دالة التكامل اللوغاريتمي

تمثيل دالة التكامل اللوغاريتمي

في الرياضيات، دالة التكامل اللوغاريتمي أو اللوغاريتم التكاملي ${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$ هي دالة خاصة. إنها ذات صلة بمشاكل الفيزياء وله أهمية نظرية الأعداد. على وجه الخصوص، وفقًا لمبرهنة سيغل-فالفيش ، يعتبر هذا تقريبًا جيدًا للدالة المعدة للأعداد الأولية، والتي يتم تعريفها على أنها عدد الأعداد الأولية أقل من أو تساوي قيمة معينة ${\displaystyle x}$ .

التمثيل التكاملي

التكامل اللوغاريتمي له تمثيل تكاملي المعرفة على جميع الأعداد الحقيقية الموجبة مع x ≠1 من قبل التكامل المحدد.

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}~.}$

هنا، يشير ln إلى اللوغاريتم الطبيعي . الدالة 1/ln(t) لها تفرد عند t =1 ، والتكامل من أجل x  > 1  يجب أن تفسر على أنها قيمة رئيسية لكوشي.

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\right)~.}$

التكامل اللوغاريتمي للأويلر

يتم تعريف التكامل اللوغاريتمي للأويلر كما يلي:

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2)\,}$

يمكن تمثيله على شكل التكامل:

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\,}$

على هذا النحو، فإن تمثيل التكامل له ميزة تجنب التفرد في مجال المكاملة.

القيم الخاصة

الدالة li ( x ) لها جذر موجب ؛ تنعدم عند

x ≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930 ؛ يُعرف هذا العدد باسم ثابت رامانوجان - سولدنر (Ramanujan–Soldner constant)‏.

Li (0) = li (2) ≈ 1.045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151-

${\displaystyle -(\Gamma \left(0,-\ln 2\right)+i\,\pi )}$، حيث ${\displaystyle \Gamma \left(a,x\right)}$ هي دالة غاما غير كاملة؛ تُعرف هذه القيمة بقيمة كوشي الرئيسية للدالة.

تمثيله على شكل متسلسلة

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}.}$

حيث γ ≈ 0.57721 56649 01532 هي ثابتة أويلر-ماسكيروني.

مقالات ذات صلة

• يورغن بيدرسن غرام
• تكامل أسي

المراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة تحليل رياضي