de la superficie du grand carré.

En mathématiques, la série géométrique est l'un des exemples de série numérique les plus simples. C'est la série associée à une suite géométrique, c'est-à-dire la suite des sommes partielles des termes de cette suite. Intuitivement, une série géométrique est une série avec un ratio constant des termes successifs. Par exemple, la série

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots }$

est géométrique, parce que chaque terme est le produit du précédent par 1/2.

Elle admet, dans les algèbres de Banach, une généralisation qui permet d'étudier les variations de l'inverse d'un élément.

Définition dans le corps des réels

Soit ${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ une suite géométrique à valeurs réelles de terme initial ${\displaystyle u_{0}=a\in \mathbb {R} }$ et de raison ${\displaystyle q\in \mathbb {R} }$. La suite ${\displaystyle (S_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ des sommes partielles de cette suite est définie par

${\displaystyle S_{n}=\sum _{0\leq k\leq n}u_{k}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots +u_{n}}$

Accessoirement, on peut en déduire l'élément suivant de la suite ${\displaystyle (u_{k})}$ :

${\displaystyle u_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}=(a+qS_{n})-S_{n}=a+(q-1)S_{n}.}$

Terme général

Sachant que le terme général de la suite géométrique (u_k) est u_k = aq^k, et en excluant le cas q = 1 qui donne S_n = (n + 1)a, le terme général de la suite (S_n) des sommes partielles de la série s'écrit :

${\displaystyle S_{n}=a\sum _{0\leq k\leq n}q^{k}=a\,{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}}$.

De manière plus générale, pour une suite géométrique de raison q et dont on veut connaître la somme partielle entre les naturels i et j (i ≤ j), la formule est la suivante :

${\displaystyle S=S_{j}-S_{i-1}=a\,\sum _{k=i}^{j}q^{k}=a\,{\frac {q^{i}-q^{j+1}}{1-q}}}$.

Convergence et divergence

On cherche à trouver les cas où la série géométrique est convergente, c'est-à-dire où la suite (S_n) est convergente. On va distinguer trois cas (tout en éliminant le cas a = 0 qui est sans intérêt) :

• Si ${\displaystyle |q|<1}$, alors ${\displaystyle q^{n}}$ tend vers 0, donc la suite (S_n) est convergente, de limite${\displaystyle a{\frac {1-0}{1-q}}={\cfrac {a}{1-q}}.}$Ce calcul permet de résoudre le paradoxe d'Achille et de la tortue énoncé par les Grecs anciens. Il justifie aussi l'égalité 0,9999… = 1 (pour a = 0,9 et q = 1/10).
• Si ${\displaystyle |q|=1}$, on a deux cas. Si q = 1, alors S_n = (n + 1)a et si q = –1, alors S_n = 0 pour n impair et S_n = a pour n pair. La suite diverge dans les deux cas.
• Si ${\displaystyle |q|>1}$, la suite ${\displaystyle (q^{n})}$ diverge et a fortiori (S_n) diverge grossièrement.

Ces sommes sont dites géométriques, parce qu'elles apparaissent en comparant des longueurs, des aires, des volumes, etc. de formes géométriques dans différentes dimensions.

On dispose donc du résultat général suivant^{[3],[4],[5],[6],[7]} :

La série géométrique réelle de terme initial ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ non nul et de raison ${\displaystyle q\in \mathbb {R} }$ est convergente si et seulement si ${\displaystyle |q|<1}$. Dans ce cas, sa somme vaut^[8] :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }aq^{n}={\frac {a}{1-q}}.}$

Généralisation au corps des complexes

Les résultats s'étendent très naturellement au corps des nombres complexes.

Une série géométrique de premier terme ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ et de raison ${\displaystyle q\in \mathbb {C} }$ est la série de terme général ${\displaystyle aq^{n}}$.

Une condition nécessaire et suffisante de convergence est, si a est non nul, que la raison q soit un complexe de module strictement inférieur à 1.

Les séries géométriques sont les exemples les plus simples de séries entières dont on dispose. Leur rayon de convergence est 1, et le point 1 est une singularité (et plus précisément, un pôle).

Séries géométriques dans les algèbres de Banach unitaires

Si ${\displaystyle (A,\|.\|)}$ désigne une algèbre de Banach unitaire (réelle ou complexe), d'élément unité e, la série géométrique de raison ${\displaystyle u\in A}$ et de premier terme e est la série de terme général ${\displaystyle u^{n}}$.

La sous-multiplicativité donne : ${\displaystyle \|u^{n}\|\leq \|u\|^{n}}$ pour tout entier naturel non nul n.

Lorsque ${\displaystyle \|u\|<1}$, la série géométrique réelle de terme général ${\displaystyle \|u\|^{n}}$ est convergente, donc la série vectorielle de terme général ${\displaystyle u^{n}}$ est absolument convergente.

Notons s sa somme (${\displaystyle s\in A}$) ; elle commute avec u. Alors :

${\displaystyle (e-u)s=s(e-u)=s-us=\sum _{n=0}^{+\infty }u^{n}-\sum _{n=0}^{+\infty }u^{n+1}=\sum _{n=0}^{+\infty }u^{n}-\sum _{n=1}^{+\infty }u^{n}=e.}$

Donc ${\displaystyle e-u}$ est inversible dans A dès que ${\displaystyle \|u\|<1}$, et son inverse est ${\displaystyle s=\sum _{n=0}^{+\infty }u^{n}}$.

C'est un résultat fondamental ; en voici quelques conséquences, énoncées sans démonstration :

• l'ensemble des éléments inversibles de ${\displaystyle A}$ (son groupe des unités) est un ouvert ;
• dans le cas où A est une algèbre de Banach complexe, le spectre de tout élément x de A — l'ensemble des complexes ${\displaystyle \lambda }$ tels que ${\displaystyle \lambda e-x}$ ne soit pas inversible — est une partie fermée non vide et bornée de ℂ ;
• sur son domaine de définition, l'application ${\displaystyle \lambda \mapsto (\lambda e-x)^{-1}}$ est développable en série entière.

Notes et références

Bibliographie

• Éric J.-M. Delhez, Analyse Mathématique, Tome II, Université de Liège, Belgique, juillet 2005, p. 344.
• Mohammed El Amrani, Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, Paris, Ellipses, 2011, 456 p. (ISBN 978-2-7298-7039-3)
• Jean Dieudonné, Éléments d'analyse, t. I : Fondements de l'analyse moderne [détail des éditions]