خاصية التمام

قسم (عدد حقيقي)

خاصية التمام على مجموعة الأعداد الحقيقية :

تعـــريف:

لنأخذ S مجموعة غير خالية جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية R .

أ)- المجموعة S تكون محدودة من أعلى إذا وجد عدد u ∈ R بحيث أن s ≤ u لكل S ∈ s .

وكل عدد يشبه العدد u يسمى حد علوي للمجموعة S .

ب)- المجموعة S محدودة من أسفل إذا وجد عدد w ∈ R بحيث أن w ≤ s لكل S ∈ s.

وكل عدد يشبه العدد w يسمى حد سفلي للمجموعة S .

ج)- المجموعة تسمى محدودة إذا كانت محدودة من أعلى و أسفل معاً، المجموعة تسمى غير محدودة إذا كانت غير محدودة من أعلى و أسفل معاً .

تعـــريف:

لنفرض S مجموعة غير خالية و جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية.... S ≠ ø ، S ∈ R .

أ)- إذا كانت المجموعة S محدودة من أعلى فإن العدد u يكون أصغر الحدود العلوية لها "Supremum" ، إذا كان يكافئ العبارات التالية :

1)_ u يكون حد علوي للمجموعة S و u سوف يكون أكبر من أو يساوي عناصر المجموعةS .. → s ≤ u . 2)_ إذا كانت v أي حد علوي للمجوعة S فإن العدد u سيكون أصغر من أو يساوي العدد v .. → v ≥ u .

ب)- إذا كانت المجموعة S محدودة من الأسفل فإن العددw يكون أكبر الحدود السفلية لها "Infimum" ، إذا كان يكافئ العبارات التالية :

1)_ w يكون حد سفلي للمجموعة S و s ≥ w . 2)_ إذا كان t حد سفلي للمجموعة S فإن w ≥ t .

إثبات الوحدانية (( أصغر الحدود العلوية يكون وحيد إذا وجد )) :

نفرض أن :- u₂ = sup S ، u₁ = sup S ، u₁ ≠ u₂ . 1/ u₁ is upper bound (u₁ حد علوي : يوجد u₁ ∈ R ∃ بحيث : s ≤ u₁ ، لكل s ∈ S ∀ ) . 2/ If v is any upper bound ( v أي حد علوي ) .

→ u₁ ≤ v → u₁ ≤ u₂

1/ u₂ is upper bound (u₂ حد علوي : يوجد u₂ ∈ R بحيث : s ≤ u₂ ، لكل s ∈ S ∀ ) . 2/ If v is any upper bound ( v أي حد علوي ) .

u₂ ≤ v→ u2 ≤ u1→ إذاً u1 = u2 إذاً فرضنا خاطئ و sup وحيد .

• إذا الحد العلوي أو السفلي للمجموعة S موجود يرمز لهم على التوالي :

Sup (S) و inf (S) .

التمهيدية (1) : العددu يكون أصغر الحدود العلوية للمجموعة الغير خالية S في R فقط إذا تحقق :-

1] s ≤ u ، لكل s ∈ S ∀ .

2] إذا v ≥ u فإنه يوجد عدد š ∈ S بحيث أن š ≤ v .

التمهيدية (2) : الحد العلوي u للمجموعة الغير خالية S في R يكون أصغر الحدود العلوية لها إذا و إذا فقط لكل ɛ>0 ∀ يوجد عدد s_ɛ ∈ S ∃ بحيث أن u-ɛ < s_ɛ .

إثبات التمهيدية (2) :

u حد علوي للمجموعة S و u ≥ s ، لكل s ∈ S ∀ :

المطلوب اثبات أن :

نبدأ بالإتجاه الأول :

نفرض أن لكل ∀ ɛ>0يوجد عدد s_ɛ ∃ يحقق أن u-ɛ<s نريد إثبات أن : u=sup(S) .

إذاً نريد اثبات أن :

1. u حد علوي .
2. u أصغر الحدود العلوية .

لنفرض أن : Z < u → ɛ = u – z > 0 ヨs ∈ S : u - (u – z) < s_ɛ → u - u + z < s_ɛ→

z < s_ɛ→

إذاً u ليس حداً علوياً .

الإتجاه الثاني :

نفرض أن u=sup(S) نريد إثبات أن : لكل ɛ>0 يوجد عدد s_ɛ يحقق أن u-ɛ<s .

u-ɛ < u ،∀ ɛ > 0 →

إذاً u-ɛ ليس حداً علوياً .

إذاً يوجد عدد s_ɛ∈S بحيث أن u-ɛ<s وهو المطلوب .

أمثلــة :

أ)- إذا المجموعة الغير خالية S₁ أعدادها منتهية على العناصر فإن المجموعةS₁ لديها أكبر عنصر u و أقل عنصر w .

Sup (S₁)= u و inf (S₁)= w .

ب)- المجموعة : {1 ≥ X ≥ 0 : X} = S2 واضح أن الحد العلوي لها = 1 .

نثبت أن 1 هو الحد العلوي : لنفرض أي عدد وليكن v . إذا v<1 ، š ∈ S₂ بحيث : v<š . فإن v لا تكون حد علوي للمجموعة S₂ ؛ لأن v<1 .

نستنتج أن : أصغر الحدود العلوية للمجموعة S₂ = 1 .

بالمثل أكبر الحدود السفلية للمجموعة S₂ = 0 .

ملاحظة : كلا الحد العلوي و السفلي للمجموعة S₂ يكون محتوى في S₂ .. < لأنها فترة مغلقة > .

ج)- المجموعة : {1>X>0:X} = S₃ واضح أن الحد العلوي لها = 1 و الحد السفلي لها = 0 .

إثباتها مثل إثبات الفقرة (ب) .

لكن ملاحظة: في هذه الحالة المجموعة S₃ لا تحتوي على أصغر الحدود العلوية و بالمثل لا تحتوي على أكبر الحدود السفلية .. < لأنها فترة مفتوحة > .

نظرية التمام لمجموعة في R :

° لكل مجموعة جزئية غير خالية من مجموعة الأعداد الحقيقية لها حد علوي ، أيضاً لها أصغر الحدود العلوية في R ، هذه الخاصية أيضاً تسمى خاصية الحد العلوي في R.

بالمثل نستطيع القول أن :

• لكل مجموعة جزئية غير خالية من مجموعة الأعداد الحقيقية لها حد سفلي ، أيضاً لها أكبر الحدود السفلية في R ، هذه الخاصية أيضاً تسمى خاصية الحد السفلي في R.

* من المهم أن نعرف أن :

• أصغر الحدود العلوية لمجموعة جزئية غير خالية من R لا يشترط أن تنتمي للمجموعة نفسها ،

و بالمثل أكبر الحدود السفلية .

• لا يشترط أن يكون لكل مجموعة جزئية من R حد علوي ، و بالمثل الحد السفلي.

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات