لابلاسي

مؤثر لابلاس أو لابلاسيان (Laplace operator)‏ ورمزه ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ أو ${\displaystyle \Delta }$ إحدى المؤثرات التفاضلية وهو من المؤثرات المهمة في مجال حساب المتجهات وكذلك حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات وسمى المؤثر بهذا الاسم عرفاناً للعالم الرياضياتي الفرنسي بيير لابلاس^[1]

التعريف

وفقا لتعريف لابلاس تمثل "نابلا" (${\displaystyle \nabla .}$) معدل تغير دالة بالنسبة لتغير في إحداثيات المكان ، أي تدرج دالة (${\displaystyle \nabla A}$). ويعبر عن هذا التعريف بالصياغة الرياضية كالتالي:

${\displaystyle \Delta A=\nabla ^{2}A=\nabla \cdot \nabla A}$   

واللابلاسيان مؤثر تفاضلي يعمل على قيمة سلمية وينتج عنه كذلك قيمة سلمية.

لابلاسيان في الإحداثيات

في بعدين 2د

يعطى اللابلاسيان في إحدايات من بعدين (x,y)حسب العلاقة:

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$

حيث أن x و y المتغيران القياسيين في الإحداثيات الديكارتية لـمستوي xy.

أما في الإحداثيات القطبية,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f&={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}\\&={1 \over r}{\partial f \over \partial r}+{\partial ^{2}f \over \partial r^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}.\end{aligned}}}$

في الإحداثيات ثلاثية الأبعاد 3د

في الإحداثيات الديكارتية,

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$

في الإحداثيات الأسطوانية,

${\displaystyle \Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.}$

في الإحداثيات الكروية:

مقارنة بين نظام الإحداثيات الكروي ونظام احداثيات الثلاثة ابعاد (z , y, x).

${\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \varphi }{\partial \over \partial \varphi }\left(\sin \varphi {\partial f \over \partial \varphi }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\varphi }{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}.}$

(هنا على غير المألوف θ تعبر عن زاوية السمت فيما تعبر φ عن زاوية سمت الرأس).

في الشكل العام من الإحداثيات الانحنائية (${\displaystyle \xi ^{1},\xi ^{2},\xi ^{3}}$):

${\displaystyle \nabla ^{2}=\nabla \xi ^{m}\cdot \nabla \xi ^{n}{\partial ^{2} \over \partial \xi ^{m}\partial \xi ^{n}}+\nabla ^{2}\xi ^{m}{\partial \over \partial \xi ^{m}},}$

اقرأ أيضا

• مصفوفة لابلاس

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة الفيزياء
• موسوعة تحليل رياضي
• موسوعة رياضيات
• موسوعة علم طبيعة الأرض