مجسم دوراني

المجسم الدوراني في الرياضيات هو كل جسم ينشأ عن دوران منطقة مستوية حول محور دوران مستقيم ثابت دورة كاملة، ويسمى الخط المستقيم بمحور المجسم.^[1][2][3]

حساب الحجم

رموز :

r = نصف القطر

h = الارتفاع

A = المساحة أو مساحة القاعدة

V = الحجم

يتم حساب الحجم بعدة طرق، منها :

التكامل بالأقراص

تكامل بالأقراص لمجسم دوراني محور المحور الصادي
للدالة ${\displaystyle f(y)={\sqrt {(}}y)}$

تقوم الطريقة على تقسيم الجسم إلى أقراص غير متناهية.

محور الدوران هو المحور السيني

إذا كان المجسم الدوراني ينتج عن دوران منطقة مستوية حول محور السينات فإنه حجمه يعطى بالمعادلة :

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}{\left[R(x)\right]}^{2}\ \mathrm {d} x}$

حيث R هي المساحة بين الدالة ومحور الدوران .

محور الدوران هو المحور الصادي

إذا كان المجسم الدوراني ينتج عن دوران منطقة مستوية حول محور الصادات فإنه حجمه يعطى بالمعادلة:

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}{\left[R(y)\right]}^{2}\ \mathrm {d} y}$

حيث R هي المساحة بين الدالة ومحور الدوران .

بعض أنواع المجسمات الدورانية

الأجسام الدورانية متنوعة بتنوع منحنيات الدوال، ولكن هناك أجسام مشهورة منها :

اسم الجسم	ينشأ عن دوران	معادلة المنطقة المستوية	تمثيل الشكل	معادلة حساب الحجم
اسطوانة	مستطيل	${\displaystyle f(x)=r\,}$		${\displaystyle V=\pi \int _{0}^{h}f(x)^{2}dx}$
مخروط	مثلث قائم الزاوية	${\displaystyle f(x)={\frac {r}{h}}x\,}$		${\displaystyle V=\pi \int _{0}^{h}f(x)^{2}dx}$
كرة	نصف دائرة	${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-(x-r)^{2}}}\,}$		${\displaystyle V=\pi \int _{0}^{2r}f(x)^{2}dx}$
مخروط ناقص	شبه منحرف	${\displaystyle f(x)={\frac {r}{h}}\times (x+H)\,}$ حيث H ارتفاع الجزء الناقص		${\displaystyle V=\pi \int _{0}^{h}f(x)^{2}dx}$

الشكل التالي ناتج عن دوير المنطقة المستوية المحصورة بين f وg

وبعض الأجسام قد تنتج من خلال المنطقة المحصورة بين داليتين ليست صفرية(انظر الشكل المقابل)

مقالات ذات صلة

• سطح دوراني
• دوران
• تكامل

المصادر

• كتاب الرياضيات الصف الثالث ثانوي الصف الدراسي الثاني، ط 1431-1432 , المملكة العربية السعودية

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة هندسة رياضية