تكامل مثلثي

في الرياضيات, تكون التكاملات المثلثية (trigonometric integrals)‏ هي إحدى عائلات التكامل التي تطبق على الدوال المثلثية. هناك عدد من التكاملات المثلثية الرئيسية تمت مناقشتها في قائمة تكاملات الدوال المثلثية.

تكامل الجيب

هناك تعريفين مختلفين لتكامل جيب و هما:

${\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {si}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt}$

حيث ${\displaystyle {\rm {Si}}(x)}$ هو أصل ${\displaystyle \sin x/x}$ و التي تكون صفراً عندما ${\displaystyle x=0}$; و ${\displaystyle {\rm {si}}(x)}$ هو أصل ${\displaystyle \sin x/x}$ و التي تكون صفراً عندما ${\displaystyle x=\infty }$. يكون لدينا:

${\displaystyle {\rm {si}}(x)={\rm {Si}}(x)-{\frac {\pi }{2}}}$

لاحظ بأن ${\displaystyle {\frac {\sin t}{t}}}$ هي دالة جيبية جوهرية sinc function و هي أيضاً دالة بيسيل الكروية الرقم صفر.

عندما يكون ${\displaystyle x=\infty }$, فأنه يُعرف بأسم تكامل دركليه.

في معالجة الإشارة, تسبب الاهتزازات الناتجة من التكامل الجيبي بعض التجاوزات و المصنوعات الرنينية ringing artifacts عند استعمال المرشح الجيبي الجوهري sinc filter، و تسبب رنين مجال التردد إذا تم استعمال مرشح جيبي جوهري منقوص مثل مرشح الترددات المنخفضة low-pass filter.

إن ظاهرة جيبس Gibbs phenomenon هي ظاهرة لها علاقة بهذا الموضوع: فعند اعتبار دالة الجيب الجوهرية مرشحاً للترددات المنخفضة, فأنها توازي النقص الحادث في سلسلة فورييه, مما يؤدي إلى ظاهرة جيبس.

تكامل جيب التمام

هناك تعاريف مختلفة لتكامل جيب التمام و هي:

${\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {ci}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt}$

حيث ${\displaystyle {\rm {ci}}(x)}$ هو أصل ${\displaystyle \cos x/x}$ و التي تكون صفراً عندما ${\displaystyle x=\infty }$. يكون لدينا:

${\displaystyle {\rm {ci}}(x)={\rm {Ci}}(x)\,}$

${\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\gamma +\ln x-{\rm {Ci}}(x)\,}$

تكامل الجيب الزائدي

يكون تكامل الجيب الزائدي integral كالتالي:

${\displaystyle {\rm {Shi}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh t}{t}}\,dt={\rm {shi}}(x).}$

تكامل جيب التمام الزائدي

يكون تكامل جيب التمام الزائدي hyperbolic co كالتالي:

${\displaystyle {\rm {Chi}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}}\,dt={\rm {chi}}(x)}$

حيث أن ${\displaystyle \gamma }$ هو ثابتة أويلر-ماسكيروني.

مجسم نيلسن اللولبي

في الرياضيات, مجسم نيلسن اللولبي (Nielsen's spiral)‏, و يسمى أيضاً بالمجسم اللولبي عن طريق مكاملة الجيب و جيب التمام (sici spiral)‏, هو مجسم لولبي ذو معادلات بارامترية.

${\displaystyle x=a\,{\mbox{ci}}\,t\,}$

${\displaystyle y=a\,{\mbox{si}}\,t\,}$

حيث يكون "ci" هو تكامل جيب التمام و "si" هو تكامل الجيب.

هذا الرسم جدير بالذكر ذلك لأن انحنائها تتزايد بنسبة ثابنة بمقدار طولها.

تفكيك

هناك العديد من طرق التفكيك يمكن استخامها لتقدير التكاملات المثلثية, و ذلك يعتمد على مدى المتغير.

سلسلة تقاربية (لمتغير كبير)

${\displaystyle {\rm {Si}}(x)={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\cos x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+...\right)-{\frac {\sin x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+...\right)}$

${\displaystyle {\rm {Ci}}(x)={\frac {\sin x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+...\right)-{\frac {\cos x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+...\right)}$

هذه السلاسل متباعدة, على الرغم من أنه يمكن أن تُستعمل لتخمين أو حتى لأختيار القيم بشكل دقيق عندما يكون ${\displaystyle ~{\rm {Re}}(x)\gg 1~}$.

متسلسلات التقارب

${\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}\pm \cdots }$

${\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}}=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}\mp \cdots }$

هذه السلاسل متقاربة عند جميع قيم ${\displaystyle ~x~}$ المعقدة, على الرغم من أنه إذا كان ${\displaystyle |x|\gg 1}$ يكون إيجاد القيم بطيئاً للغاية و مع ذلك فأنها ليست دقيقة, و ذلك في جميع الأحوال.

العلاقة مع التكامل الأسي للمتغير العقدي

تُسمى الدالة ${\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}{\rm {d}}t\qquad ({\rm {Re}}(z)\geq 0)}$ بالتكامل الأسي. لهذه الدالة علاقة وثيقة بتكاملات الجيب و جيب التمام:

${\displaystyle {\rm {E}}_{1}({\rm {i}}\!~x)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+{\rm {Si}}(x)\right)-{\rm {Ci}}(x)=i~{\rm {si}}(x)-{\rm {ci}}(x)\qquad (x>0)}$

بما أن كل دالة متضمنة في هذه المعادلة هي دالة تحليلية عدا المقطع التي يكون فيها قيم المتغير سالبة, ينبغي على مساحة صحة العلاقة أن تُوسع إلى ${\displaystyle {\rm {Re}}(x)>0}$. (من هذا المدى, يمكن أن تظهر الحدود التي تكون عبارة عن عوامل صحيحية للعدد ${\displaystyle \pi }$ في هذه العبارة الجبرية).

انظر أيضاً

• تكامل أسي Exponential integral
• دالة التكامل اللوغاريتمي Logarithmic integral function

معالجة الإشارة

• ظاهرة جيبس Gibbs phenomenon
• مصنوعات رنينية Ringing artifacts

المراجع

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 5)
  • (Section 5.2, and Co Integrals)

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة تحليل رياضي