Diagramme contrainte-déformation d'un matériau ductile.

Un module d'élasticité peut être déterminé à partir de la géométrie, de la raideur et de l'angle de phase de l'échantillon.

Le module de Young, module d’élasticité (longitudinale) ou module de traction est la constante qui relie la contrainte de traction (ou de compression) et le début de la déformation d'un matériau élastique isotrope.

Dans les ouvrages scientifiques utilisés dans les écoles d'ingénieurs, il a été longtemps appelé module d'Young.

Le physicien britannique Thomas Young (1773-1829) avait remarqué que le rapport entre la contrainte de traction appliquée à un matériau et la déformation qui en résulte (un allongement relatif) est constant, tant que cette déformation reste petite et que la limite d'élasticité du matériau n'est pas atteinte. Cette loi d'élasticité est la loi de Hooke :

${\displaystyle \sigma =E\ \varepsilon }$

où :

• σ est la contrainte (en unité de pression) ;
• E est le module de Young (en unité de pression) ;
• ε est l'allongement relatif, ou déformation (adimensionnel) ; (ε = ℓ – ℓ₀/ℓ₀).

Le module de Young est la contrainte mécanique qui engendrerait un allongement de 100 % de la longueur initiale d'un matériau (il doublerait donc de longueur), si l'on pouvait l'appliquer réellement : dans les faits, le matériau se déforme de façon permanente, ou se rompt, bien avant que cette valeur ne soit atteinte. Le module de Young est la pente initiale de la courbe de déformation-contrainte.

Un matériau dont le module de Young est très élevé est dit rigide. L'acier, l'iridium et le diamant, sont des matériaux très rigides, l'aluminium et le plomb le sont moins. Les matières plastiques et organiques, les mousses sont au contraire souples, élastiques ou flexibles (pour un effort de flexion).

La rigidité est distincte de

• la résistance : la résistance mécanique d'un matériau est caractérisée par sa limite d'élasticité et/ou sa résistance à la traction ;
• la raideur : la raideur d'une poutre (par exemple) dépend de son module de Young (de sa rigidité) mais aussi du rapport de sa section à sa longueur^[1]. La rigidité caractérise les matériaux, la raideur concerne les structures et les composants : une pièce mécanique massive en matière plastique peut être beaucoup plus raide qu'un ressort en acier ;
• la dureté : la dureté d'un matériau définit la résistance relative qu'oppose sa surface à la pénétration d'un corps plus dur.

Le tenseur des rigidités généralise le module de Young aux matériaux anisotropes.

Unités

D'après l'équation aux dimensions, le module de Young est homogène à une pression, ou plus précisément une contrainte. L'unité internationale correspondante est donc le pascal (Pa). En raison des valeurs élevées que prend ce module, il est en général exprimé en gigapascals (GPa) ou mégapascals (MPa).

Expressions théoriques

Dans le cas d'un matériau cristallin et de certains matériaux amorphes, le module de Young exprime la « force de rappel » électrostatique qui tend à maintenir les atomes à distance constante. Il peut s'exprimer en fonction de la dérivée seconde du potentiel interatomique.

Dans le système d'unités « naturelles » atomique, le module de Young, pour un matériau isotrope, est homogène à^[2]

${\displaystyle E=E_{0}={\frac {m^{4}q_{e}^{10}}{\hbar ^{8}}}}$

où

${\displaystyle q_{e}^{2}={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$

et où

${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$

est la constante de Planck réduite.

Cela dit, compte tenu des problèmes où il apparaît (bilaplacien), il paraît assez naturel de le rationaliser :

• soit comme E₁ = E₀/16 π² ;
• soit comme E₂ = E₀/64 π⁶ ;

les ordres de grandeur de E₁ ou E₂ sont à comparer aux valeurs tabulées, de l'ordre de 100 GPa, qui apparaissent alors relever de ce corpus théorique.

Dans le cas des polymères, l'agitation thermique « tortille » la chaîne carbonée qui tend à maintenir la longueur de la chaîne constante. Le module de Young peut alors s'exprimer en fonction de l'entropie.

Cette différence de comportement est flagrante lorsque l'on considère l'influence de la température ; si l'on soumet une éprouvette à une charge constante (essai de fluage) :

• lorsque l'on augmente la température, une éprouvette de métal s'allonge (dilatation), donc son module de Young diminue, tandis que l'éprouvette en polymère se raccourcit (les chaînes s'agitent, s'entortillent) donc son module de Young augmente ;
• lorsque l'on diminue la température, on observe le phénomène inverse : l'éprouvette de métal se raccourcit (contraction) donc son module de Young augmente, tandis que l'éprouvette de polymère s'allonge (les chaînes sont moins agitées et se laissent étirer) donc son module de Young diminue.

Relations

• L'expression de E en fonction du module de cisaillement (G) et du coefficient de Poisson (${\displaystyle \nu }$) s'écrit E = 2G(1 + ν).
• L'expression de E en fonction de λ et μ, appelés coefficients de Lamé, est

${\displaystyle E={\frac {(3{\lambda }+2{\mu }){\mu }}{{\lambda }+{\mu }}}}$.

Méthodes de mesure

Le plus simple reste bien sûr de réaliser un essai de traction. Et, connaissant les dimensions de l'éprouvette, d'en déduire le module de Young ${\displaystyle E}$. Cependant, il est difficile de réaliser cette mesure avec une bonne précision.

C'est pourquoi on préfère, lorsque cela est possible, déduire le module de Young de la fréquence propre de vibration d'une tige de matériau maintenue à ses extrémités et chargée en son milieu.

On peut aussi mesurer la vitesse du son dans le matériau qui nous intéresse, et en déduire le module de Young sachant qu'on a la relation suivante.

${\displaystyle V_{\rm {son}}\propto {\sqrt {\frac {E}{\rho }}}}$.

Cependant, cette loi est approchée : la vitesse du son dépend aussi du coefficient de Poisson.

Le module de Young augmente avec la vitesse de déformation. Voir aussi Principe d'équivalence temps-température.

Le module de Young complexe peut être déterminé par analyse mécanique dynamique.

Quelques valeurs numériques

Les caractéristiques mécaniques des matériaux sont variables d'un échantillon à l'autre. D'un point de vue global, selon M. Ashby, on trouve des matériaux dont la valeur est comprise entre 10 kPa (mousses) et 1 000 GPa (céramiques techniques).

Utilisations

Le module de Young est bien évidemment extrêmement utilisé en mécanique des structures ou en résistance des matériaux. Ces deux domaines apparaissent dans la conception d'édifices architecturaux ou même dans le dimensionnement des ailes d'un avion pour prendre cet exemple. À l'heure actuelle, l'accent est porté sur la recherche de nouveaux matériaux possédant un module de Young élevé tout en restant léger, les références aéronautiques étant l'aluminium, le titane, et plus récemment les polymères tels que les fibres de carbone.

La mesure du module de Young permet également de quantifier l'avancement de l'état de dégradation de matériaux comme le béton à la suite de différentes pathologies comme celle de la réaction alcali-granulat et des réactions sulfatiques internes ou externes se caractérisant par un gonflement interne du béton. La mesure peut se faire par essais destructifs (essais de compression, de fendage ou de flexion) ou par examens non destructifs (examens acoustiques ou par ultrasons). En effet, la vitesse de propagation des ondes sonores ou ultra-sonores dans un milieu continu dépend de l'élasticité de ce milieu, fonction elle-même de son module de Young.

En médecine également, la mesure des variations du module de Young dans un organe est une possibilité de l'imagerie médicale (essentiellement par échographie) qui permet de représenter l'élasticité des tissus même profonds, par exemple pour donner l'étendue de la fibrose d'un foie ou détecter dans un sein un carcinome petit ou profond, peu décelable à la palpation (élastographie de 2^e génération).

Références

Voir aussi