تحليل الأخطاء في التحليل العددي

المقدمة

التّحليل العدديّ هو أحد فروع الرّياضيات الهامّة ، و هو الذي يربط بين الرياضيات التحليلية و الحاسب الآلي ، و يُستخدم عادةً في إيجاد حلول بعض المسائل و المشاكل التي لا يمكن حلّها بالرياضيات التحليلية ؛ حيث تكون النتيجة التي نحصل عليها تقريبية . و بما أنّنا نحصل على نتيجةٍ تقريبيّة أو حلّ تقريبي ، فهذا يعني وجود نسبة خطأ علينا حسابه ، إلا أنّنا لو استطعنا إيجاد الخطأ لاستطعنا إيجاد الحلّ الفعليّ ( الحقيقي ) الأمر الذي يعني أن إيجاد الخطأ غير ممكن ، فنسعى بالتالي إلى إيجاد تقريب للخطأ أو حجم الخطأ ( القيمة التي لا يتجاوزها الخطأ ) . إذًا تتلخّص مهمّة التحليل العددي في إيجاد الحل التقريبي لمسألة ما و تقويم الخط

التقريب (Approximation)

إنّ معظم الأعداد التي نتعامل معها هي أعداد تقريبية ؛ لأنها غالبًا ما تمثّل أطوالًا و قياساتٍ أو قيمًا لمقاديرَ فيزيائيّة بنتيجة القياس ، و هي بحدّ ذاتها تقريبية . كذلك فإن الكثير من الأعداد الحقيقية لا يمكن التعبير عنها بعدد منتهٍ من الأرقام ، فمثلًا العدد${\displaystyle \pi }$ يساوي "تقريبًا" 3.14159 ، كذلك هو الحال بالنسبة لـلعدد eو ${\displaystyle {\sqrt {7}}}$ مثلًا ؛ فإنّنا لا نستطيع كتابتها كأعداد مضبوطة . إننا ـ كما أوردنا في السابق ـ يتحتّم علينا أن نستخدم التقريب لحل المسائل التي لا تحلّ في الرياضيات التّحليلية ، إلا أن هذا التقريب ستنتج عنه أخطاء ، أهمها التالي :

التدوير(Rounding)

هو واحد من أهمّ مصادر الأخطاء و هو استعمال الأعداد المدوّرة بدلًا من المضبوطة . قاعدة التدوير : إذا كان لدينا العدد ${\displaystyle X=0.x_{1}x_{2}...x_{n-1}x_{n}}$، و أردنا الاكتفاء بـ (n-1) عدد على يمين الفاصلة ، أي أن العدد المدوّر يكون كما يلي :

${\displaystyle X_{0}=0.X_{1}X_{2}.....X_{n-2}{\bar {X}}_{n-1}}$ فإن ${\displaystyle {\bar {X}}_{n-1}}$

يتم تحديده بالشكل الآتي : إذا كان${\displaystyle X_{n}}$( أكبر من 5 أو يساوي )، فإن${\displaystyle {\bar {X}}_{n-1}=X_{n-1}+1}$ إذا كان${\displaystyle X_{n}}$ (أصغر من 5) ، فإن${\displaystyle {\bar {X_{n-1}}}=X_{n-1}}$. على سبيل المثال العددان 0.045651 و 9033 بتقريبهما باستخدام التدوير لثلاث خانات عشرية ينتج العددان 0.0457 و 9033 على التوالي .

أما عن منشأ الخطأ العددي هنا فيكون بسبب الاكتفاء بعدد معين من المنازل العشريّة بعد الفاصلة في الحسابات .

القطع (chopping)

إن آلات الحاسبة الإلكترونية لا تدور الأعداد غالبًا وإنما تقطعها . قاعدة القطع : إذا كان لدينا العدد${\displaystyle X=0X_{0}X_{2}....X_{(}n-1)X_{n}}$ وأردنا الاكتفاء بــ(1-n) عدد على يمين الفاصلة ، فإن العدد المتقطع يكون كما يلي : ${\displaystyle X_{0}=0.X_{1}X_{2}....X(n-2)X_{(}n-1)}$ على سبيل المثال العددان 0.045651 و 9033 بتقريبها باستخدام القطع لثلاث خانات عشرية ينتج العددان 0.0456 و9030 على التوالي .

• • ملاحظة : العدد 0 على يمين الفاصلة غير معتبر في عملية التقريب .

ومنشأ الخطأ العددي هنا هو يكون من الاكتفاء بعدد معين من حدود المتسلسلة اللانهائية .

الأخطاء (Error)

تلعب الأخطاء دورًا محوريًا في التحليل العددي وهي تبين مدى دقة وسرعة الطريقة المستخدمة لاحقًا. وفيما يلي أنواع الأخطاء وتأثيرها :

الخطأ المطلق (Absolute Error)

وهو الخطأ المطلق المرتكب في العدد المقرب${\displaystyle X_{0}}$ هو القيمة المطلقة للفرق بينه وبين القيمة الفعليةX ${\displaystyle \Delta =|\Delta .x|=|x_{0}-x|=|x-x_{0}|}$ غالبًا مايكون العدد الفعلي x غير معلوم ، عندئذ لا يمكن تعيين الخطأ المطلق ، من أجل ذلك نلجأ إلى إيجاد حد أعلى لهذا الخطأ مثل${\displaystyle \epsilon _{x}}$ ويحقق المتباينة : ${\displaystyle |\Delta .x|=|x-x_{0}|\leq \varepsilon _{x}}$. وهكذا نحصل على : ${\displaystyle (x_{0}-\epsilon _{x})\leq x\leq (x_{0}+\epsilon _{x})}$ أي أن العدد الفعلي يقع بين العددين${\displaystyle x_{0}-\epsilon _{x}}$ ,${\displaystyle x_{0}+\epsilon _{x}}$ , حيث القيمة${\displaystyle x_{0}+\epsilon _{x}}$ تمثل تقريب العدد x بالزيادة والقيمة${\displaystyle x_{0}-\epsilon _{x}}$ تمثل تقريبه بالنقصان .

مثال

لتكن x=3.257 و لتكن القيمة التقريبية لـx هي 3.26 بتعيين الخطأ المطلق :

${\displaystyle |\Delta .x|=|x_{0}-x|}$

${\displaystyle |3.26-3.257|=0.003}$

الخطأ النسبي(Relative)

الخطأ R النسبي المرتكب في عدد ما تقريبي${\displaystyle x_{0}}$ هو نسبة الخطأ المطلق لمرتكب بهذا العدد إلى القيمة المطلقة للعدد الفعلي x≠0) X) أي أن : ${\displaystyle R={\Delta \over |x|}}$ وفي حالة عدم معرفة القيمة الفعلية X نلجأ إلى الحد الأعلى لهذا الخطأ أي أن :

${\displaystyle {\Delta \over |x|}\leq {S_{x}}}$ ،${\displaystyle {R}\leq {S_{x}}}$

ومنه : ${\displaystyle \Delta \leq |x|S_{x}}$ لذلك يمكن اعتبار: ${\displaystyle \epsilon _{x}=|x|\delta _{x}}$ فيكون : ${\displaystyle S_{x}={\epsilon _{x} \over |x|}}$ الحد الأعلى للخطأ النسبي المرتكب في العدد المقرب${\displaystyle x_{0}}$ وبما أن ${\displaystyle {x}\cong {x_{0}}}$ فيمكن أن يكتب${\displaystyle {\epsilon _{x}}\cong {|x_{0}|\delta _{x}}}$

مثال

لتكن x=3.257 و لتكن ${\displaystyle x_{0}=3.026}$ قيمة تقريبية لــ x فإن الخطأ النسبي :

${\displaystyle R={\Delta \over |x|}={0.003 \over 3.257}=0.000921}$

ويستفاد من الخطأ النسبي في حساب الدقة المعنوية (significant digits) حيث العلاقة التالية : ${\displaystyle {\Delta \over |x|}\leq {5\times 10^{-}t}}$ حيث t أكبر عدد صحيح غير سالب نستطيع أن نوجد من خلاله أكبر فترة تقريب للخطأ الفعلي . ملاحظات عامّة :

• من المهمّ أن يُعلم أنّ الخطأ النسبي لا يتأثر بالخطأ كثيرًا بينما الخطأ المطلق يتأثّر بشكل ملحوظ ؛ لذا نعتمد في الأغلب على الخطأ النسبي .
• أيضًا كلّما كانت قيمة الخطأ الناتجة صغيرة جدًا كلما كان هذا أفضل ، و على العكس من ذلك فكلما كبرت قيمة الخطأ احتجنا لأن نبحث عن إجراء رياضيّ يعمل على تصغير ( تحسين ) قيمة الخطأ الناتج .

أكبر خطأ نسبي في الدالة في عدة متغيرات (Max relative error in a function of several variables)

نفرض أن دالة f في متغيرn:

${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$

أي أن : ${\displaystyle f=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ ونفرض أن الأخطاء المفردة في هذه المتغيرات هي على الترتيب : ${\displaystyle \Delta .x_{1},\Delta .x_{2},...\Delta .x_{n}}$ فيكون الخطأ الكلي في الدالة مع اهمال حدود الرتبة الثانية وما فوقها هو : ${\displaystyle \Delta .f={df \over {dx_{1}}}\Delta .x_{1}+{df \over {dx_{2}}}\Delta .x_{2}+....+{df \over {dx_{n}}}\Delta .x_{n}}$

إذا ${\displaystyle |\Delta .f|={|df| \over |{dx_{1}}|}|\Delta .x_{1}|+{|df| \over |{dx_{2}}|}|\Delta .x_{2}|+....+{|df| \over |{dx_{n}}|}|\Delta .x_{n}|}$

وبالتالي يكون أقصى خطأ نسبي هو : ${\displaystyle {|\Delta .f|_{\max } \over {|f|}}={1 \over |f|}{|df| \over |{dx_{1}}|}|\Delta .x_{1}|+{|df| \over |{dx_{2}}|}|\Delta .x_{2}|+....+{|df| \over |{dx_{n}}|}|\Delta .x_{n}|}$

مثال

أكبير خطأ نسبي في كل من الدالتين التاليتيين بدلالة المتغيرات${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ وأخطأها${\displaystyle \Delta .x_{1},\Delta .x_{2},...,\Delta _{n}}$

${\displaystyle f=x_{1},x_{2},...,x_{n}}$

${\displaystyle g={x_{1}}^{m_{1}},{x_{2}}^{m_{2}},...,{x_{n}}^{m_{n}}}$

الحل :

${\displaystyle |\Delta .f|_{\max }=1.|\Delta .x_{1}|+1.|\Delta .x_{2}|+...+1.|\Delta .x_{n}|}$

${\displaystyle {|\Delta .f| \over {|f|}}_{\max }={|\Delta .x_{1}|+|\Delta .x_{2}|+...+|\Delta .x_{n}| \over {|x_{1}+x_{2}+...+x_{n}|}}}$

${\displaystyle {|\Delta .g| \over {|g|}}_{\max }=|m_{1}|{|\Delta .x_{1}| \over {|x_{1}|}}+|m_{2}|{|\Delta .x_{2}| \over {|x_{2}|}}+...+|m_{n}|{|\Delta .x_{n}| \over {|x_{n}|}}}$

يُلاحظ عمومًا أن الخطأ الفعلي في قيمة يكون أقل بكثير من الحد الأقصى للخطأ ؛ و ذلك لأن الأخطاء من الناحية العلمية تتجه لأن يلغي بعضها بعضًا (حيث بعضها موجب و البعض الآخر سالب) فمثلًا إذا أضيف 200,000 عدد , و قرب كل عدد إلى 4 أرقام عشرية , فإن الحد الأقصى للخطأ يساوي ${\displaystyle 10\times .5\times 20,000}$ أو يساوي 1 وهذه قيمة كبيرة , بينما الخطأ الكلي المتوقع يكون عادة في حدود 0,005.

مراجع

^[1][2][3]

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات