توزيع بواسون

في علمي الإحصاء والاحتمالات، توزيع بواسون (Poisson distribution)‏ (ويسمى أيضا قانون بواسون للأعداد الصغيرة^[1]) هو توزيع احتمالي منفصل يعبر عن احتمالية حدوث عدد من الأحداث ضمن فترة محددة من الوقت إذا حدثت هذه الأحداث بمعدل وسطي معروف وغير متعلقة بزمن حدوث آخر حدث.

في مدّة زمنية T، يحصل الحدث بمعدل λ مرّات (λ أقل من 5 مثلا). لنرمز بX المتغير العشوائي الذي يمثل عدد المرّات التي سيحصل فيها الحدث في X. T يمكن أن يساوي 0، 1، 2...

يتبع هذا المتغير العشوائي القانون التالي:

${\displaystyle p(k)=P(X=k)=\mathrm {e} ^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,}$

مهما كان العدد الطبيعي k.

• λعدد حقيقي موجب
• (p(k : احتمال حصول الحدث k في T.

هذا ما يدعى توزيع بواسون (أو قانون بواسون) ذا المعلمة λ.

التوزيع

المتغير العشوائي X يتبع توزيع بوسون بمعلمه λ إذا كانت دالته الاحتمالية هي:

${\displaystyle f(x)=P(X=x)={\frac {e^{-\lambda }{\lambda ^{x}}}{x!}};x=0,1,...}$

حيث أن ${\displaystyle 0<\lambda <\infty }$ هي معلمة التوزيع الوحيدة بمقدار ثابت، ونعرف المتغير العشوائي ${\displaystyle X\backsim {Poi(\lambda )}}$

ولكي نتحقق أن (f(x دالة احتمالية

${\displaystyle f(x)=\sum _{x=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }{\lambda ^{x}}}{x!}}=e^{-\lambda }\sum _{x=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{x}}{x!}}=e^{-\lambda }e^{\lambda }=1}$

المنوال

${\displaystyle {\frac {f(x+1)}{f(x)}}={\frac {e^{-\lambda }{\lambda ^{(}x+1)}}{(x+1)!}}{\frac {x!}{e^{-\lambda }{\lambda ^{x}}}}={\frac {\lambda }{X+1}}}$

إذن تبين لنا أن (f(x دالة متزايدة إذا كانت ${\displaystyle X<\lambda -1}$ وأنها متناقصة إذا كانت ${\displaystyle X>\lambda -1}$ أما إذا كانت ${\displaystyle X=\lambda -1}$ فذلك يعني ${\displaystyle f(\lambda )=f(\lambda -1)}$ وعلى ذلك إذا كانت ${\displaystyle \lambda -1}$ عدد صحيح فيكون هناك منوالان عند ${\displaystyle X=\lambda ,X=\lambda -1}$ أما إذا كانت ${\displaystyle \lambda -1}$ عدد غير صحيح فيكون المنوال هو العدد الصحيح الذي يأتي فورا بعد ${\displaystyle \lambda -1}$.

دالة التوزيع التراكمية

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\sum _{S=0}^{\infty }f(S)}$

متوسط التوزيع

${\displaystyle \mu =E(x)=\sum _{x=0}^{\infty }x{\frac {e^{-\lambda }{\lambda ^{x}}}{x!}}=\lambda \sum _{x=1}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }{\lambda ^{(x-1)}}}{(x-1)!}}}$

وحيث أن

${\displaystyle \mu =E(x)=\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }{\lambda ^{(x-1)}}}{(x-1)!}}=\sum _{Y=0}^{\infty }x{\frac {e^{-\lambda }{\lambda ^{Y}}}{Y!}}=1}$

إذن ${\displaystyle \lambda =\mu }$

تباين التوزيع

لكي نحصل على تباين بوسون نوجد أولا القيمة المتوقعة

${\displaystyle E[X(X-1)]=\sum _{x=0}^{\infty }x{\frac {(x-1)e^{-\lambda }{\lambda ^{x}}}{x!}}=\lambda ^{2}\sum _{x=2}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }{\lambda ^{(x-2)}}}{(x-2)!}}=\lambda ^{2}}$

أي أن

${\displaystyle E(X^{2})-E(X)=\lambda ^{2}}$

${\displaystyle \therefore E(X^{2})=\lambda ^{2}+\lambda }$

إذن

${\displaystyle \sigma ^{2}=E(X^{2})-\mu ^{2}=\lambda ^{2}+\lambda -\lambda ^{2}=\lambda }$

ونستنتج من ذلك أن: التباين = المتوسط = ${\displaystyle \lambda }$

دالة توزيع العزوم

${\displaystyle M_{X}(t)=E(e^{xt})\sum _{x=0}^{\infty }e^{xt}{\frac {e^{-\lambda }{\lambda ^{x}}}{x!}}}$

${\displaystyle =e^{-\lambda }\sum _{x=0}^{\infty }{\frac {(\lambda e^{t})^{x}}{x!}}}$

${\displaystyle =e^{-\lambda }e^{\lambda e^{t}}=e^{\lambda (e^{t}-1)}}$

حيث أن

${\displaystyle M'(t)=\lambda e^{t}\centerdot e^{\lambda (e^{t}-1)}}$

${\displaystyle M'(t)=\lambda ^{2}e^{2t}\centerdot e^{\lambda (e^{t}-1)}+\lambda e^{t}\centerdot e^{\lambda (e^{t}-1)}}$

${\displaystyle \mu =\mu '_{1}=M'(0)=\lambda }$

${\displaystyle \mu '_{2}=M''(0)=\lambda ^{2}+\lambda }$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\mu '_{2}-\mu ^{2}=\lambda }$

مثال: إذا كان متوسط عدد الحوادث الأسبوعية على إحدى الطرق في مدينة ما هو 3 حوادث. فما احتمال أن يقع في أحد الأسابيع حادثتين ؟

الحل:

متوسط عدد الحوادث ${\displaystyle 3=\lambda =}$

نفرض أن X عدد الحوادث الأسبوعية إذن ${\displaystyle X\backsim {Poi(3)}}$

${\displaystyle f(x)=P(X=x)={\frac {e^{-3}{3^{x}}}{x!}};x=0,1,...}$

${\displaystyle f(2)=P(X=2)={\frac {e^{-3}{3^{2}}}{2!}}=0.2240}$

حساب (p(k

يقام حساب هذه الكمية نتيجة عن العمل بتوزيع ثنائي ذا المعلمتين (T ; λ/T). إذا اعتبرنا T كبيرا، فيمكن تبيين أن التوزيع الثنائي نهايته في اللانهاية هو توزيع بواسون.

القيمة المتوقعة والتباين والانحراف المعياري

• القيمة المتوقعة لتوزيع بواسون هي λ
• تباين توزيع بواسون λ
• الانحراف المعياري لتوزيع بواسون هو ${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}}$

ميادين الاستعمال

غالبا ما استعمل توزيع بواسون لحساب أحداث النادرة كانتحار الأطفال، وصول البواخر إلى المرسى أو الحوادث الناتجة عن ركالات الأحصنة في العساكر (دراسة لاديسلاوس بورتكيفيكز)

أما منذ بعض عشرات السنين، امتد استعمال توزيع بواسون إلى ميادين أخرى. فهو يستعمل كثيرا الآن في تكنولوجيات الإتصال (حساب عدد المواصلات في مدّة معينة)، مراقبة الجودة الإحصائية، وصف بعض الظواهر التابعة لميدان التفكيك النووي المشع (تفكيك النواة المشعة يتبع دالة أسية ذات معملة تدعى أيضا λ) وعلم الأحياء والرصد الجوي...

الرسوم البيانة ذات الأعمدة

ككل توزيع قائم على احتمال منفصل، يمكن تمثيل توزيع بواسون برسوم بيانية ذات أعمدة. هنا تحت، تمثل الرسوم البيانية توزيع بواسون ذا المعلمات 1 و2 و5.

رسم توزيع بواسون ذا العامل 5 بدأ يشبه بعض الشيء التوزيع الطبيعي (أو التوزيع الغاوسي) ذا القيمة المتوقعة 5 التباين 5. ولذلك إذا كانت λ أكبر من 5، نخير استعمال نموذج التوزيع الطبيعي.

بعض الخاصيات

إذا كانتا X وY متغيران عشوائيان مستقلاّن يتبعان توزيع بواسون، الأولى مع المعلمة λ والثانية المعلمة μ فإنّ X+Y متغير عشوائي يتبع توزيع بواسون ذا المعلمة λ+μ.

اقرأ أيضا

• احتمال
• توزيع احتمالي
• توزيع ثنائي
• توزيع طبيعي

مراجع

• توجد جداول للمساعدة على حساب احتمال بمعرفة λ وk. موقع الجدول في ويكي مصدر العربية: جدول توزيع بواسون

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة إحصاء