Traction simple

Effort normal et contrainte

L'effort normal N correspond à de la traction simple, on a donc la contrainte uniforme

${\displaystyle \sigma _{xx}={\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {S} }}}$.

Cisaillement

Cisaillement simple : les forces sont coaxiales

Effort tranchant et cission dans le cas du cisaillement simple.

Les efforts tranchants T_y et T_z causent le cisaillement, mais il faut distinguer deux cas : celui du cisaillement simple et celui de la flexion simple. Dans les deux cas, les efforts extérieurs sont appliqués parallèlement à la section droite, c'est-à-dire perpendiculairement à la courbe moyenne.

Dans le cas du cisaillement simple, les efforts sont appliqués à la même abscisse x. Hormis au droit des points d'application des efforts, les contraintes sont uniformes (principe de Barré de Saint-Venant) :

• ${\displaystyle \tau _{yx}={\frac {\mathrm {T} _{y}}{\mathrm {S} }}}$, et
• ${\displaystyle \tau _{zx}={\frac {\mathrm {T} _{z}}{\mathrm {S} }}}$.

Présence de cisaillement selon y associé au cisaillement selon x, nécessaire pour éviter la rotation d'un élément de matière

Si l'on isole un petit élément cubique de matière, on voit que la cission qu'il subit sur les sections droites devraient le faire tourner. Il subit donc également une cission sur les faces perpendiculaires à l'axe (Gy)^[3]. Il y a donc également cisaillement entre les fibres adjacentes. On peut voir cela en faisant fléchir un paquet de cartes : les cartes glissent les unes sur les autres ; la poutre peut se voir comme un paquet dont les cartes seraient collées, la force de l'adhérence empêchant les cartes de glisser.

Flexion simple : les forces sont décalées.

Effort tranchant et cission dans le cas de la flexion simple.

Dans le cas de la flexion simple, les efforts sont appliqués à des abscisses différentes. Cette contrainte ne génère que peu de risque de rupture et est donc généralement négligée (modèle de Bernoulli). Dans ce cas-là, la répartition des contraintes n'est plus uniforme (principe de Saint-Venant n'est plus valide) : la contrainte sur une surface libre est nécessairement dans le plan de la surface, donc la cission sur les faces extérieures est nulle. On a donc une cission qui croît lorsque l'on s'approche de la fibre neutre. La contrainte maximale vaut alors :

• poutre de section rectangulaire pleine : ${\displaystyle \tau _{\mathrm {max} }={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {\mathrm {T} }{\mathrm {S} }}}$ ;
• poutre de section circulaire pleine : ${\displaystyle \tau _{\mathrm {max} }={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {\mathrm {T} }{\mathrm {S} }}}$ ;
• tube circulaire mince : ${\displaystyle \tau _{\mathrm {max} }\simeq 2\cdot {\frac {\mathrm {T} }{\mathrm {S} }}}$ ;

où S est l'aire de la section droite. On voit que sur ces exemples là, la contrainte est 1,5 à 2 fois supérieure au cas du cisaillement simple.

Flexion pure

Moment fléchissant et répartition de contrainte.

Les moments fléchissants M_fy et M_fz correspondent à de la flexion. Du fait de l'hypothèse de Bernoulli (les sections droites restent perpendiculaires à la courbe moyenne) :

• la fibre neutre a un allongement nul ;
• les fibres à l'extérieur de la courbure sont étirées ;
• les fibres à l'intérieur de la courbure sont comprimées.

La contrainte varie de manière linéaire :

${\displaystyle \sigma _{xx}=-{\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\cdot y}$

où I_Gz est le moment quadratique d'axe (Gz), calculé en fonction de la forme de la section droite.

Le risque de rupture se situe sur la face en extension de la poutre. Si l'on appelle V l'ordonnée du point situé sur cette face, la contrainte y vaut :

${\displaystyle \sigma _{xx\ \mathrm {max} }=-{\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\cdot \mathrm {V} =-{\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\frac {\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}{\mathrm {V} }}}}$.

La grandeur I_Gz/V est appelée « module de flexion ».

Si la poutre est symétrique et de hauteur h, on a

V = ±h/2.

Note

Comme c'est la valeur absolue de la contrainte qui nous intéresse, on trouve souvent les expressions

${\displaystyle \sigma _{xx}={\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\cdot y}$

et

${\displaystyle \sigma _{xx\ \mathrm {max} }={\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\frac {\mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}{\mathrm {V} }}}}$.

Torsion

Répartition des contraintes sur l'axe vertical dans le cas d'un arbre plein (gauche) et d'un tube (droite).

Nous nous plaçons dans le cas d'une poutre cylindrique (typiquement un arbre de transmission) et en petites déformations. La torsion provoque une contrainte de cisaillement τ qui est proportionnelle à la distance r par rapport à l'axe :

${\displaystyle \tau (r)={\frac {\mathrm {M_{t}} }{\mathrm {I_{G}} }}r}$

où :

• M_t est le moment de torsion ;
• I_G est le moment quadratique de torsion, dépendant de la forme de la section (diamètre extérieur, et diamètre intérieur dans le cas d'un tube).

Si M_t est exprimé en N mm, que I_G est en mm⁴ et r est en mm, alors τ(r ) est en MPa. La contrainte de cisaillement maximale vaut

${\displaystyle \tau (v)={\frac {\mathrm {M_{t}} }{\mathrm {I_{G}} }}v={\frac {\mathrm {M_{t}} }{\left({\frac {\mathrm {I_{G}} }{v}}\right)}}}$

où v est le rayon extérieur de la pièce. La quantité (I_G/v ) est appelée module de torsion, et est exprimé en mm³ pour les calculs.

Le moment quadratique et le module de torsion sont en général tabulés en cm⁴ et cm³ respectivement.

Sollicitations composées

Flexion + traction.

Flexion déviée

Flexion + torsion.

En décomposant la sollicitation composée en sollicitations simples, on peut déterminer le tenseur des contraintes en tout point. Il faut ensuite déterminer un effort de comparaison suivant un des critères de Tresca ou de von Mises.

On distingue trois cas habituels :

• traction ou compression + flexion : cas d'un effort parallèle à l'axe, mais s'exerçant à distance de l'axe, ou bien cas d'un réservoir d'eau sous pression ;
• flexion déviée : effort ne se faisant pas selon un axe ;
• flexion + torsion : cas d'un arbre transmettant une puissance via un pignon ou une poulie : la force est perpendiculaire à l'axe et à distance de l'axe.

Dans ce dernier cas, on peut se ramener à un cas de flexion simple en calculant un moment de torsion idéal et un moment de flexion idéal (formule de Coulomb, formule de Rankine, formule de Saint Venant).

En traction-compression

La fibre neutre reste droite, et la longueur finale l est donnée par l'intégration de la loi de Hooke :

${\displaystyle l={\frac {l_{0}\mathrm {N} }{\mathrm {S} \mathrm {E} }}+l_{0}}$,

avec ${\displaystyle N}$ l'effort normal.

En flexion d'axe z

Intuitivement, la courbure γ en un point est proportionnelle au moment fléchissant M_f, et inversement proportionnelle à la rigidité de la poutre. Cette rigidité dépend du matériau, par le module de Young E, et du profil de la section droite, par le moment quadratique I_Gz. On a donc :

${\displaystyle \gamma ={\frac {\mathrm {M_{f}} }{\mathrm {E} \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}}$.

Par ailleurs, en petites déformations, on peut faire l'hypothèse que

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\simeq \gamma }$

soit

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {\mathrm {M_{f}} }{\mathrm {E} \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\Longrightarrow \mathrm {E} \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=\mathrm {M_{f}} }$.

Cette équation différentielle est souvent notée

${\displaystyle \mathrm {E} \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}y''=\mathrm {M_{f}} }$.

Si la poutre est de section constante et de matériau homogène, alors le terme EI_Gz est une constante et l'on obtient la déformée en intégrant simplement deux fois M_f par rapport à x, en tenant compte des conditions aux limites.

Poutre bi-appuyée soumise à une force concentrée en son centre.

Diagramme des moments fléchissants.

Par exemple, dans le cas d'une poutre de longueur L sur deux appuis avec une force F s'exerçant en son centre :

sur la première moitié (0 ≤ x ≤ L/2), le moment fléchissant vaut ${\displaystyle \mathrm {M_{f}} (x)={\frac {\mathrm {F} }{2}}x}$, donc

${\displaystyle \mathrm {E} \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}y'(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {F} }{2}}t\mathrm {d} t+\mathrm {A} ={\frac {\mathrm {F} }{4}}x^{2}+\mathrm {A} }$.

Par symétrie, la poutre est horizontale en son centre (condition limite), on a ${\displaystyle y'(\mathrm {L} /2)=0}$ soit

${\displaystyle {\frac {\mathrm {F} }{4}}\left({\frac {\mathrm {L} }{2}}\right)^{2}+\mathrm {A} =0}$

et ainsi

${\displaystyle \mathrm {A} =-{\frac {\mathrm {F} \mathrm {L} ^{2}}{16}}}$.

Donc

${\displaystyle \mathrm {E} \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}y(x)=\int _{0}^{x}\left({\frac {\mathrm {F} }{4}}t^{2}-{\frac {\mathrm {F} \mathrm {L} ^{2}}{16}}\right)\mathrm {d} t+\mathrm {B} ={\frac {\mathrm {F} }{12}}x^{3}-{\frac {\mathrm {F} \mathrm {L} ^{2}}{16}}x+\mathrm {B} }$.

Le déplacement est nul aux appuis (condition limite) donc ${\displaystyle y(0)=0}$ soit B = 0. On a donc

${\displaystyle y(x)={\frac {1}{\mathrm {E} \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\left({\frac {\mathrm {F} }{12}}x^{3}-{\frac {\mathrm {F} \mathrm {L} ^{2}}{16}}x\right)}$.

La forme de la deuxième moitié est symétrique ; elle est décrite par un autre polynôme de forme similaire.

La flèche (déplacement maximal) est au centre x = L/2 :

${\displaystyle f=-{\frac {\mathrm {F} \mathrm {L} ^{3}}{48\mathrm {E} \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}}$.

En torsion

Nous ne considérons ici que le cas d'une poutre cylindrique de longueur L. Une extrémité tourne par rapport à l'autre d'un angle θ (en radians). On peut donc définir un angle de torsion unitaire α = θ/L (en rad/m).

De manière intuitive, cet angle unitaire dépend :

• de l'effort, c'est-à-dire du moment de torsion M_t supposé ici uniforme ;
• de la rigidité de la poutre, qui dépend :
  • de la rigidité du matériau, via le module de Coulomb G,
  • de la rigidité de la section, via son moment quadratique de torsion I_G ;

soit

${\displaystyle \alpha ={\frac {\mathrm {M_{t}} }{\mathrm {G} \mathrm {I_{G}} }}}$.

Donc, si l'on suppose que la section en x = 0 reste fixe, la section à l'abscisse x quelconque a tourné de

${\displaystyle \theta (x)=\alpha x={\frac {\mathrm {M_{t}} }{\mathrm {G} \mathrm {I_{G}} }}x}$

et en particulier

${\displaystyle \theta (\mathrm {L} )={\frac {\mathrm {M_{t}} \mathrm {L} }{\mathrm {G} \mathrm {I_{G}} }}}$.