التكاملات المحتوية على جذور :
في هذا القسم سندرس تكنيكة التكامل والتي ستكون ذات جدوى مع التكاملات التي تحتوي جذورًا فيها. بعض التكاملات تلك يمكن أن تُحسب بسرعة بحسابات بسيطة باستعمال تكنيكة الإبدال I, وبعضها يمكن أن تحسب باستعمال الحسابات المثلثية.
مع ذلك، لا توجد طريقة واحدة معينة لحل كل التكاملات من هذا النوع، ولذلك فلننظر إلى المثالين التاليين لتوضيح بعض الحالات التي تتطلب حلًا بطرق خاصة .
مثال 1 : حل التكامل التالي
x+23x-3dx
الحل: أحيانا عندما نواجه تكاملًا يحتوي على جذر يمكننا أن نستعمل الإتبدال التالي لتبسيط التكامل
u=3x-3
إذًا، بدلًا من أن تكون u تمثل ما تحت الجذر.. تكون u هي الجذر كله
الآن، لابد من بعض الحسابات لاستخراج قيمة x أيضًا لنتمكن من استبدالها بالبسط لنستطيع بذلك حساب الفرق الناتج dx وقد بُسط الجذر الآن بشكل كافٍ. حل بديل x ممكن كما التالي
dx=3u2du x=u3+3
باستخدام هذا الإبدال اصبح التكامل الآن كما التالي
(u3+3)+2u3u2du=3u4+15u du
35u5+152u2+c
35(x-3)53+152(x-3)23+c
إذًا، أحيانًا عندما يحتوي التكامل على جذر ng(x) نقوم بوضع الإبدال التالي
u=ng(x)
بذلك يمكن أن يبسط التكامل إلى شكل يمكن حله بسهولة.
مثال 2 : حل التكامل التالي
2x-3x+10dx
الحل : سنقوم بذات الخطوات التي اتبعناها في المثال الأول، أولًا الإبدال، ثم الحل الإضافي لإيجاد قيمة x من ناحية u
U=x+10 x=u2-10 dx=2u du
مع هذا الإبدال التكامل يكون
2x-3x+10dx=2u2-10-3u(2u)du=4uu2-3u-10du
هذا التكامل يمكن أن يحل بالكسور الجزئية
4u(u-5)(u+2)=Au-5+Bu+2
بوضع بسوط متساوية نحصل على
4u=A(u+2)+B(u-5)
اختيار قيمة u يعطي المعاملات
U=-2 -8+B(-7) B=87
A=207 20=A(7) U=5
التكامل يصبح اخيرا
2x-3x+10dx=207u-5+87u+2du
207In|u-5|+87In|u+2|+c
207In|x+10-5|+87In|x+10+2|+c
إذًا، بهذا نكون قد وجدنا طريقة جيدة للتخلص من الجذور في التكامل ولنبسط التكامل بأقصى حد. مع ذلك لابد من ملاحظة ان هذه الطريقة لن تجدي دائمًا مع كل المتكاملات من هذا النوع.