Les isométries

Les isométries sont les automorphismes de la structure d'espace métrique ou, dit autrement, de l'espace pour sa structure métrique. t est une isométrie si et seulement si d(x, y) = d(tx, ty) pour tous x et y, où d(x, y) est la distance entre x et y. Ce sont des automorphismes pour toutes les relations binaires d(x, y) = L où L est un nombre réel positif, parce que d(x, y) = L si et seulement si d(tx, ty) = L.

L’espace euclidien en son entier est un des systèmes les plus symétriques, au sens où l’ensemble des façons de permuter simultanément tous ses points sans modifier sa structure, son groupe de symétries, est l’un des moins contraints, parmi les groupes des symétries géométriques. Tous les points de l’espace sont semblables. Ils n’ont pas d’autre qualité que d’être un point et ils ont tous les mêmes relations avec le reste de l’espace. Que n’importe quel point peut être transformé en n’importe quel autre par une isométrie traduit cette égalité de tous les points de l'espace.

Si l’on brise la symétrie de l’espace en introduisant une sphère, alors tous les points ne sont plus semblables : il y a des points sur la sphère, d’autres à l’intérieur et d’autres à l’extérieur. En revanche, tous les points de la sphère sont semblables. N’importe lequel d’entre eux peut être transformé en n’importe quel autre par une isométrie : une rotation autour du centre de la sphère. Comme les chevaliers de la Table Ronde, aucun n'a une position privilégiée. Ils sont tous également placés les uns par rapport aux autres.

Le concept d'isométrie est à la base d'une définition mathématique unifiée de la symétrie^[1]. Elle s'applique au cas Euclidien (avec ou sans contraintes de « couleur »), aux fonctions, distributions de probabilités, espaces finis, graphes, chaînes de caractères, etc.). Elle a été utilisée pour classer les isométries de l'espace-temps de Minkowski (qui est celui de la relativité restreinte)^[2].

Les symétries des molécules et des cristaux

La structure d'une molécule ou d'un cristal est définie en mécanique quantique par la fonction d'onde de tous ses constituants, noyaux et électrons. Mais pour de nombreux usages, on peut modéliser la structure simplement par les positions des centres des atomes ou des ions. Avec un tel modèle, la structure est complètement décrite avec les prédicats monadiques « est le centre d'un atome de l'espèce i » et « est le centre d'un ion de l'espèce j ». Les symétries de la molécule ou du cristal peuvent être alors définies comme les isométries de l'espace qui sont aussi des automorphismes pour les prédicats monadiques de structure. Les symétries transforment toujours le centre d'un atome ou d'un ion en un centre d'un atome ou d'un ion de même espèce.

Une rotation d'un sixième de tour permute les atomes de la molécule de benzène sans modifier la structure.

La molécule d'éthane…

… et celle de C₆₀.

Les structures cristallines, ici, celle du diamant, répètent un même motif dans trois directions non-coplanaires. Elles sont symétriques par translation.

Les empilements de sphères dures sont des modèles de la structure de certains cristaux.

En zoomant sur une spirale logarithmique on peut voir ses symétries, parce qu'une homothétie fait le même effet qu'une rotation.

Les formes naturelles peuvent combiner plusieurs types de symétrie. Une onde circulaire périodique par exemple est symétrique à la fois pour les rotations autour de son centre et pour les translations dans le temps d'un multiple de sa période.

Les similitudes

Selon l'usage courant une structure et un modèle réduit ont la même forme. Pour préciser ce concept de forme, il faut définir les automorphismes de l'espace comme des similitudes. Elles conservent les rapports de distance, elles sont donc des automorphismes pour les prédicats quaternaires d(A, B) = k.d(C, D), pour tous les nombres réels positifs k. Plus explicitement, lorsque s est une similitude :

d(A, B) = k.d(C, D) si et seulement si d(sA, sB) = k.d(sC, sD)

pour tous les points A, B, C et D et tout nombre réel positif k.

La spirale logarithmique

Une spirale logarithmique est définie avec l'équation

${\displaystyle r=e^{a\theta }}$

où ${\displaystyle r}$ et ${\displaystyle \theta }$ sont les coordonnées polaires d'un point P.

Cette équation détermine le prédicat monadique « est sur la spirale » :

${\displaystyle r=e^{a\theta }}$ si et seulement si P est sur la spirale.

Une telle spirale est invariante pour toutes les transformations composées d'une rotation d'angle ${\displaystyle \alpha }$ et d'une homothétie de rapport ${\displaystyle e^{a\alpha }}$. Ces similitudes d'angle ${\displaystyle \alpha }$ et de rapport ${\displaystyle e^{a\alpha }}$ sont donc les symétries de la spirale.

Les mouvements périodiques

Un mouvement périodique est une structure symétrique pour les translations dans le temps d'un multiple de sa période.

Les trajectoires périodiques (les oscillations, les vibrations, les mouvements des satellites…) sont des structures spatio-temporelles symétriques pour certaines translations dans le temps. T est une période d'une trajectoire lorsque (x, t) est sur la trajectoire si et seulement si (x, t + T) l'est aussi. Les translations de durée T, 2T, 3T… considérées comme des transformations de l'espace-temps sont des automorphismes pour le prédicat monadique « est sur la trajectoire ».

Les symétries de l'espace-temps

La structure de l'espace-temps peut être définie par la pseudo-métrique de Minkowski : à deux points quelconques ${\displaystyle P}$ et ${\displaystyle P'}$ de coordonnées ${\displaystyle (x,y,z,t)}$ et ${\displaystyle (x',y',z',t')}$ respectivement, on associe un nombre réel, positif ou négatif (le carré de sa distance relativiste):

${\displaystyle d(P,P')=c^{2}(t'-t)^{2}-(x'-x)^{2}-(y'-y)^{2}-(z'-z)^{2}}$

où ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière.

Une transformation ${\displaystyle s}$ est une symétrie si et seulement si pour tous ${\displaystyle P}$ et ${\displaystyle P'}$ :

${\displaystyle d(sP,sP')=d(P,P')}$

Autrement dit, ${\displaystyle d(P,P')=K}$ si et seulement si ${\displaystyle d(sP,sP')=K}$, pour toute constante réelle ${\displaystyle K}$.

Les symétries de l'espace-temps sont les automorphismes pour tous les prédicats binaires ${\displaystyle d(P,P')=K}$, où ${\displaystyle K}$ est n'importe quel nombre réel.

Les symétries de l'espace-temps forment le groupe de Poincaré.

Les symétries de l'espace et du temps ont une importance fondamentale pour la physique à cause du principe de l'égalité de tous les observateurs. Comme autour d'une table ronde nous sommes tous également placés les uns par rapport aux autres. Aucun d'entre nous n'a une position privilégiée. Toute observation faite par l'un peut être faite par un autre. On peut donc permuter les observateurs sans modifier les observations. Puisqu'à chaque observateur est lié un référentiel, les symétries de l'espace-temps doivent permettre de transformer n'importe quel référentiel en n'importe quel autre. Le groupe des symétries de l'espace-temps est donc une expression mathématique du principe de l'égalité de tous les observateurs.

Dans le règne végétal

La plupart des plantes suivent une symétrie radiaire autour de la tige ; à cette symétrie s'ajoute souvent une symétrie bilatérale au niveau des feuilles, et une nouvelle symétrie radiaire (« actinomorphie ») ou bilatérale (« zygomorphie ») au niveau des fleurs, qui est une caractéristique majeure dans leur classification — certaines fleurs n'ont toutefois aucune symétrie, et sont appelées fleurs « asyméthranthes ».

Dans le règne animal

Tous les animaux pluricellulaires à l'exception des éponges et de quelques autres groupes archaïques se développent à partir d'un plan d'organisation suivant une symétrie radiaire ou bilatérale.

Certains êtres combinent parfois aussi les deux, comme les cténophores qui possèdent une symétrie « biradiaire », avec deux centres de symétrie radiaire eux-mêmes en symétrie bilatérale.

« Avec la symétrie radiaire (cnidaires et cténophores), on observe un réseau épithélial de neurones de morphologie différente soulignant deux systèmes de communication. Le premier système, rapide (axones de gros diamètre, synapses électriques bidirectionnelles), facilite la synchronisation de l'activité contractile de l'animal. Le second système, plus lent (axones de petit diamètre, synapses chimiques), a vocation d'intégration et préfigure les ganglions… Les animaux à symétrie bilatérale présentent deux axes de polarité^[3] hautement corrélés avec la complexification du système nerveux », des ganglions qui peuvent fusionner en centres nerveux et une tagmatisation en lien avec l'adaptation aux milieux de vie très diversifiés^[4].

Divers Bilatériens.

Symétrie radiaire d'ordre 3

Fossile de Tribrachidium, un animal à symétrie radiaire d'ordre 3.

La symétrie trimérique, présente chez certaines plantes (comme le trèfle), est quasiment absente du règne animal contemporain. On compte cependant quelques animaux à symétrie trimérique apparente dans le registre fossile, comme l'énigmatique Tribrachidium, fossile du Précambrien.

Symétrie radiaire d'ordre 6

Planche de « coraux hexacorallaires » issue des Kunstformen der Natur d'Ernst Haeckel.

La symétrie d'ordre 6 (« hexamérique ») se retrouve chez de nombreux cnidaires, en particulier dans le groupe des Hexacorallia, qui regroupe les anémones de mer, coraux récifaux et certains autres groupes comme les coraux noirs. Cette symétrie est cependant peu visible à l’œil nu, d'abord parce que les rayons sont souvent subdivisés chez ces animaux, qui se contentent rarement de 6 tentacules, et ensuite parce que cette symétrie touche essentiellement les polypes, souvent minuscules et pouvant former des colonies massives et le plus souvent non géométriques.

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  Une anémone peu subdivisée, à 2x6 bras.
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  corail noir : on voit les 6 tentacules de chaque polype.
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  Calice calcaire d'un polype de corail.
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  Certaines étoiles de mer aberrantes comme Leptasterias aequalis ont 6 bras, mais cette symétrie est secondaire.

Symétrie radiaire d'ordre 8

Les Vérétilles sont des octocoraux au corps mou.

La symétrie d'ordre 8 est présente dans le règne animal, notamment chez certains cnidaires comme les octocoraux (groupe qui contient notamment les gorgones) et les trachyméduses, cependant elle est souvent considérée comme une symétrie d'ordre 4 dupliquée.

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  Le « corail rouge » de Méditerranée est un octocorail, dont les polypes ont 8 tentacules.
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  Les trachyméduses ont une symétrie d'ordre 8.
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  Certaines étoiles de mer aberrantes comme Meridiastra calcar ont 8 bras, mais cette symétrie est secondaire.

La symétrie d'ordre 9 ne semble pas exister dans le règne animal (ni même comme réplicat d'une symétrie d'ordre 3, elle-même absente) mis à part quelques formes à symétrie secondaire comme l'étoile de mer Luidia senegalensis. Toutes les symétries supérieures à ce nombre sont des réplications de symétries plus réduites.