دالة روزين بروك

رسمة لدالة روزين بروك في متغيرين

في الإستمثال الرياضي , تعتبر دالة روزين بروك دالة غير محدبة وتستخدم كمشكلة في اختبار إستمثال الخوارزميات . وسميت على اسم هاورد روزين بروك عام 1960 .^[1] وهي تعرف أيضا بدالة الموز ( banana function ) .
وهدف الدالة هو الحصول على أفضل وأقل قيمة .

وتعرف الدالة بالشكل التالي :

${\displaystyle f(x,y)=(a-x)^{2}+b(y-x^{2})^{2}}$

والقيمة الصغري لها عند :

${\displaystyle (x,y)=(a,a^{2})}$
حيث :
${\displaystyle f(x,y)=0}$
وعادة ما تكون
${\displaystyle a=1}$
و
${\displaystyle b=100}$.

التعميمات متعددة الأبعاد

دالة روزين بروك

عادة نواجة متغيرين مختلفين . الأول هو مجموع ${\displaystyle N/2}$ , وتفك بالمعادلة التالية :

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{N})=\sum _{i=1}^{N/2}\left[100(x_{2i-1}^{2}-x_{2i})^{2}+(x_{2i-1}-1)^{2}\right].}$^[2]

وتكون قيم ${\displaystyle N}$ موجبة فقط .ويكون للدالة في هذة الحالة حلول بسيطة ويمكن التنبؤ بها .

والمتغير الثاني هو :

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{N-1}100(x_{i+1}-x_{i}^{2})^{2}+(1-x_{i})^{2}\quad {\mbox{where}}\quad \mathbf {x} =[x_{1},\ldots ,x_{N}]\in \mathbb {R} ^{N}.}$^[3]

وهذا المتغير تبين أن لدية قيمة صغري واحدة فقط ل ${\displaystyle N=3}$ عند ${\displaystyle (1,1,1)}$ . وقيمتين صغري لكل N قيمتها من ${\displaystyle 4\leq N\leq 7}$ وهذة القيمة الصغري تقع بالقرب من النقطة ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{N})=(-1,1,\dots ,1)}$. ويتم الحصول على هذة النتيجة بجعل درجة الدالة تساوي صفر .ويتم استخدام مبرهنة ستورم للحصول على عدد الجذور الحقيقية للدالة بشرط أن تكون قيمة ${\displaystyle |x_{i}|<2.4}$.^[4] . وإذا كانت قيمة ${\displaystyle N}$ أكبر تفشل هذة الطريقة بسبب حجم المعاملات .

النقاط الثابتة

العديد من الجذور تظهر نمط منتظم عندما يتم رسمها .

النقاط الثابتة

مقالات ذات صلة

• دالة شيكل .
• دالة راستريجن .
• دالة هيمل بلوه .

المصادر

ملاحظات

• Rosenbrock, H. H. (1960), "An automatic method for finding the greatest or least value of a function", The Computer Journal, 3, صفحات 175–184, doi:10.1093/comjnl/3.3.175, ISSN 0010-4620, MR = 0136042 0136042

وصلات خارجية

• Rosenbrock function plot in 3D
• Minimizing the Rosenbrock Function by Michael Croucher
• إيريك ويستاين، Rosenbrock Function، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة تحليل رياضي