Le paradoxe de Saint-Pétersbourg

La première publication concernant une théorie d'utilité marginale, de la dernière unité consommée d'un bien ou d'un service, fut écrite par Daniel Bernoulli, dans Specimen theoriae novae de mensura sortis^[1]. Cet article est une réponse au paradoxe de Saint-Pétersbourg exposé par Gabriel Cramer dans un courrier privé à Nicolas Bernoulli (neveu)^[2]. Pourquoi alors que mathématiquement l'espérance de gain est infinie à un jeu les joueurs refusent-ils de jouer tout leur argent ? Pour répondre à ce paradoxe Bernoulli et Cramer introduisent la fonction d'utilité marginale (dérivée de la fonction utilité de la monnaie) et postulent qu'elle est décroissante. Cependant ces deux auteurs divergent sur la fonction d'utilité : logarithme naturel pour Bernoulli et racine carrée pour Cramer. Cette formalisation est restée anecdotique de nombreuses années avant d'être repopularisés par les fondateurs de l'école néo-classique, qui développent cette conception subjective de la valeur.

Le paradoxe de l'eau et du diamant

Énoncé en premier par Platon^[3], Adam Smith fera ressurgir ce paradoxe au XVIIIe siècle : il n'y a rien de plus utile sur Terre que de l'eau, mais l'eau ne permet de presque rien acheter, au contraire, le diamant n'a aucune utilité mais se vend très cher^[4]. Adam Smith et les défenseurs de la théorie de la valeur-travail verront là la preuve que l'utilité d'un bien ne fait pas sa valeur intrinsèque. Les partisans de la valeur d'utilité, principalement défendu par Étienne de Condillac, rétorqueront qu'Adam Smith ne prend pas en compte la dimension sociale du diamant, posséder un diamant est signe de pouvoir et de puissance économique, le diamant a donc bel et bien une forte utilité, là où l'eau n'est pas utile puisqu'elle est abondante partout^[5]. Vilfredo Pareto complétera plus tard Condillac en expliquant que la rareté d'un bien est à la source de la formation du prix.

Développement du concept d'utilité

Ce n'est que vers le milieu du XIX^e siècle que le concept d'utilité marginale émerge de nouveau. La révolution marginale est souvent perçue comme l'un des meilleurs exemples de « découverte multiple » dans l'histoire de la science économique. En effet, simultanément mais indépendamment, les trois fondateurs de l'école néoclassique - William Jevons, Carl Menger et Léon Walras - vont développer le concept d'utilité marginale. Cette conjonction est d'autant plus surprenante qu'à cette époque le contexte intellectuel et le développement économique de Cambridge, Vienne et Lausanne sont très différents.

Le développement du marginalisme a engendré un changement de paradigme marquant le passage de l'économie classique à l'économie néoclassique, accompagné par l'abandon presque complet de la théorie objective de la valeur en faveur de la théorie subjective de la valeur. Le concept d'utilité est devenu un élément essentiel des sciences économiques avec le développement de la problématique de l'équilibre général.

L'utilité dans son sens moderne apparaît avec l'utilitarisme, une philosophie morale qui entretient des rapports étroits avec l'économie, à l'origine de l'économie du bien-être. Jeremy Bentham (1748-1832) pose que les hommes sont des êtres qui recherchent le plaisir et que la promotion du plus grand bonheur devrait être le critère moral du bien. John Stuart Mill, dans son livre Utilitarianism (1861), insiste sur le fait que l'utilitarisme est un hédonisme éthique en ce sens qu'une action individuelle est morale si elle prend comme critère le plus grand bonheur du plus grand nombre et non l'intérêt individuel. Vilfredo Pareto qui n'aimait pas le terme d'utilité, parce que chargé de trop de considérations morales, a proposé d'utiliser celui d'ophélimité, étymologiquement équivalent.

Critique du concept d'utilité

Si Adam Smith distinguait la valeur d'usage et la valeur d'échange, pour lui ainsi que pour les économistes classiques comme David Ricardo et Karl Marx, la valeur d'usage ne peut expliquer la valeur d'échange, i.e., les prix. Pour les économistes se réclamant de l'école classique la valeur d'échange résulte du travail. Cependant ces économistes ne disent pas que l'utilité n'existe pas dans les échanges entre deux biens, mais que la valeur d'usage est largement secondaire par rapport à la valeur-travail.

Alors qu'elle constitue un bon outil de prévision, l'espérance mathématique échoue à décrire le comportement des êtres humains face à un gain futur incertain. Ainsi, un agent averse au risque préfère gagner 1 000 € tout de suite plutôt que de jouer à un jeu où il a une chance sur 100 de gagner 100 000 €, alors que l'espérance des deux est identique. Les économistes systématisent cet argument en termes d'aversion au risque et d'utilité marginale décroissante pour expliquer ce phénomène. Des mathématiciens comme Émile Borel estiment que la plupart des personnes ignorent simplement le calcul des probabilités et en particulier la notion d'espérance mathématique^[6]. La fonction d'utilité ne serait donc qu'une modélisation de l'ignorance.

Maurice Allais étudie le comportement des agents économiques et en particulier souligne leur comportement irrationnel au travers d'un paradoxe. Il remet en cause l'axiome d'indépendance forte dans la théorie « d'utilité espérée », axiome élaboré par Leonard Savage dans son maître ouvrage The Foundations of statistics à partir de la formalisation de la notion d'utilité par von Neumann et Morgenstern dans leur livre Theory of games and economic behavior. Les implications du paradoxe d'Allais donneront lieu à de multiples développements en théorie de la décision et en économie comportementale. Par ailleurs, des études récentes montrent que le cerveau humain n'est pas performant dans l'estimation des probabilités, il pèche par excès d'optimisme^[7].

Utilité cardinale

Les précurseurs de la révolution marginaliste (Walras, Jevons, Menger, Gossen) conçoivent l'utilité comme étant la sensation de plaisir associée à la consommation d'un bien. Ils défendent l'idée qu'il existe une échelle de mesure cardinale de l'utilité de tout bien ou service. Ils supposent aussi que le consommateur est capable de donner une évaluation de l'utilité que lui procure toute combinaison de biens.

La cardinalité permet les comparaisons et arbitrages : Si la consommation d'une quantité ${\displaystyle q_{A}}$ d'un bien A donne une satisfaction de 100 et une quantité ${\displaystyle q_{B}}$ d'un bien B donne une satisfaction de 10, ${\displaystyle q_{A}}$ est équivalent à 10 fois ${\displaystyle q_{B}}$.

Cette faculté simplifie considérablement l'analyse : Elle est l'exact miroir de la capacité supposée du producteur à prédire la production pour toute combinaison d'intrants donnée.

Alfred Marshall l'utilise également pour des raisons pédagogiques, mais avec quelques réserves.

Utilité ordinale

Pour la raison qu'il ne croit pas en l'existence d'une échelle objective de la mesure de l'utilité, Vilfredo Pareto, successeur de Marshall propose une formulation en termes d'utilité ordinale.

Dans ce cadre, il est seulement demandé au consommateur de hiérarchiser raisonnablement les biens ou paniers de biens en fonction de l'utilité apportée et de dire :

s'il préfère ${\displaystyle q_{A}}$ à ${\displaystyle q_{B}}$, ou ${\displaystyle q_{B}}$ à ${\displaystyle q_{A}}$

ou s'il est indifférent entre les deux.

En termes mathématiques, il suffit donc de pouvoir décrire un préordre complet sur l'espace des paniers de biens : la relation de préférence doit ainsi être

complète (on peut comparer tout couple de paniers),

réflexive (un panier est préféré à lui-même)

transitive (si le panier A est préféré au panier B et le panier B au panier C, alors A est préféré à C).

Outre Vilfredo Pareto, Eugen Slutsky, repris par Paul Samuelson et John Hicks sont les principaux ténors de la conception ordinale.

Limites du concept

Qu'il s'agisse de l'utilité ordinale ou de l'utilité cardinale, le concept d'utilité apparaît somme toute comme la tentative pour donner une formulation simple à des comportements complexes. Les expériences d'économie expérimentale montrent en effet que même sur un ensemble restreint de biens, les agents sont souvent incapables de comparer tous les paniers deux à deux (non-complétude), et proposent rarement un classement qui respecte la transitivité.

Par ailleurs, dans un cas de concurrence pure et parfaite, l'utilité doit normalement être mesurée par les prix pratiqués, s'agissant alors d'utilité révélée.

Toutefois, la puissance de cet outil comme description des comportements est telle qu'il reste très largement utilisé.

Formulation primale : recherche de l'utilité maximale pour un niveau de budget donné

La demande du consommateur telle qu'exprimée par Marshall est obtenue en maximisant l'utilité de ce consommateur compte tenu du budget, réputé fixe, dont celui-ci dispose. Mathématiquement, cela revient à maximiser la fonction d'utilité U (x, y) sous la contrainte R = p_xx + p_yy.

En insérant un niveau de ressources initiales et un vecteur de prix donné dans la fonction d'utilité U (x,y), on détermine la fonction d'utilité indirecte qui donne la valeur maximale de l'utilité atteignable par cet agent.

Formulation duale : minimiser la dépense pour un niveau d'Utilité défini et visé

La demande du consommateur, appelée demande compensée ou demande hicksienne, est obtenue en minimisant la dépense de ce consommateur compte tenu du niveau constant d'utilité qu'il a défini et qu'il entend garder. Mathématiquement, cela revient à minimiser la fonction R = p_xx +p_yy sous la contrainte U(x,y)=U₀.

En insérant le niveau de dépense pour les produits (x,y,...) et un niveau de prix pour chacun de ces produits dans la fonction de dépense R (x, y), on détermine la fonction de dépense.

Construction

On construit donc ainsi une fonction mathématique U, allant de l'espace des biens dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$, telle que ${\displaystyle U(A)>U(B)}$ implique que le panier A est préféré au panier B. On peut ainsi construire des courbes d'indifférence regroupant les paniers qui laissent indifférent le consommateur lorsqu'il les compare deux à deux. Du fait de la complétude et de la transitivité, ces courbes peuvent alors être classées selon un ordre total.

La fonction d'utilité, en associant un indice à chaque panier, n'est pas unique. Si U est une fonction d'utilité pour un individu, alors ${\displaystyle G\circ U}$ en est une aussi si G est une fonction de ${\displaystyle R^{+}}$ dans ${\displaystyle R^{+}}$ strictement croissante. De ce fait, l'utilité ordinale n'est pas comparable entre les individus, ce qui rend impossible d'en déduire directement une utilité sociale comme le désiraient les utilitaristes.

Propriétés

On suppose en général un certain nombre de propriétés à la fonction d'utilité afin de se restreindre à une classe vraisemblable, et surtout mathématiquement gérable, de fonctions. La plupart du temps, on se restreint a priori à des fonctions infiniment dérivables (fonctions de classe ${\displaystyle C^{\infty }}$). On peut noter que cette restriction suppose l'infinie divisibilité des biens consommés, ce qui est moins absurde qu'il n'y paraît si on considère que la consommation de ces biens peut être fractionnée en plusieurs unités de temps.

Les lois de Gossen

Il est assez intuitif de supposer que pour la quasi-totalité des biens, une augmentation de la quantité d'un bien dans un panier augmente ou laisse inchangée l'utilité retirée de ce panier. C'est pourquoi on impose à la fonction d'utilité d'être croissante dans chacun de ses arguments :

${\displaystyle \forall i,{\frac {\partial U}{\partial x_{i}}}\geq 0}$

En revanche, on peut également penser que cette augmentation n'est pas indépendante de la quantité de ce bien déjà disponible dans le panier. Ainsi, si la première gorgée de bière procure un plaisir ineffable, la seconde est déjà moins bonne, et ainsi de suite, jusqu'à arriver au moment où l'envie se tarit. Cela signifie que l'utilité de chaque nouvelle gorgée de bière est inférieure à celle de la précédente : l'utilité marginale est décroissante.

${\displaystyle \forall i,{\frac {\partial ^{2}U}{\partial x_{i}^{2}}}\leq 0}$

Afin d'éviter les solutions en coins dans les problèmes d'optimisation, on suppose en général que l'utilité de la dernière unité consommée ne devient jamais nulle, propriété dite de non-saturation :

${\displaystyle \forall i,{\frac {\partial U}{\partial x_{i}}}>0}$

Le bien-fondé de cette hypothèse repose sur la rationalité de l'agent : si l'utilité est bien définie, l'agent ne perdra jamais son temps à consommer quelque chose qui est dommageable pour lui ou qui ne lui apporte rien.

On peut enfin se restreindre aux domaines où l'utilité marginale est strictement décroissante :

${\displaystyle \forall i,{\frac {\partial ^{2}U}{\partial x_{i}^{2}}}<0}$

Si les préférences sont additives directes (ou séparables), alors cette hypothèse implique qu'on a des fonctions d'utilité concaves, et donc des courbes d'indifférence définissant des ensembles convexes.

Élasticité de substitution

En termes de théorie du consommateur, l'élasticité de substitution joue un rôle fondamental dans l'analyse. C'est pourquoi on demande parfois à la fonction d'utilité de présenter une élasticité de substitution constante : pour tout couple de paniers de biens, une diminution de 1 % de la quantité de bien A peut être compensée par l'augmentation de ${\displaystyle c\%}$ de la quantité de bien B, où ${\displaystyle c}$ est une constante indépendante du couple de paniers. On parle alors de fonction CES (Constant Elasticity of Substitution).

Ces fonctions ont la propriété de traduire une aversion au risque constante de la part de l'agent.

Fonction additivement séparable

Même dans la classe des fonctions d'utilité concaves, on peut avoir des formes fonctionnelles très complexes. Afin d'obtenir des solutions analytiques aux programmes d'optimisation, on utilise souvent des fonctions d'utilité additivement séparables : ${\displaystyle \forall (i,j),U(x_{i},x_{j})=u_{i}(x_{i})+u_{j}(x_{j})}$

Une telle formulation, contrairement à une croyance relativement répandue, peut inclure des biens complémentaires entre eux. (exemple: U(x,y) = -1/x - 1/y)

Utilisation

En pratique, Alfred Marshall fait remarquer que l'utilité cardinale ne pose pas de problème insurmontable. Il remarque en effet que si les agents sont suffisamment rationnels pour que la notion d'utilité ordinale ait un sens, on peut également supposer que leur propension à payer (le prix maximal qu'ils sont prêts à payer pour un panier de biens donné) fournit une bonne mesure de l'utilité qu'ils en retirent, ce qui permet également la comparaison entre les agents.

Utilité selon von Neumann et Morgenstern

Proposée par John von Neumann et Oskar Morgenstern dans Theory of Games and Economic Behavior (1944), cette formulation de l'utilité est généralement adoptée dans la modélisation de choix lorsque les événements sont probabilisables.

Au lieu de définir la fonction d'utilité sur un espace de biens, on la définit sur un espace de loteries, et on considère celles qui sont linéaires par rapport aux loteries et confondues avec les fonctions d'utilités usuelles sur le sous-espace des loteries certaines : pour une loterie ${\displaystyle L=\{(p,Q),(1-p,Q')\}}$, avec ${\displaystyle U(L)=U(\{(p,Q),(1-p,Q')\})=pu(Q)+(1-p)u(Q')}$

Articles connexes

• Utilitarisme
• Microéconomie
• Préférences
• Théorie cardinale de l'utilité
• Théorie du consommateur
• Théorème d'impossibilité d'Arrow

Liens externes

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  • Britannica
  • Store norske leksikon

Bibliographie

• Bernard Guerrien, Dictionnaire d'analyse économique, La Découverte, (ISBN 2-7071-2537-7)